Polinomios de Stirling

En matemáticas , los polinomios de Stirling son una familia de polinomios que generalizan secuencias importantes de números que aparecen en combinatoria y análisis , que están estrechamente relacionados con los números de Stirling , los números de Bernoulli y los polinomios de Bernoulli generalizados . Hay múltiples variantes de la secuencia de polinomios de Stirling que se consideran a continuación, entre las que se incluyen la forma de secuencia de Sheffer de la secuencia, , definida característicamente a través de la forma especial de su función generadora exponencial, y los polinomios de Stirling (convolución) , , que también satisfacen una función generadora ordinaria característica y que son útiles para generalizar los números de Stirling (de ambos tipos) a entradas arbitrarias de valores complejos . Consideramos la variante " polinomio de convolución " de esta secuencia y sus propiedades en segundo lugar en la última subsección del artículo. Aún se estudian otras variantes de los polinomios de Stirling en los enlaces complementarios a los artículos que se dan en las referencias. ${\displaystyle S_{k}(x)}$ ${\displaystyle \sigma _{n}(x)}$

Definición y ejemplos

Para números enteros no negativos k , los polinomios de Stirling, S _k ( x ), son una secuencia de Sheffer para ^[1] definida por la función generadora exponencial ${\displaystyle (g(t),{\bar {f}}(t)):=\left(e^{-t},\log \left({\frac {t}{1-e^{-t}}}\right)\right)}$

${\displaystyle \left({t \over {1-e^{-t}}}\right)^{x+1}=\sum _{k=0}^{\infty }S_{k}(x){t^{k} \over k!}.}$

Los polinomios de Stirling son un caso especial de los polinomios de Nørlund (o polinomios de Bernoulli generalizados) ^[2] cada uno con función generadora exponencial .

${\displaystyle \left({t \over {e^{t}-1}}\right)^{a}e^{zt}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}^{(a)}(z){t^{k} \over k!},}$

dado por la relación . ${\displaystyle S_{k}(x)=B_{k}^{(x+1)}(x+1)}$

Los primeros 10 polinomios de Stirling se dan en la siguiente tabla:

En ^[3] se considera otra variante de los polinomios de Stirling (véase también la subsección sobre polinomios de convolución de Stirling más abajo). En particular, el artículo de I. Gessel y RP Stanley define las secuencias de polinomios de Stirling modificadas, y donde son los números de Stirling sin signo de primera especie , en términos de los dos triángulos de números de Stirling para números enteros no negativos . Para fijo , tanto y son polinomios de la entrada cada uno de grado y con coeficiente principal dado por el término factorial doble . ${\displaystyle f_{k}(n):=S(n+k,n)}$ ${\displaystyle g_{k}(n):=c(n,n-k)}$ ${\displaystyle c(n,k):=(-1)^{n-k}s(n,k)}$ ${\displaystyle n\geq 1,\ k\geq 0}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle f_{k}(n)}$ ${\displaystyle g_{k}(n)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle (1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1))/(2k)!}$

Propiedades

A continuación se indican los polinomios de Bernoulli y los números de Bernoulli según la convención denota un número de Stirling del primer tipo ; y denota números de Stirling del segundo tipo . ${\displaystyle B_{k}(x)}$ ${\displaystyle B_{k}=B_{k}(0)}$ ${\displaystyle B_{1}=B_{1}(0)=-{\tfrac {1}{2}};}$ ${\displaystyle s_{m,n}}$ ${\displaystyle S_{m,n}}$

• Valores especiales: $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{k}(-m)&={\frac {(-1)^{k}}{k+m-1 \choose k}}S_{k+m-1,m-1}&&0<m\in \mathbb {Z} \\[6pt]S_{k}(-1)&=\delta _{k,0}\\[6pt]S_{k}(0)&=(-1)^{k}B_{k}\\[6pt]S_{k}(1)&=(-1)^{k+1}((k-1)B_{k}+kB_{k-1})\\[6pt]S_{k}(2)&={\tfrac {(-1)^{k}}{2}}((k-1)(k-2)B_{k}+3k(k-2)B_{k-1}+2k(k-1)B_{k-2})\\[6pt]S_{k}(k)&=k!\\[6pt]\end{aligned}}}$$
• Si y entonces: ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m<k}$ $${\displaystyle S_{k}(m)={(m+1)}{\binom {k}{m+1}}\sum _{j=0}^{m}(-1)^{m-j}s_{m+1,m+1-j}{\frac {B_{k-j}}{k-j}}.}$$
• Si y entonces: ^[4] y: ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m\geq k}$ $${\displaystyle S_{k}(m)=(-1)^{k}B_{k}^{(m+1)}(0),}$$ $${\displaystyle S_{k}(m)={(-1)^{k} \over {m \choose k}}s_{m+1,m+1-k}.}$$

• La secuencia es de tipo binomial , ya que Además, esta recursión básica se cumple: ${\displaystyle S_{k}(x-1)}$ $${\displaystyle S_{k}(x+y-1)=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}S_{i}(x-1)S_{k-i}(y-1).}$$ $${\displaystyle S_{k}(x)=(x-k){S_{k}(x-1) \over x}+kS_{k-1}(x+1).}$$
• Las representaciones explícitas que involucran números de Stirling se pueden deducir con la fórmula de interpolación de Lagrange : Aquí, están los polinomios de Laguerre . $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{k}(x)&=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{k-n}S_{k+n,n}{{x+n \choose n}{x+k+1 \choose k-n} \over {k+n \choose n}}\\[6pt]&=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}s_{k+n+1,n+1}{{x-k \choose n}{x-k-n-1 \choose k-n} \over {k+n \choose k}}\\[6pt]&=k!\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}\sum _{m=j}^{k}{x+m \choose m}{m \choose j}L_{k+m}^{(-k-j)}(-j)\\[6pt]\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}}$
• También se cumplen las siguientes relaciones: $${\displaystyle {k+m \choose k}S_{k}(x-m)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{k+m \choose i}S_{k-i+m,m}\cdot S_{i}(x),}$$ $${\displaystyle {k-m \choose k}S_{k}(x+m)=\sum _{i=0}^{k}{k-m \choose i}s_{m,m-k+i}\cdot S_{i}(x).}$$
• Al diferenciar la función generadora se deduce fácilmente que $${\displaystyle S_{k}^{\prime }(x)=-\sum _{j=0}^{k-1}{k \choose j}S_{j}(x){\frac {B_{k-j}}{k-j}}.}$$

Polinomios de convolución de Stirling

Definición y ejemplos

Otra variante de la sucesión de polinomios de Stirling corresponde a un caso especial de los polinomios de convolución estudiados en el artículo de Knuth ^[5] y en la referencia de Matemáticas Concretas . Definimos primero estos polinomios a través de los números de Stirling de primera especie como

${\displaystyle \sigma _{n}(x)=\left[{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right]\cdot {\frac {1}{x(x-1)\cdots (x-n)}}.}$

De ello se deduce que estos polinomios satisfacen la siguiente relación de recurrencia dada por

${\displaystyle (x+1)\sigma _{n}(x+1)=(x-n)\sigma _{n}(x)+x\sigma _{n-1}(x),\ n\geq 1.}$

Estos polinomios de " convolución " de Stirling se pueden utilizar para definir los números de Stirling, y , para números enteros y valores complejos arbitrarios de . La siguiente tabla proporciona varios casos especiales de estos polinomios de Stirling para los primeros . ${\displaystyle \scriptstyle {\left[{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right]}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right\}}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Funciones generadoras

Esta variante de la secuencia polinomial de Stirling tiene funciones generadoras ordinarias particularmente bonitas de las siguientes formas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {ze^{z}}{e^{z}-1}}\right)^{x}&=\sum _{n\geq 0}x\sigma _{n}(x)z^{n}\\\left({\frac {1}{z}}\ln {\frac {1}{1-z}}\right)^{x}&=\sum _{n\geq 0}x\sigma _{n}(x+n)z^{n}.\end{aligned}}}$

De manera más general, si es una serie de potencias que satisface , tenemos que ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{t}(z)}$ ${\displaystyle \ln \left(1-z{\mathcal {S}}_{t}(z)^{t-1}\right)=-z{\mathcal {S}}_{t}(z)^{t}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{t}(z)^{x}=\sum _{n\geq 0}x\sigma _{n}(x+tn)z^{n}.}$

También tenemos la identidad de serie relacionada ^[6]

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}(-1)^{n-1}\sigma _{n}(n-1)z^{n}={\frac {z}{\ln(1+z)}}=1+{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{12}}+\cdots ,}$

y las funciones generadoras relacionadas con el polinomio de Stirling (Sheffer) dadas por

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}(-1)^{n+1}m\cdot \sigma _{n}(n-m)z^{n}=\left({\frac {z}{\ln(1+z)}}\right)^{m}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}(-1)^{n+1}m\cdot \sigma _{n}(m)z^{n}=\left({\frac {z}{1-e^{-z}}}\right)^{m}.}$

Propiedades y relaciones

Para números enteros y , estos polinomios satisfacen las dos fórmulas de convolución de Stirling dadas por ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle (r+s)\sigma _{n}(r+s+tn)=rs\sum _{k=0}^{n}\sigma _{k}(r+tk)\sigma _{n-k}(s+t(n-k))}$

y

${\displaystyle n\sigma _{n}(r+s+tn)=s\sum _{k=0}^{n}k\sigma _{k}(r+tk)\sigma _{n-k}(s+t(n-k)).}$

Cuando , también tenemos que los polinomios, , se definen a través de sus relaciones con los números de Stirling ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \sigma _{n}(m)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\}&=(-1)^{n-m+1}{\frac {n!}{(m-1)!}}\sigma _{n-m}(-m)\ ({\text{when }}m<0)\\\left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]&={\frac {n!}{(m-1)!}}\sigma _{n-m}(n)\ ({\text{when }}m>n),\end{aligned}}}$

y sus relaciones con los números de Bernoulli dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{n}(m)&={\frac {(-1)^{m+n-1}}{m!(n-m)!}}\sum _{0\leq k<m}\left[{\begin{matrix}m\\m-k\end{matrix}}\right]{\frac {B_{n-k}}{n-k}},\ n\geq m>0\\\sigma _{n}(m)&=-{\frac {B_{n}}{n\cdot n!}},\ m=0.\end{aligned}}}$

Véase también

• Polinomios de Bernoulli
• Polinomios de Bernoulli de segundo tipo
• Secuencias de Sheffer y Appell
• Polinomios diferenciales
• Funciones generadoras de polinomios especiales
• Coeficientes de Gregory

Referencias

1. Véase la sección 4.8.8 de la referencia The Umbral Calculus (1984) enlazada a continuación.
2. Ver polinomios de Norlund en MathWorld.
3. Gessel y Stanley (1978). "Polinomios de Stirling". J. Combin. Theory Ser. A. 53 : 24–33. doi :10.1016/0097-3165(78)90042-0.
4. Sección 4.4.8 de El cálculo umbral .
5. Knuth, DE (1992). "Polinomios de convolución". Mathematica J . 2 : 67–78. arXiv : math/9207221 . Código Bibliográfico :1992math......7221K.El artículo contiene definiciones y propiedades de familias de polinomios de convolución especiales definidas por funciones generadoras especiales de la forma para . Los casos especiales de estas secuencias de polinomios de convolución incluyen las series de potencias binomiales , , los denominados polinomios de árbol , los números de Bell , y los polinomios de Laguerre . Para , se dice que los polinomios son de tipo binomial , y además, satisfacen la relación de función generadora para todo , donde se define implícitamente por una ecuación funcional de la forma . El artículo también analiza aproximaciones asintóticas y métodos aplicados a secuencias polinomiales de este tipo. ${\displaystyle F(z)^{x}}$ ${\displaystyle F(0)=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{t}(z)=1+z{\mathcal {B}}_{t}(z)^{t}}$ ${\displaystyle B(n)}$ ${\displaystyle F_{n}(x):=[z^{n}]F(z)^{x}}$ ${\displaystyle n!\cdot F_{n}(x)}$ ${\displaystyle {\frac {zF_{n}(x+tn)}{(x+tn)}}=[z^{n}]{\mathcal {F}}_{t}(z)^{x}}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}(z)=F\left(x{\mathcal {F}}_{t}(z)^{t}\right)}$
6. Sección 7.4 de Matemáticas Concretas .

• Erdeli, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F. y Tricomi, FG Funciones trascendentales superiores. Volumen III . Nueva York.
• Graham; Knuth y Patashnik (1994). Matemáticas concretas: una base para la ciencia informática .
• S. Roman (1984). El cálculo umbral .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Polinomio de Stirling". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Polinomio de Nørlund". MundoMatemático .
• Este artículo incorpora material de Polinomio de Stirling en PlanetMath , que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .