En la teoría de campos de clases , el teorema de existencia de Takagi establece que para cualquier campo numérico K existe una inclusión uno a uno que invierte la correspondencia entre las extensiones abelianas finitas de K (en una clausura algebraica fija de K ) y los grupos de clases ideales generalizados definidos. a través de un módulo de K .
Se llama teorema de existencia porque la carga principal de la prueba es mostrar la existencia de suficientes extensiones abelianas de K.
Aquí un módulo (o divisor de rayos ) es un producto finito formal de las valoraciones (también llamadas números primos o lugares ) de K con exponentes enteros positivos. Las valoraciones de Arquímedes que podrían aparecer en un módulo incluyen sólo aquellas cuyas terminaciones son los números reales (no los complejos); pueden identificarse con ordenamientos en K y ocurrir solo hasta el exponente uno.
El módulo m es un producto de una parte no arquimediana (finita) m f y una parte arquimediana (infinita) m ∞ . La parte no arquimediana m f es un ideal distinto de cero en el anillo de números enteros O K de K y la parte arquimediana m ∞ es simplemente un conjunto de incrustaciones reales de K . Asociados a dicho módulo m hay dos grupos de ideales fraccionarios . El más grande, Im , es el grupo de todos los ideales fraccionarios relativamente primos con respecto a m (lo que significa que estos ideales fraccionarios no implican ningún ideal primo que aparezca en m f ). El más pequeño, P m , es el grupo de ideales fraccionarios principales ( u / v ) donde u y v son elementos distintos de cero de OK que son primos de m f , u ≡ v mod m f y u / v > 0 en cada uno de los ordenamientos de m ∞ . (Es importante aquí que en P m , todo lo que requerimos es que algún generador del ideal tenga la forma indicada. Si uno la tiene, es posible que otros no. Por ejemplo, tomando K como números racionales, el ideal (3) se encuentra en P 4 porque (3) = (−3) y −3 se ajusta a las condiciones necesarias. Pero (3) no está en P 4∞ ya que aquí se requiere que el generador positivo del ideal sea 1 mod 4, lo cual no lo es. entonces.) Para cualquier grupo H que se encuentre entre Im y P m , el cociente Im / H se denomina grupo de clases ideal generalizado .
Son estos grupos de clases ideales generalizados los que corresponden a extensiones abelianas de K según el teorema de existencia y, de hecho, son los grupos de Galois de estas extensiones. Que los grupos de clases ideales generalizados son finitos se demuestra en la misma línea que la prueba de que el grupo de clases ideal habitual es finito, mucho antes de saber que se trata de grupos de Galois de extensiones abelianas finitas del campo numérico.
Estrictamente hablando, la correspondencia entre extensiones abelianas finitas de K y grupos de clases ideales generalizados no es del todo uno a uno. Los grupos de clases ideales generalizados definidos en relación con diferentes módulos pueden dar lugar a la misma extensión abeliana de K , y esto está codificado a priori en una relación de equivalencia algo complicada sobre grupos de clases ideales generalizados.
En términos concretos, para las extensiones abelianas L de los números racionales, esto corresponde al hecho de que una extensión abeliana de los racionales que se encuentran en un campo ciclotómico también se encuentra en infinitos otros campos ciclotómicos, y para cada uno de esos sobrecampos ciclotómicos se obtiene mediante la teoría de Galois un subgrupo del grupo Galois correspondiente al mismo campo L.
En la formulación idélica de la teoría de campos de clases, se obtiene una correspondencia uno a uno precisa entre extensiones abelianas y grupos apropiados de ideles , donde grupos de clases ideales generalizados equivalentes en el lenguaje de la teoría ideal corresponden al mismo grupo de ideles.
Un caso especial del teorema de existencia es cuando m = 1 y H = P 1 . En este caso, el grupo de clases ideal generalizado es el grupo de clases ideales de K , y el teorema de existencia dice que existe una extensión abeliana única L / K con un grupo de Galois isomorfo al grupo de clases ideales de K tal que L no está ramificado en todos los lugares de K. Esta extensión se llama campo de clase de Hilbert . David Hilbert conjeturó que existía, y Philipp Furtwängler demostró su existencia en este caso especial en 1907, antes del teorema de existencia general de Takagi.
Una propiedad adicional y especial del campo de clases de Hilbert, que no se aplica a extensiones abelianas más pequeñas de un campo numérico, es que todos los ideales en un campo numérico se vuelven principales en el campo de clases de Hilbert. Se requirió que Artin y Furtwängler demostraran que se produce la principalización.
El teorema de existencia se debe a Takagi , quien lo demostró en Japón durante los años aislados de la Primera Guerra Mundial . Lo presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1920, lo que condujo al desarrollo de la teoría clásica de la teoría de campos de clases durante la década de 1920. A petición de Hilbert, el artículo se publicó en Mathematische Annalen en 1925.