Sistema de ecuaciones diferenciales

Grupo de ecuaciones diferenciales

En matemáticas, un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto finito de ecuaciones diferenciales . Un sistema de este tipo puede ser lineal o no lineal . Además, un sistema de este tipo puede ser un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones diferenciales parciales .

Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales

Un sistema lineal de primer orden de EDO es un sistema en el que cada ecuación es de primer orden y depende linealmente de las funciones desconocidas. Aquí consideramos sistemas con un número igual de funciones y ecuaciones desconocidas. Estas pueden escribirse como

${\displaystyle {\frac {dx_{j}}{dt}}=a_{j1}(t)x_{1}+\ldots +a_{jn}(t)x_{n}+g_{j}(t),\qquad j=1,\ldots ,n}$

donde es un entero positivo y son funciones arbitrarias de la variable independiente t. Un sistema lineal de primer orden de EDO puede escribirse en forma matricial: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{ji}(t),g_{j}(t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\ldots &\vdots \\a_{n1}&&a_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{2}\\\vdots \\g_{n}\end{bmatrix}},}$

o simplemente

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {g} (t)}$.

Sistemas homogéneos de ecuaciones diferenciales

Se dice que un sistema lineal es homogéneo si para cada uno y para todos los valores de , de lo contrario se dice que no es homogéneo. Los sistemas homogéneos tienen la propiedad de que si son soluciones linealmente independientes del sistema, entonces cualquier combinación lineal de estas, , es también una solución del sistema lineal donde son constantes. ${\displaystyle g_{j}(t)=0}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {x_{1}} ,\ldots ,\mathbf {x_{p}} }$ ${\displaystyle C_{1}\mathbf {x_{1}} +\ldots +C_{p}\mathbf {x_{p}} }$ ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{p}}$

El caso en el que todos los coeficientes son constantes tiene una solución general: , donde es un valor propio de la matriz con vectores propios correspondientes para . Esta solución general solo se aplica en los casos en los que tiene n valores propios distintos; los casos con menos valores propios distintos deben tratarse de manera diferente. ${\displaystyle a_{ji}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =C_{1}\mathbf {v_{1}} e^{\lambda _{1}t}+\ldots +C_{n}\mathbf {v_{n}} e^{\lambda _{n}t}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Independencia lineal de soluciones

Para un sistema arbitrario de EDO, se dice que un conjunto de soluciones es linealmente independiente si: ${\displaystyle \mathbf {x_{1}} (t),\ldots ,\mathbf {x_{n}} (t)}$

${\displaystyle C_{1}\mathbf {x_{1}} (t)+\ldots +C_{n}\mathbf {x_{n}} =0\quad \forall t}$ se satisface solo por . ${\displaystyle C_{1}=\ldots =C_{n}=0}$

Una ecuación diferencial de segundo orden se puede convertir en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden definiendo , lo que nos da el sistema de primer orden: ${\displaystyle {\ddot {x}}=f(t,x,{\dot {x}})}$ ${\displaystyle y={\dot {x}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}&=&y\\{\dot {y}}&=&f(t,x,y)\end{cases}}}$

Al igual que con cualquier sistema lineal de dos ecuaciones, dos soluciones pueden considerarse linealmente independientes si implica , o equivalentemente, que es distinto de cero. Esta noción se extiende a los sistemas de segundo orden, y dos soluciones cualesquiera de una EDO de segundo orden se consideran linealmente independientes si son linealmente independientes en este sentido. ${\displaystyle C_{1}\mathbf {x} _{1}+C_{2}\mathbf {x} _{2}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle C_{1}=C_{2}=0}$ ${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\{\dot {x}}_{1}&{\dot {x}}_{2}\end{vmatrix}}}$

Sobredeterminación de sistemas de ecuaciones diferenciales

Como cualquier sistema de ecuaciones, se dice que un sistema de ecuaciones diferenciales lineales está sobredeterminado si hay más ecuaciones que incógnitas. Para que un sistema sobredeterminado tenga una solución, debe satisfacer las condiciones de compatibilidad. ^[1] Por ejemplo, considere el sistema:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=f_{i},1\leq i\leq m.}$

Entonces las condiciones necesarias para que el sistema tenga solución son:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}=0,1\leq i,k\leq m.}$

Véanse también: Problema de Cauchy y principio fundamental de Ehrenpreis .

Sistema no lineal de ecuaciones diferenciales

Quizás el ejemplo más famoso de un sistema no lineal de ecuaciones diferenciales son las ecuaciones de Navier-Stokes . A diferencia del caso lineal, la existencia de una solución de un sistema no lineal es un problema difícil (cf. Existencia y suavidad de Navier-Stokes ).

Otros ejemplos de sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales incluyen las ecuaciones de Lotka-Volterra .

Sistema diferencial

Un sistema diferencial es un medio para estudiar un sistema de ecuaciones diferenciales parciales utilizando ideas geométricas como formas diferenciales y campos vectoriales.

Por ejemplo, las condiciones de compatibilidad de un sistema sobredeterminado de ecuaciones diferenciales pueden enunciarse sucintamente en términos de formas diferenciales (es decir, para que una forma sea exacta, debe ser cerrada). Para obtener más información, consulte las condiciones de integrabilidad de los sistemas diferenciales .

Véase también

• Geometría integral
• Teorema de prolongación de Cartan-Kuranishi

Notas

1. "Sistema sobredeterminado - Enciclopedia de Matemáticas".

Referencias

• L. Ehrenpreis, La universalidad de la transformada del radón , Oxford Univ. Press, 2003.
• Gromov, M. (1986), Relaciones diferenciales parciales, Springer, ISBN 3-540-12177-3 
• M. Kuranishi, "Conferencias sobre sistemas involutivos de ecuaciones diferenciales parciales", Publ. Soc. Mat. São Paulo (1967)
• Pierre Schapira, Sistemas microdiferenciales en el dominio complejo, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 269, Springer-Verlag, 1985.

Lectura adicional

• https://mathoverflow.net/questions/273235/a-very-basic-question-about-projections-in-formal-pde-theory
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Involutional_system
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Complete_system
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Partial_ Differential_equations_on_a_manifold