Teorema de Andreotti-Frankel

Teorema matemático de variedades complejas

En matemáticas , el teorema de Andreotti-Frankel , introducido por Aldo Andreotti y Theodore Frankel  (1959), establece que si es una variedad afín suave y compleja de dimensión compleja o, más generalmente, si es cualquier variedad de Stein de dimensión , entonces admite una función de Morse con puntos críticos de índice como máximo n , y por lo tanto la homotopía es equivalente a un complejo CW de dimensión real como máximo n . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

En consecuencia, si es una subvariedad compleja cerrada y conexa de dimensión compleja , entonces tiene el tipo de homotopía de un complejo CW de dimensión real . Por lo tanto ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {C} ^{r}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \leq n}$

${\displaystyle H^{i}(V;\mathbb {Z} )=0,{\text{ for }}i>n}$

y

${\displaystyle H_{i}(V;\mathbb {Z} )=0,{\text{ for }}i>n.}$

Este teorema se aplica en particular a cualquier variedad afín suave y compleja de dimensión . ${\displaystyle n}$

Referencias

• Andreotti, Aldo ; Frankel, Theodore (1959), "El teorema de Lefschetz sobre secciones de hiperplanos", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 69 : 713–717, doi :10.2307/1970034, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970034, MR  0177422
• Milnor, John W. (1963). Teoría de Morse . Annals of Mathematics Studies, n.º 51. Notas de Michael Spivak y Robert Wells. Princeton, NJ: Princeton University Press . ISBN 0-691-08008-9.Capítulo 7.