Teoría del momento del elemento de la pala

La teoría del momento de los elementos de las palas es una teoría que combina tanto la teoría de los elementos de las palas como la teoría del momento . Se utiliza para calcular las fuerzas locales sobre una pala de una hélice o de una turbina eólica. La teoría de los elementos de las palas se combina con la teoría del momento para aliviar algunas de las dificultades en el cálculo de las velocidades inducidas en el rotor.

Este artículo hace hincapié en la aplicación de la teoría de los elementos de las palas a las turbinas eólicas terrestres, pero los principios se aplican también a las hélices. Mientras que la superficie del tubo de corriente se reduce con una hélice, se expande con una turbina eólica. Para cualquiera de las dos aplicaciones, una aproximación muy simplificada pero útil es el modelo de "momento" o "disco actuador" de Rankine - Froude (1865, ^[1] 1889 ^[2] ). Este artículo explica la aplicación del "límite de Betz" a la eficiencia de una turbina eólica terrestre.

La teoría de elementos de pala de Froude (1878) ^[3] es un proceso matemático para determinar el comportamiento de las hélices , refinado posteriormente por Glauert (1926). Betz (1921) proporcionó una corrección aproximada a la teoría del momento "Rankine-Froude del disco actuador" ^[4] para tener en cuenta la rotación repentina impartida al flujo por el disco actuador (NACA TN 83, "La teoría de la hélice de tornillo" y NACA TM 491, "Problemas de hélice"). En la teoría del momento del elemento de pala, el momento angular se incluye en el modelo, lo que significa que la estela (el aire después de la interacción con el rotor) tiene momento angular. Es decir, el aire comienza a girar sobre el eje z inmediatamente después de la interacción con el rotor (ver diagrama a continuación). El momento angular debe tenerse en cuenta ya que el rotor, que es el dispositivo que extrae la energía del viento, está girando como resultado de la interacción con el viento.

Modelo de Rankine-Froude

El "límite de Betz", que aún no aprovecha la contribución de Betz para tener en cuenta el flujo rotacional con énfasis en las hélices, aplica la teoría del " disco actuador " de Rankine-Froude para obtener la máxima eficiencia de una turbina eólica estacionaria. El siguiente análisis se limita al movimiento axial del aire:

En nuestro tubo de corriente tenemos un fluido que fluye de izquierda a derecha y un disco actuador que representa el rotor. Supondremos que el rotor es infinitesimalmente delgado. ^[5] Desde arriba, podemos ver que al comienzo del tubo de corriente, el flujo de fluido es normal al disco actuador. El fluido interactúa con el rotor, transfiriendo así energía del fluido al rotor. El fluido luego continúa fluyendo corriente abajo. Por lo tanto, podemos dividir nuestro sistema/tubo de corriente en dos secciones: disco pre-actuador y disco post-actuador. Antes de la interacción con el rotor, la energía total en el fluido es constante. Además, después de interactuar con el rotor, la energía total en el fluido es constante.

La ecuación de Bernoulli describe las diferentes formas de energía que están presentes en el flujo de fluidos donde la energía neta es constante, es decir, cuando un fluido no transfiere ninguna energía a otra entidad como un rotor. La energía se compone de presión estática , energía potencial gravitatoria y energía cinética . Matemáticamente, tenemos la siguiente expresión:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v^{2}+P+\rho gh={\text{const.}}}$

donde es la densidad del fluido, es la velocidad del fluido a lo largo de una línea de corriente, es la energía de presión estática, es la aceleración debida a la gravedad y es la altura sobre el suelo. Para los fines de este análisis, supondremos que la energía potencial gravitatoria no cambia durante el flujo de fluido de izquierda a derecha, de modo que tenemos lo siguiente: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v^{2}+P=\mathrm {const.} }$

Así, si tenemos dos puntos en una línea de corriente, el punto 1 y el punto 2, y en el punto 1 la velocidad del fluido a lo largo de la línea de corriente es y la presión en 1 es , y en el punto 2 la velocidad del fluido a lo largo de la línea de corriente es y la presión en 2 es , y no se ha extraído energía del fluido entre los puntos 1 y 2, entonces tenemos la siguiente expresión: ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}+P_{1}={\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}+P_{2}}$

Ahora volvamos a nuestro diagrama inicial. Consideremos el flujo previo al actuador. Mucho más arriba, la velocidad del fluido es ; la velocidad del fluido disminuye y la presión aumenta a medida que se acerca al rotor. ^[4] De acuerdo con la conservación de la masa, el caudal másico a través del rotor debe ser constante. El caudal másico, , a través de una superficie de área está dado por la siguiente expresión: ${\displaystyle v_{\infty }}$ ${\displaystyle {\dot {m}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\dot {m}}=\rho Av}$

donde es la densidad y es la velocidad del fluido a lo largo de una línea de corriente. Por lo tanto, si el caudal másico es constante, los aumentos de área deben dar como resultado disminuciones en la velocidad del fluido a lo largo de una línea de corriente. Esto significa que la energía cinética del fluido está disminuyendo. Si el flujo se está expandiendo pero no transfiriendo energía, entonces se aplica Bernoulli. Por lo tanto, la reducción en la energía cinética se contrarresta con un aumento en la energía de presión estática. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v}$

Así pues, tenemos la siguiente situación antes del rotor: mucho antes de la interacción con el rotor, la presión del fluido es la misma que la atmosférica ; justo antes de la interacción con el rotor, la presión del fluido ha aumentado y, por tanto, la energía cinética ha disminuido. Esto se puede describir matemáticamente mediante la ecuación de Bernoulli: ${\displaystyle P_{\infty }}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v_{\infty }^{2}+P_{\infty }={\frac {1}{2}}\rho \left(v_{\infty }(1-a)\right)^{2}+P_{D+}}$

donde hemos escrito la velocidad del fluido en el rotor como , donde es el factor de inducción axial. La presión del fluido en el lado ascendente del disco actuador es . Estamos tratando el rotor como un disco actuador infinitamente delgado. Por lo tanto, asumiremos que no hay cambios en la velocidad del fluido a través del disco actuador. Dado que se ha extraído energía del fluido, la presión debe haber disminuido. ${\displaystyle v_{\infty }(1-a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle P_{D+}}$

Ahora consideremos el post-rotor: inmediatamente después de interactuar con el rotor, la velocidad del fluido sigue siendo , pero la presión ha caído a un valor ; mucho más abajo, la presión del fluido ha alcanzado el equilibrio con la atmósfera; esto se ha logrado en el proceso natural y dinámicamente lento de disminuir la velocidad del flujo en el tubo de corriente para mantener el equilibrio dinámico (es decir, mucho más abajo). Suponiendo que no hay más transferencia de energía, podemos aplicar Bernoulli para aguas abajo: ${\displaystyle v_{\infty }(1-a)}$ ${\displaystyle P_{D-}}$ ${\displaystyle P\rightarrow P_{\infty }}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho \left(v_{\infty }(1-a)\right)^{2}+P_{D-}={\frac {1}{2}}\rho v_{w}^{2}+P_{\infty }}$

dónde

${\displaystyle v_{w}=}$La velocidad mucho más abajo en el Wake

De esta manera podemos obtener una expresión para la diferencia de presión entre la parte delantera y trasera del rotor:

${\displaystyle P_{D+}-P_{D-}={\frac {1}{2}}\rho (v_{\infty }^{2}-v_{w}^{2})}$

Si tenemos una diferencia de presión a través del área del disco del actuador, hay una fuerza que actúa sobre el disco del actuador, que se puede determinar a partir de : ${\displaystyle F=\Delta PA}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho (v_{\infty }^{2}-v_{w}^{2})A_{D}}$

donde es el área del disco del actuador. Si el rotor es lo único que absorbe energía del fluido, la tasa de cambio en el momento axial del fluido es la fuerza que actúa sobre el rotor. La tasa de cambio del momento axial se puede expresar como la diferencia entre las velocidades axiales inicial y final del fluido, multiplicada por el caudal másico: ${\displaystyle A_{D}}$

${\displaystyle F={\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}={\dot {m}}(v_{\infty }-v_{w})=\rho A_{D}v_{D}(v_{\infty }-v_{w})=\rho A_{D}(1-a)v_{\infty }(v_{\infty }-v_{w})}$

De esta manera podemos llegar a una expresión para la velocidad del fluido aguas abajo:

${\displaystyle v_{w}=(1-2a)v_{\infty }}$

Esta fuerza actúa en el rotor. La potencia extraída del fluido es la fuerza que actúa sobre el fluido multiplicada por la velocidad del fluido en el punto de extracción de potencia:

${\displaystyle \mathrm {Power} _{ext}=Fv_{D}=2a(1-a)^{2}v_{\infty }^{3}\rho A_{D}}$

Máxima potencia

Supongamos que nos interesa hallar la potencia máxima que se puede extraer del fluido. La potencia en el fluido viene dada por la siguiente expresión:

${\displaystyle \mathrm {Power} ={\frac {1}{2}}\rho Av^{3}}$

donde es la densidad del fluido como antes, es la velocidad del fluido y es el área de una superficie imaginaria a través de la cual fluye el fluido. La potencia extraída del fluido por un rotor en el escenario descrito anteriormente es una fracción de esta expresión de potencia. Llamaremos a la fracción el coeficiente de potencia, . Por lo tanto, la potencia extraída, viene dada por la siguiente expresión: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle \mathrm {Power} _{ext}}$

${\displaystyle \mathrm {Power} _{ext}=\mathrm {Power} \times C_{p}}$

Nuestra pregunta es la siguiente: ¿cuál es el valor máximo de utilizar el modelo de Betz? ${\displaystyle C_{p}}$

Volvamos a nuestra expresión derivada para la potencia transferida del fluido al rotor ( ). Podemos ver que la potencia extraída depende del factor de inducción axial. Si diferenciamos con respecto a , obtenemos el siguiente resultado: ${\displaystyle \mathrm {Power} _{ext}}$ ${\displaystyle \mathrm {Power} _{ext}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathrm {Power} _{ext}}{\mathrm {d} a}}=2v_{\infty }^{3}\rho A_{D}\times \left((1-a)^{2}-2a(1-a)\right)}$

Si hemos maximizado nuestra extracción de potencia, podemos establecer lo anterior en cero. Esto nos permite determinar el valor de que produce la máxima extracción de potencia. Este valor es a . Por lo tanto, podemos encontrar que . En otras palabras, el rotor no puede extraer más del 59 por ciento de la potencia del fluido. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle C_{P~max}=16/27}$

Teoría del momento del elemento de la pala

En comparación con el modelo de Rankine-Froude, la teoría del momento del elemento de la pala explica el momento angular del rotor. Considere el lado izquierdo de la figura siguiente. Tenemos un tubo de corriente, en el que está el fluido y el rotor. Supondremos que no hay interacción entre el contenido del tubo de corriente y todo lo que está fuera de él. Es decir, estamos tratando con un sistema aislado. En física, los sistemas aislados deben obedecer las leyes de conservación. Un ejemplo de ello es la conservación del momento angular. Por tanto, el momento angular dentro del tubo de corriente debe conservarse. En consecuencia, si el rotor adquiere momento angular a través de su interacción con el fluido, algo más debe adquirir un momento angular igual y opuesto. Como ya se ha mencionado, el sistema consta únicamente del fluido y el rotor, el fluido debe adquirir momento angular en la estela. Como relacionamos el cambio en el momento axial con algún factor de inducción , relacionaremos el cambio en el momento angular del fluido con el factor de inducción tangencial, . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a'}$

Consideremos la siguiente configuración. ^[5]

Dividiremos el área del rotor en anillos anulares de espesor infinitesimal. Lo hacemos para poder suponer que los factores de inducción axial y tangencial son constantes en todo el anillo anular. Una suposición de este enfoque es que los anillos anulares son independientes entre sí, es decir, no hay interacción entre los fluidos de los anillos anulares vecinos.

Bernoulli para estela giratoria

Volvamos ahora a Bernoulli:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}+P_{1}={\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}+P_{2}}$

La velocidad es la velocidad del fluido a lo largo de una línea de corriente. La línea de corriente no necesariamente corre paralela a un eje de coordenadas en particular, como el eje z. Por lo tanto, la velocidad puede constar de componentes en los ejes que forman el sistema de coordenadas. Para este análisis, utilizaremos coordenadas polares cilíndricas . Por lo tanto , . ${\displaystyle (r,~\theta ,~z)}$ ${\displaystyle v^{2}=v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2}}$

NOTA: De hecho, trabajaremos en coordenadas cilíndricas para todos los aspectos, por ejemplo: ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{r}{\hat {\mathbf {r} }}+F_{\theta }{\hat {\theta }}+F_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

Ahora, consideremos la configuración que se muestra arriba. Como antes, podemos dividir la configuración en dos componentes: upstream y downstream.

Pre-rotor

${\displaystyle P_{\infty }+{\frac {1}{2}}\rho v_{u}^{2}=P_{D+}+{\frac {1}{2}}\rho v_{D}^{2}}$

donde es la velocidad del fluido a lo largo de una línea de corriente situada aguas arriba y es la velocidad del fluido justo antes del rotor. Escrita en coordenadas polares cilíndricas, tenemos la siguiente expresión: ${\displaystyle v_{u}}$ ${\displaystyle v_{D}}$

${\displaystyle P_{\infty }+{\frac {1}{2}}\rho v_{\infty }^{2}=P_{D+}+{\frac {1}{2}}\rho (v_{\infty }(1-a))^{2}}$

donde y son los componentes z de la velocidad aguas arriba y justo antes del rotor respectivamente. Esto es exactamente lo mismo que la ecuación aguas arriba del modelo de Betz. ${\displaystyle v_{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\infty }(1-a)}$

Como se puede ver en la figura anterior, el flujo se expande a medida que se acerca al rotor, como consecuencia del aumento de la presión estática y la conservación de la masa. Esto implicaría que aguas arriba. Sin embargo, para los fines de este análisis, se despreciará ese efecto. ${\displaystyle v_{r}\neq 0}$

Post-rotor

${\displaystyle P_{D-}+{\frac {1}{2}}\rho v_{D}^{2}=P_{\infty }+{\frac {1}{2}}\rho v_{w}^{2}}$

donde es la velocidad del fluido justo después de interactuar con el rotor. Esto se puede escribir como . El componente radial de la velocidad será cero; esto debe ser cierto si vamos a utilizar el enfoque del anillo anular; suponer lo contrario sugeriría interferencia entre anillos anulares en algún punto aguas abajo. Dado que suponemos que no hay cambio en la velocidad axial a través del disco, . El momento angular debe conservarse en un sistema aislado. Por lo tanto, la rotación de la estela no debe desaparecer. Por lo tanto, en la sección aguas abajo es constante. Por lo tanto, Bernoulli simplifica en la sección aguas abajo: ${\displaystyle v_{D}}$ ${\displaystyle v_{D}^{2}=v_{D,~r}^{2}+v_{D,~\theta }^{2}+v_{D,~z}^{2}}$ ${\displaystyle v_{D,~z}=(1-a)v_{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\theta }}$

${\displaystyle P_{D-}+{\frac {1}{2}}\rho v_{D,~z}^{2}=P_{\infty }+{\frac {1}{2}}\rho v_{w,~z}^{2}=P_{D-}+{\frac {1}{2}}\rho (v_{\infty }(1-a))^{2}}$

En otras palabras, las ecuaciones de Bernoulli aguas arriba y aguas abajo del rotor son las mismas que las expresiones de Bernoulli en el modelo de Betz. Por lo tanto, podemos utilizar resultados como la extracción de potencia y la velocidad de estela que se derivaron en el modelo de Betz, es decir,

${\displaystyle v_{w,z}=(1-2a)v_{\infty }}$

${\displaystyle \mathrm {Power} =2a(1-a)^{2}v_{\infty }^{3}\rho A_{D}}$

Esto nos permite calcular la máxima extracción de potencia para un sistema que incluye una estela rotatoria. Se puede demostrar que esto da el mismo valor que el del modelo de Betz, es decir, 0,59. Este método implica reconocer que el par generado en el rotor viene dado por la siguiente expresión:

${\displaystyle \delta \mathbf {Q} =2\pi r\delta r\times \rho U_{\infty }(1-a)\times 2a'r\omega }$

con los términos necesarios definidos inmediatamente a continuación.

Fuerzas de la cuchilla

Considere el flujo de fluido alrededor de un perfil aerodinámico. El flujo de fluido alrededor del perfil aerodinámico genera fuerzas de sustentación y de arrastre. Por definición, la sustentación es la fuerza que actúa sobre el perfil aerodinámico en dirección perpendicular a la velocidad aparente del flujo de fluido que se observa en el perfil aerodinámico. El arrastre es la fuerza que actúa en dirección tangencial a la velocidad aparente del flujo de fluido que se observa en el perfil aerodinámico. ¿Qué queremos decir con velocidad aparente? Considere el diagrama siguiente:

La velocidad que alcanza la pala del rotor depende de tres factores: la velocidad axial del fluido, ; la velocidad tangencial del fluido debido a la aceleración alrededor de un perfil aerodinámico, ; y el propio movimiento del rotor, . Es decir, la velocidad aparente del fluido se indica a continuación: ${\displaystyle v_{\infty }(1-a)}$ ${\displaystyle a'\omega r}$ ${\displaystyle \omega r}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\omega r(1+a'){\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{\infty }(1-a){\hat {\mathbf {z} }}}$

Por lo tanto, la velocidad aparente del viento es simplemente la magnitud de este vector, es decir:

${\displaystyle |\mathbf {v} |^{2}=(\omega r(1+a'))^{2}+(v_{\infty }(1-a))^{2}=W^{2}}$

También podemos calcular el ángulo a partir de la figura anterior: ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \sin \phi ={\frac {v_{\infty }(1-a)}{W}}}$

Suponiendo que conocemos el ángulo , podemos entonces calcularlo simplemente usando la relación ; podemos entonces calcular el coeficiente de sustentación, , y el coeficiente de arrastre , a partir de los cuales podemos calcular las fuerzas de sustentación y arrastre que actúan sobre la pala. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =\phi -\beta }$ ${\displaystyle c_{L}}$ ${\displaystyle c_{D}}$

Considere el anillo anular, que está parcialmente ocupado por elementos de pala. La longitud de cada sección de pala que ocupa el anillo anular es (ver figura a continuación). ${\displaystyle \delta r}$

La sustentación que actúa sobre aquellas partes de las palas/perfiles aerodinámicos que tienen cuerda viene dada por la siguiente expresión: ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \delta L={\frac {1}{2}}\rho NW^{2}c\times c_{L}(\alpha )\delta r}$

donde es el coeficiente de sustentación, que es una función del ángulo de ataque, y es el número de palas. Además, la resistencia que actúa sobre la parte de las palas/perfiles aerodinámicos con cuerda viene dada por la siguiente expresión: ${\displaystyle c_{L}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \delta D={\frac {1}{2}}\rho NW^{2}c\times c_{D}(\alpha )\delta r}$

Recuerde que estas fuerzas calculadas son normales y tangenciales a la velocidad aparente. Nos interesan las fuerzas en los ejes y . Por lo tanto, debemos considerar el diagrama siguiente: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

Así podemos observar lo siguiente:

${\displaystyle \delta F_{\theta }=\delta L\sin \phi -\delta D\cos \phi }$

${\displaystyle \delta F_{z}=\delta L\cos \phi +\delta D\sin \phi }$

${\displaystyle F_{\theta }}$es la fuerza que es responsable de la rotación de las palas del rotor; es la fuerza que es responsable de la flexión de las palas. ${\displaystyle F_{z}}$

Recordemos que para un sistema aislado el momento angular neto del sistema se conserva. Si el rotor adquirió momento angular, también debe hacerlo el fluido en la estela. Supongamos que el fluido en la estela adquiere una velocidad tangencial . Por lo tanto, el par en el aire viene dado por ${\displaystyle v_{\theta }=2a'\omega r}$

${\displaystyle |\mathbf {\delta {Q}} |=\rho (2\pi r\delta r)U_{\infty }(1-a)\times (2\Omega a'r^{2})}$

Por la conservación del momento angular, esto equilibra el torque en las palas del rotor; por lo tanto,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho W^{2}Nc(c_{l}\sin \phi -c_{d}\cos \phi )r\delta r=\rho (2\pi r\delta r)U_{\infty }(1-a)\times (2\Omega a'r^{2})}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}W^{2}Nc(c_{l}\sin \phi -c_{d}\cos \phi )=4\pi U_{\infty }(1-a)\times \Omega a'r^{2}}$

Además, la tasa de cambio del momento lineal en el aire se equilibra con la fuerza de flexión fuera del plano que actúa sobre las palas. Según la teoría del momento, la tasa de cambio del momento lineal en el aire es la siguiente: ${\displaystyle \delta F_{z}}$

${\displaystyle \delta F_{z}=\rho (2\pi r\delta r)U_{\infty }(1-a)\times (v_{\infty }-v_{w})}$

que puede expresarse como

${\displaystyle \delta F_{z}=\rho (4\pi r\delta r)U_{\infty }^{2}a(1-a)}$

Al equilibrar esto con la fuerza de flexión fuera del plano se obtiene

${\displaystyle {\frac {1}{2}}W^{2}Nc(c_{l}\cos \phi +c_{d}\sin \phi )=\rho (4\pi r\delta r)U_{\infty }^{2}a(1-a)}$

Hagamos ahora las siguientes definiciones:

${\displaystyle C_{y}=c_{l}\sin \phi -c_{d}\cos \phi }$

${\displaystyle C_{x}=c_{l}\cos \phi +c_{d}\sin \phi }$

Entonces tenemos las siguientes ecuaciones:

Hagamos referencia a la siguiente ecuación que se puede ver del análisis de la figura anterior:

Así, con estas tres ecuaciones, es posible obtener el siguiente resultado mediante alguna manipulación algebraica: ^[5]

${\displaystyle {\frac {a}{1-a}}={\frac {C_{x}\sigma _{r}}{4\sin ^{2}\phi }}}$

Podemos derivar una expresión para de manera similar. Esto nos permite entender qué está pasando con el rotor y el fluido. Las ecuaciones de este tipo se resuelven luego mediante técnicas iterativas. ${\displaystyle a'}$

Supuestos y posibles inconvenientes de los modelos BEM

• Supone que cada anillo anular es independiente de cualquier otro anillo anular. ^[6]
• No tiene en cuenta la expansión de la estela.
• No tiene en cuenta las pérdidas de punta , aunque se pueden incluir factores de corrección. ^[7]
• No tiene en cuenta el efecto de guiñada , aunque se puede hacer que lo tenga.
• Basado en flujo constante (no turbulento).

Referencias

1. Rankine, William (6 de abril de 1865). "Sobre los principios mecánicos de la acción de las hélices". Transactions of the Royal Institution of Naval Architects . 6 : 13 – vía Hathi Trust.
2. Froude, Robert (12 de abril de 1889). "Sobre el papel que desempeñan las diferencias en la presión de los fluidos en la propulsión". Transactions of the Royal Institution of Naval Architects . 30 : 390 – vía Hathi Trust.
3. Froude, William (11 de abril de 1878). "La relación elemental entre el paso, el deslizamiento y la eficiencia propulsiva". Inst. Naval Architects . 19 : 47 – vía Hathi Trust.
4. Wilson, Robert E.; Lissaman, Peter BS (1974). "Aerodinámica aplicada de máquinas de energía eólica". Informe técnico Sti/Recon de la NASA N.º 75 : 22669. Código Bibliográfico :1974STIN...7522669W.
5. : Burton, Jenkins
6. http://www.stanford.edu/~eena/windpower07.pdf ^{[ enlace muerto permanente ]}
7. Buhl, ML Jr. (1 de agosto de 2005). "Nueva relación empírica entre el coeficiente de empuje y el factor de inducción para el estado turbulento del molino de viento": NREL/TP–500–36834, 15016819. doi :10.2172/15016819. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )