Componentes tangenciales y normales.

Ilustración de las componentes tangenciales y normales de un vector a una superficie.

En matemáticas , dado un vector en un punto de una curva , ese vector se puede descomponer únicamente como una suma de dos vectores, uno tangente a la curva, llamado componente tangencial del vector, y otro perpendicular a la curva, llamado componente tangencial del vector. componente normal del vector. De manera similar, un vector en un punto de una superficie se puede descomponer de la misma manera.

De manera más general , dada una subvariedad N de una variedad M y un vector en el espacio tangente a M en un punto de N , se puede descomponer en la componente tangente a N y la componente normal a N.

Definicion formal

Superficie

Más formalmente, sea una superficie y sea un punto en la superficie. Sea un vector en . Entonces se puede escribir de forma única como una suma. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\parallel }+\mathbf {v} _{\perp }}$$

Para calcular las componentes tangencial y normal, considere una unidad normal a la superficie, es decir, un vector unitario perpendicular a en . Entonces, ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }=\left(\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right){\hat {\mathbf {n} }}}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\perp }}$$

producto escalar ${\displaystyle \cdot }$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }=-{\hat {\mathbf {n} }}\times ({\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {v} ),}$$

donde " " denota el producto cruzado . ${\displaystyle \times }$

Estas fórmulas no dependen de la unidad normal particular utilizada (existen dos unidades normales a cualquier superficie en un punto dado, que apuntan en direcciones opuestas, por lo que una de las unidades normales es negativa de la otra). ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

subcolector

De manera más general, dada una subvariedad N de una variedad M y un punto , obtenemos una secuencia corta y exacta que involucra los espacios tangentes : ${\displaystyle p\in N}$

$${\displaystyle T_{p}N\to T_{p}M\to T_{p}M/T_{p}N}$$

espacio cociente ${\displaystyle T_{p}M/T_{p}N}$

Si M es una variedad de Riemann , la secuencia anterior se divide y el espacio tangente de M en p se descompone como una suma directa de la componente tangente a N y la componente normal a N :

$${\displaystyle T_{p}M=T_{p}N\oplus N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }}$$

vector tangente, ${\displaystyle v\in T_{p}M}$ ${\displaystyle v=v_{\parallel }+v_{\perp }}$ ${\displaystyle v_{\parallel }\in T_{p}N}$ ${\displaystyle v_{\perp }\in N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }}$

Cálculos

Supongamos que N está dado por ecuaciones no degeneradas.

Si N se da explícitamente, mediante ecuaciones paramétricas (como una curva paramétrica ), entonces la derivada da un conjunto de expansión para el paquete tangente (es una base si y sólo si la parametrización es una inmersión ).

Si N se da implícitamente (como en la descripción anterior de una superficie, (o más generalmente como) una hipersuperficie ) como un conjunto de niveles o intersección de superficies de niveles para , entonces los gradientes de abarcan el espacio normal. ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$

En ambos casos, podemos calcular nuevamente usando el producto escalar ; Sin embargo, el producto cruzado es especial para 3 dimensiones.

Aplicaciones

• Multiplicadores de Lagrange : los puntos críticos restringidos son donde el componente tangencial de la derivada total desaparece.
• Superficie normal
• Fórmulas de Frenet-Serret
• Geometría diferencial de superficies § Vectores tangentes y vectores normales

Referencias

• Rojansky, Vladimir (1979). Campos y ondas electromagnéticos . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-63834-0.
• Crowell, Benjamín (2003). Luz y Materia.