Teoría de conjuntos de doble extensión

Teoría de conjuntos axiomáticos

En matemáticas , la teoría de conjuntos de doble extensión (DEST) es una teoría de conjuntos axiomática propuesta por Andrzej Kisielewicz que consiste en dos relaciones de pertenencia separadas en el universo de conjuntos, ^[1] denotadas aquí por y , y un conjunto de axiomas que relacionan las dos. La intención detrás de la definición de las dos relaciones de pertenencia es evitar las paradojas habituales de la teoría de conjuntos , sin debilitar sustancialmente el axioma de comprensión irrestricta . ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Intuitivamente, en DEST, la comprensión se utiliza para definir los elementos de un conjunto bajo una relación de pertenencia utilizando fórmulas que involucran solo la otra relación de pertenencia. Sea una fórmula de primer orden con variable libre en el lenguaje de DEST que no involucra la relación de pertenencia . Entonces, los axiomas de DEST postulan un conjunto tal que . Por ejemplo, es una fórmula que involucra solo a , y por lo tanto DEST postula el conjunto de Russell , donde . Observe que para , obtenemos . Dado que las relaciones de pertenencia son diferentes, evitamos así la paradoja de Russell. ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle A=\{x|\phi (x)\}}$ ${\displaystyle x\varepsilon A\iff \phi (x)}$ ${\displaystyle x\notin x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R=\{x|x\notin x\}}$ ${\displaystyle x\varepsilon R\iff x\notin x}$ ${\displaystyle x=R}$ ${\displaystyle R\varepsilon R\iff R\notin R}$

El enfoque de DEST se centra en los conjuntos regulares, que son conjuntos cuyas extensiones bajo las dos relaciones de pertenencia coinciden, es decir, conjuntos para los que se cumple que . La discusión anterior sugiere que el conjunto de Russell no puede ser regular, ya que de lo contrario conduce a la paradoja de Russell. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall x.x\in A\iff x\varepsilon A}$ ${\displaystyle R=\{x|x\notin x\}}$

Referencias

1. Holmes, M. Randall, "Teorías de conjuntos axiomáticos alternativos", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2017), Edward N. Zalta (ed.), URL = <https://plato.stanford.edu/archives/win2017/entries/settheory-alternative/>.