En matemáticas, el teorema de Ax-Grothendieck es un resultado sobre la inyectividad y sobreyectividad de polinomios que fue demostrado independientemente por James Ax y Alexander Grothendieck . [1] [2] [3] [4]
El teorema se suele dar como este caso especial: si P es una función polinómica inyectiva de un espacio vectorial complejo n -dimensional a sí mismo, entonces P es biyectiva . Es decir, si P siempre asigna argumentos distintos a valores distintos, entonces los valores de P cubren todo C n . [3] [4]
El teorema completo se generaliza a cualquier variedad algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado . [5]
La demostración del teorema de Grothendieck [3] [4] se basa en la demostración del teorema análogo para cuerpos finitos y sus clausuras algebraicas . Es decir, para cualquier cuerpo F que sea finito en sí mismo o que sea la clausura de un cuerpo finito, si un polinomio P de F n a sí mismo es inyectivo entonces es biyectivo.
Si F es un cuerpo finito, entonces F n es finito. En este caso el teorema es verdadero por razones triviales que no tienen nada que ver con la representación de la función como un polinomio: cualquier inyección de un conjunto finito sobre sí mismo es una biyección. Cuando F es la clausura algebraica de un cuerpo finito, el resultado se sigue del Nullstellensatz de Hilbert . El teorema de Ax-Grothendieck para números complejos puede, por tanto, demostrarse mostrando que un contraejemplo sobre C se traduciría en un contraejemplo en alguna extensión algebraica de un cuerpo finito.
Este método de prueba es notable porque es un ejemplo de la idea de que las relaciones algebraicas finitistas en cuerpos de característica 0 se traducen en relaciones algebraicas sobre cuerpos finitos con característica grande. [3] Por lo tanto, uno puede usar la aritmética de cuerpos finitos para probar una afirmación sobre C aunque no haya homomorfismo de ningún cuerpo finito a C . La prueba, por lo tanto, usa principios de teoría de modelos como el teorema de compacidad para probar una afirmación elemental sobre polinomios. La prueba para el caso general usa un método similar.
Existen otras demostraciones del teorema. Armand Borel dio una demostración usando topología. [4] El caso de n = 1 y cuerpo C se deduce ya que C es algebraicamente cerrado y también puede considerarse como un caso especial del resultado de que para cualquier función analítica f en C , la inyectividad de f implica sobreyectividad de f . Este es un corolario del teorema de Picard .
Otro ejemplo de reducción de teoremas sobre morfismos de tipo finito a cuerpos finitos se puede encontrar en EGA IV : Allí, se prueba que un S -endomorfismo radicial de un esquema X de tipo finito sobre S es biyectivo (10.4.11), y que si X / S es de presentación finita, y el endomorfismo es un monomorfismo, entonces es un automorfismo (17.9.6). Por lo tanto, un esquema de presentación finita sobre una base S es un objeto cohopfiano en la categoría de S -esquemas.
El teorema de Ax-Grothendieck también puede utilizarse para demostrar el teorema del Jardín del Edén , un resultado que, al igual que el teorema de Ax-Grothendieck, relaciona la inyectividad con la sobreyectividad, pero en autómatas celulares en lugar de en campos algebraicos. Aunque se conocen pruebas directas de este teorema, la prueba a través del teorema de Ax-Grothendieck se extiende más ampliamente, a autómatas que actúan sobre grupos dóciles . [6]
Algunas conversiones parciales al teorema de Ax-Grothendieck: