Teorema de Bernstein (teoría de la aproximación)

En teoría de la aproximación, lo contrario del teorema de Jackson

En la teoría de la aproximación , el teorema de Bernstein es inverso al teorema de Jackson . ^[1] Los primeros resultados de este tipo fueron demostrados por Sergei Bernstein en 1912. ^[2]

Para la aproximación por polinomios trigonométricos , el resultado es el siguiente:

Sea f : [0, 2π] → C una función periódica 2 π y supongamos que r es un número natural y 0 < α < 1. Si existe un número C ( f ) > 0 y una secuencia de polinomios trigonométricos { P _n } _{n ≥ n 0} tal que

${\displaystyle \deg \,P_{n}=n~,\quad \sup _{0\leq x\leq 2\pi }|f(x)-P_{n}(x)|\leq {\frac {C(f)}{n^{r+\alpha }}}~,}$

entonces f = P _{n 0} + φ , donde φ tiene una r -ésima derivada acotada que es α-Hölder continua .

Ver también

• Teorema del letargo de Bernstein
• Teoría de la función constructiva

Referencias

1. Achieser, NI (1956). Teoría de la Aproximación . Nueva York: Frederick Ungar Publishing Co.
2. Bernstein, SN (1952). Obras completas, 1 . Moscú. págs. 11-104.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )