Serie de potencias restringidas

Series de potencias formales con coeficientes que tienden a 0

En álgebra , el anillo de series de potencias restringidas es el subanillo de un anillo de series de potencias formales que consiste en series de potencias cuyos coeficientes se aproximan a cero cuando el grado tiende a infinito. ^{[1] Sobre un} cuerpo completo no arquimediano , el anillo también se denomina álgebra de Tate . Los anillos cocientes del anillo se utilizan en el estudio de un espacio algebraico formal, así como en el análisis rígido , este último sobre cuerpos completos no arquimedianos.

Sobre un anillo topológico discreto , el anillo de series de potencias restringidas coincide con un anillo de polinomios ; por lo tanto, en este sentido, la noción de "serie de potencias restringidas" es una generalización de un polinomio .

Definición

Sea A un anillo topologizado linealmente , separado y completo y el sistema fundamental de ideales abiertos. Entonces el anillo de series de potencias restringidas se define como el límite proyectivo de los anillos polinómicos sobre : ${\displaystyle \{I_{\lambda }\}}$ ${\displaystyle A/I_{\lambda }}$

${\displaystyle A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle =\varprojlim _{\lambda }A/I_{\lambda }[x_{1},\dots ,x_{n}]}$. ^{[2] [3]}

En otras palabras, es la terminación del anillo polinómico con respecto a la filtración . A veces, este anillo de series de potencias restringidas también se denota por . ${\displaystyle A[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \{I_{\lambda }[x_{1},\dots ,x_{n}]\}}$ ${\displaystyle A\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$

Claramente, el anillo puede identificarse con el subanillo del anillo de series de potencias formales que consiste en series con coeficientes ; es decir, cada una contiene todos los coeficientes excepto un número finito de . Además, el anillo satisface (y de hecho se caracteriza por) la propiedad universal : ^[4] para (1) cada homomorfismo de anillo continuo a un anillo topologizado linealmente , separado y completo y (2) cada elemento en , existe un homomorfismo de anillo continuo único ${\displaystyle A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle }$ ${\displaystyle A[[x_{1},\dots ,x_{n}]]}$ ${\displaystyle \sum c_{\alpha }x^{\alpha }}$ ${\displaystyle c_{\alpha }\to 0}$ ${\displaystyle I_{\lambda }}$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle \to B,\,x_{i}\mapsto b_{i}}$

extendiendo . ${\displaystyle A\to B}$

Álgebra de Tate

En el análisis rígido , cuando el anillo base A es el anillo de valoración de un cuerpo no arquimediano completo , el anillo de series de potencias restringidas tensadas con , ${\displaystyle (K,|\cdot |)}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle T_{n}=K\langle \xi _{1},\dots \xi _{n}\rangle =A\langle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}\rangle \otimes _{A}K}$

se llama álgebra de Tate, llamada así por John Tate . ^[5] Es equivalentemente el subanillo de series de potencias formales que consiste en series convergentes en , donde es el anillo de valoración en el cierre algebraico . ${\displaystyle k[[\xi _{1},\dots ,\xi _{n}]]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{\overline {k}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{\overline {k}}:=\{x\in {\overline {k}}:|x|\leq 1\}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$

El espectro máximo de es entonces un espacio rígido-analítico que modela un espacio afín en geometría rígida . ${\displaystyle T_{n}}$

Defina la norma de Gauss de en por ${\displaystyle f=\sum a_{\alpha }\xi ^{\alpha }}$ ${\displaystyle T_{n}}$

${\displaystyle \|f\|=\max _{\alpha }|a_{\alpha }|.}$

Esto produce un álgebra de Banach sobre k ; es decir, un álgebra normada que es completa como espacio métrico . Con esta norma , cualquier ideal de es cerrado ^[6] y, por lo tanto, si I es radical, el cociente también es un álgebra de Banach (reducida) llamada álgebra afinoide . ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle T_{n}/I}$

Algunos resultados clave son:

• (División de Weierstrass) Sea una serie -distinguida de orden s ; es decir, donde , es un elemento unidad y para . ^[7] Entonces para cada , existen un único y un único polinomio de grado tal que ${\displaystyle g\in T_{n}}$ ${\displaystyle \xi _{n}}$ ${\displaystyle g=\sum _{\nu =0}^{\infty }g_{\nu }\xi _{n}^{\nu }}$ ${\displaystyle g_{\nu }\in T_{n-1}}$ ${\displaystyle g_{s}}$ ${\displaystyle |g_{s}|=\|g\|>|g_{v}|}$ ${\displaystyle \nu >s}$ ${\displaystyle f\in T_{n}}$ ${\displaystyle q\in T_{n}}$ ${\displaystyle r\in T_{n-1}[\xi _{n}]}$ ${\displaystyle <s}$

  ${\displaystyle f=qg+r.}$^[8]

• ( Preparación de Weierstrass ) Como se indicó anteriormente, sea una serie distinguida de orden s . Entonces existe un único polinomio mónico de grado y un elemento unidad tal que . ^[9] ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \xi _{n}}$ ${\displaystyle f\in T_{n-1}[\xi _{n}]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle u\in T_{n}}$ ${\displaystyle g=fu}$
• (Normalización de Noether) Si es un ideal, entonces existe un homomorfismo finito . ^[10] ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset T_{n}}$ ${\displaystyle T_{d}\hookrightarrow T_{n}/{\mathfrak {a}}}$

Como consecuencia de la división, los teoremas de preparación y la normalización de Noether, es un dominio de factorización único noetheriano de dimensión de Krull n . ^[11] Un análogo del Nullstellensatz de Hilbert es válido: el radical de un ideal es la intersección de todos los ideales maximales que contienen al ideal (decimos que el anillo es Jacobson). ^[12] ${\displaystyle T_{n}}$

Resultados

Los resultados para anillos polinómicos como el lema de Hensel , los algoritmos de división (o la teoría de bases de Gröbner ) también son válidos para el anillo de series de potencias restringidas. A lo largo de la sección, sea A un anillo topologizado linealmente, separado y completo.

• (Hensel) Sea un ideal maximalista y la función cociente. Dado un en , si para algún polinomio mónico y una serie de potencias restringidas tales que generen el ideal unitario de , entonces existen en y en tales que ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A}$ ${\displaystyle \varphi :A\to k:=A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A\langle \xi \rangle }$ ${\displaystyle \varphi (F)=gh}$ ${\displaystyle g\in k[\xi ]}$ ${\displaystyle h\in k\langle \xi \rangle }$ ${\displaystyle g,h}$ ${\displaystyle k\langle \xi \rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A[\xi ]}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A\langle \xi \rangle }$

  ${\displaystyle F=GH,\,\varphi (G)=g,\varphi (H)=h}$. ^[13]

Notas

1. Proyecto Stacks, etiqueta 0AKZ.
2. Grothendieck y Dieudonné 1960, Cap. 0, § 7.5.1.
3. Bourbaki 2006, Cap. III, § 4. Definición 2 y Proposición 3.
4. Grothendieck y Dieudonné 1960, Cap. 0, § 7.5.3.
5. Fujiwara y Kato 2018, Cap. 0, justo después de la Proposición 9.3.
6. Bosch 2014, § 2.3. Corolario 8
7. Bosch 2014, § 2.2. Definición 6.
8. Bosch 2014, § 2.2. Teorema 8.
9. Bosch 2014, § 2.2. Corolario 9.
10. Bosch 2014, § 2.2. Corolario 11.
11. Bosch 2014, § 2.2. Proposición 14, Proposición 15, Proposición 17.
12. Bosch 2014, § 2.2. Proposición 16.
13. Bourbaki 2006, Cap. III, § 4. Teorema 1.

Referencias

• Bourbaki, N. (2006). Algèbre conmutativo: Capítulos 1 a 4 . Springer Berlín Heidelberg. ISBN 9783540339373.
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi :10.1007/bf02684778. SEÑOR  0217083.
• Bosch, Sigfrido; Güntzer, Ulrich; Remmert, Reinhold (1984), "Capítulo 5", Análisis no arquimediano , Springer
• Bosch, Siegfried (2014), Lecciones sobre geometría formal y rígida, ISBN 9783319044170
• Fujiwara, Kazuhiro; Kato, Fumiharu (2018), Fundamentos de la geometría rígida I

Véase también

• Teorema de preparación de Weierstrass

Enlaces externos

• https://ncatlab.org/nlab/show/restricted+formal+power+series
• http://math.stanford.edu/~conrad/papers/aws.pdf
• https://web.archive.org/web/20060916051553/http://www-math.mit.edu/~kedlaya//18.727/tate-algebras.pdf