Superficie romana

Mapeo autointersecante y altamente simétrico del plano proyectivo real en el espacio 3D

Una animación de la superficie romana.

En matemáticas , la superficie romana o superficie de Steiner es una aplicación autointersecante del plano proyectivo real en el espacio tridimensional , con un grado de simetría inusualmente alto . Esta aplicación no es una inmersión del plano proyectivo; sin embargo, la figura resultante de eliminar seis puntos singulares es una. Su nombre surge porque fue descubierta por Jakob Steiner cuando estaba en Roma en 1844. ^[1]

La construcción más simple es como la imagen de una esfera centrada en el origen bajo el mapa. Esto da una fórmula implícita de ${\displaystyle f(x,y,z)=(yz,xz,xy).}$

${\displaystyle x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}-r^{2}xyz=0.\,}$

Además, tomando una parametrización de la esfera en términos de longitud ( θ ) y latitud ( φ ), se obtienen ecuaciones paramétricas para la superficie romana como sigue:

${\displaystyle x=r^{2}\cos \theta \cos \varphi \sin \varphi }$

${\displaystyle y=r^{2}\sin \theta \cos \varphi \sin \varphi }$

${\displaystyle z=r^{2}\cos \theta \sin \theta \cos ^{2}\varphi }$

El origen es un punto triple y cada uno de los planos xy , yz y xz son tangentes a la superficie que se encuentra allí. Los otros puntos de autointersección son puntos dobles, que definen segmentos a lo largo de cada eje de coordenadas que terminan en seis puntos de pinzamiento. La superficie entera tiene simetría tetraédrica . Es un tipo particular (llamado tipo 1) de superficie de Steiner, es decir, una proyección lineal tridimensional de la superficie de Veronese .

Derivación de fórmula implícita

Para simplificar, consideramos solo el caso r = 1. Dada la esfera definida por los puntos ( x , y , z ) tales que

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,}$

Aplicamos a estos puntos la transformación T definida por ejemplo. ${\displaystyle T(x,y,z)=(yz,zx,xy)=(U,V,W),\,}$

Pero luego tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}&=z^{2}x^{2}y^{4}+x^{2}y^{2}z^{4}+y^{2}z^{2}x^{4}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}y^{2}z^{2})\\[8pt]&=(1)(x^{2}y^{2}z^{2})=(xy)(yz)(zx)=UVW,\end{aligned}}}$

y así como desees. ${\displaystyle U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0\,}$

Por el contrario , supongamos que se nos dan ( U , V , W ) que satisfacen

(*) ${\displaystyle U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0.\,}$

Demostramos que existe ( x , y , z ) tal que

(**) ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,}$

Para cual ${\displaystyle U=xy,V=yz,W=zx,\,}$

con una excepción: en el caso 3.b. a continuación, demostramos que esto no se puede probar.

1. En el caso en que ninguno de U , V , W sea 0, podemos establecer

${\displaystyle x={\sqrt {\frac {WU}{V}}},\ y={\sqrt {\frac {UV}{W}}},\ z={\sqrt {\frac {VW}{U}}}.\,}$

(Tenga en cuenta que (*) garantiza que los tres, U, V, W, son positivos, o bien exactamente dos son negativos. Por lo tanto, estas raíces cuadradas son de números positivos).

Es fácil utilizar (*) para confirmar que (**) es válido para x , y , z definidos de esta manera.

2. Supongamos que W es 0. De (*) esto implica ${\displaystyle U^{2}V^{2}=0\,}$

y por lo tanto al menos uno de U , V debe ser 0 también. Esto demuestra que es imposible que exactamente uno de U , V , W sea 0.

3. Supongamos que exactamente dos de U , V , W son 0. Sin pérdida de generalidad asumimos

(***) ${\displaystyle U\neq 0,V=W=0.\,}$

Resulta que ${\displaystyle z=0,\,}$

(ya que implica que y por lo tanto contradice (***).) ${\displaystyle z\neq 0,\,}$ ${\displaystyle x=y=0,\,}$ ${\displaystyle U=0,\,}$

a. En el subcaso donde

${\displaystyle |U|\leq {\frac {1}{2}},}$

Si determinamos x e y por

${\displaystyle x^{2}={\frac {1+{\sqrt {1-4U^{2}}}}{2}}}$

y ${\displaystyle y^{2}={\frac {1-{\sqrt {1-4U^{2}}}}{2}},}$

Esto garantiza que (*) se cumple. Es fácil verificar que ${\displaystyle x^{2}y^{2}=U^{2},\,}$

y por lo tanto elegir los signos de x e y apropiadamente garantizará ${\displaystyle xy=U.\,}$

Desde también ${\displaystyle yz=0=V{\text{ and }}zx=0=W,\,}$

Esto demuestra que este subcaso conduce al recíproco deseado.

b. En este subcaso restante del caso 3. , tenemos ${\displaystyle |U|>{\frac {1}{2}}.}$

Desde ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,\,}$

Es fácil comprobarlo ${\displaystyle xy\leq {\frac {1}{2}},}$

y así en este caso, donde ${\displaystyle |U|>1/2,\ V=W=0,}$

no hay ( x , y , z ) satisfactorio ${\displaystyle U=xy,\ V=yz,\ W=zx.}$

De ahí las soluciones ( U , 0, 0) de la ecuación (*) con ${\displaystyle |U|>{\frac {1}{2}}}$

y asimismo, (0, V , 0) con ${\displaystyle |V|>{\frac {1}{2}}}$

y (0, 0, W ) con ${\displaystyle |W|>{\frac {1}{2}}}$

(cada una de las cuales es una porción no compacta de un eje de coordenadas, en dos piezas) no corresponden a ningún punto de la superficie romana .

4. Si ( U , V , W ) es el punto (0, 0, 0), entonces si dos de x , y , z son cero y el tercero tiene valor absoluto 1, claramente como se desea. ${\displaystyle (xy,yz,zx)=(0,0,0)=(U,V,W)\,}$

Esto cubre todos los casos posibles.

Derivación de ecuaciones paramétricas

Sea una esfera de radio r , longitud φ y latitud θ . Entonces sus ecuaciones paramétricas son

${\displaystyle x=r\,\cos \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle y=r\,\cos \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle z=r\,\sin \theta .}$

Luego, al aplicar la transformación T a todos los puntos de esta esfera se obtiene

${\displaystyle x'=yz=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle y'=zx=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle z'=xy=r^{2}\,\cos ^{2}\theta \,\cos \phi \,\sin \phi ,}$

que son los puntos de la superficie romana. Sea φ un valor comprendido entre 0 y 2π, y sea θ un valor comprendido entre 0 y π/2 .

Relación con el plano proyectivo real

La esfera, antes de ser transformada, no es homeomorfa al plano proyectivo real, RP ² . Pero la esfera centrada en el origen tiene esta propiedad, que si el punto (x,y,z) pertenece a la esfera, entonces también lo hace el punto antípoda (-x,-y,-z) y estos dos puntos son diferentes: se encuentran en lados opuestos del centro de la esfera.

La transformación T convierte ambos puntos antípodas en el mismo punto,

${\displaystyle T:(x,y,z)\rightarrow (yz,zx,xy),}$

${\displaystyle T:(-x,-y,-z)\rightarrow ((-y)(-z),(-z)(-x),(-x)(-y))=(yz,zx,xy).}$

Como esto es cierto para todos los puntos de S ² , entonces está claro que la superficie romana es una imagen continua de una "esfera módulo antípodas". Debido a que algunos pares distintos de antípodas se llevan a puntos idénticos en la superficie romana, no es homeomorfa a RP ² , sino que es un cociente del plano proyectivo real RP ² = S ² / (x~-x) . Además, la función T (arriba) de S ² a este cociente tiene la propiedad especial de que es localmente inyectiva lejos de seis pares de puntos antípodas. O desde RP ² la función resultante hace que esto sea una inmersión de RP ² —menos seis puntos— en el 3-espacio.

Estructura de la superficie romana

La superficie romana tiene cuatro "lóbulos" bulbosos, cada uno en una esquina diferente de un tetraedro.

Se puede construir una superficie romana uniendo tres paraboloides hiperbólicos y luego suavizando los bordes según sea necesario para que se ajuste a la forma deseada (por ejemplo, parametrización).

Sean estos tres paraboloides hiperbólicos:

• x = yz ,
• y = zx ,
• 1. La función z es xy .

Estos tres paraboloides hiperbólicos se intersecan externamente a lo largo de las seis aristas de un tetraedro y internamente a lo largo de los tres ejes. Las intersecciones internas son lugares geométricos de puntos dobles. Los tres lugares geométricos de puntos dobles: x = 0, y = 0 y z = 0, se intersecan en un punto triple en el origen .

Por ejemplo, dado x = yz e y = zx , el segundo paraboloide es equivalente a x = y / z . Entonces

${\displaystyle yz={y \over z}}$

y o bien y = 0 o bien z ² = 1, de modo que z = ±1. Sus dos intersecciones externas son

• x = y , z = 1;
• x = − y , z = −1.

De la misma manera, las demás intersecciones externas son

• x = z , y = 1;
• x = − z , y = −1;
• y = z , x = 1;
• y = − z , x = −1.

Veamos cómo se juntan las piezas. Unimos los paraboloides y = xz y x = yz . El resultado se muestra en la Figura 1.

Figura 1.

El paraboloide y = xz se muestra en azul y naranja. El paraboloide x = yz se muestra en cian y violeta. En la imagen, se ve que los paraboloides se intersecan a lo largo del eje z = 0. Si se extienden los paraboloides, también se debería ver que se intersecan a lo largo de las líneas

• z = 1, y = x ;
• z = −1, y = − x .

Los dos paraboloides juntos parecen un par de orquídeas unidas espalda con espalda.

Ahora pase el tercer paraboloide hiperbólico, z = xy , a través de ellos. El resultado se muestra en la Figura 2.

Figura 2.

En las direcciones oeste-suroeste y este-noreste de la Figura 2 hay un par de aberturas. Estas aberturas son lóbulos y deben cerrarse. Cuando se cierran las aberturas, el resultado es la superficie romana que se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Superficie romana.

Se puede ver un par de lóbulos en las direcciones Oeste y Este de la Figura 3. Otro par de lóbulos está oculto debajo del tercer paraboloide ( z = xy ) y se encuentra en las direcciones Norte y Sur.

Si los tres paraboloides hiperbólicos que se cruzan se dibujan lo suficientemente lejos como para que se crucen a lo largo de los bordes de un tetraedro, el resultado es el que se muestra en la Figura 4.

Figura 4.

En la Figura 4 se ve uno de los lóbulos de manera frontal (de frente). Se puede ver que el lóbulo es una de las cuatro esquinas del tetraedro.

Si la superficie continua de la Figura 4 tiene sus bordes afilados redondeados (suavizados), entonces el resultado es la superficie romana de la Figura 5.

En la Figura 5 se observa frontalmente uno de los lóbulos de la superficie romana, siendo evidente su forma bulbosa , similar a un globo.

Si la superficie de la Figura 5 se gira 180 grados y luego se gira al revés, el resultado es el que se muestra en la Figura 6.

Figura 6. Superficie romana.

La figura 6 muestra tres lóbulos vistos de lado. Entre cada par de lóbulos hay un lugar geométrico de puntos dobles que corresponden a un eje de coordenadas. Los tres lugares geométricos se intersecan en un punto triple en el origen. El cuarto lóbulo está oculto y apunta en la dirección directamente opuesta al observador. La superficie romana que se muestra en la parte superior de este artículo también tiene tres lóbulos en vista lateral.

Unilateralidad

La superficie romana no es orientable , es decir, tiene un solo lado. Esto no es del todo obvio. Para comprobarlo, observe nuevamente la Figura 3.

Imaginemos una hormiga sobre el "tercer" paraboloide hiperbólico , z = xy . Dejemos que esta hormiga se desplace hacia el norte. A medida que se mueva, pasará a través de los otros dos paraboloides, como un fantasma que pasa a través de una pared. Estos otros paraboloides sólo parecen obstáculos debido a la naturaleza autointersecante de la inmersión. Dejemos que la hormiga ignore todos los puntos dobles y triples y pase directamente a través de ellos. De este modo, la hormiga se desplaza hacia el norte y cae por el borde del mundo, por así decirlo. Ahora se encuentra en el lóbulo norte, oculta debajo del tercer paraboloide de la Figura 3. La hormiga está parada boca abajo, en el "exterior" de la superficie romana.

Deja que la hormiga se mueva hacia el suroeste. Subirá una pendiente (boca abajo) hasta encontrarse "dentro" del lóbulo occidental. Ahora deja que la hormiga se mueva en dirección sureste a lo largo del interior del lóbulo occidental hacia el eje z = 0 , siempre por encima del plano xy . Tan pronto como pase por el eje z = 0 , la hormiga estará en el "exterior" del lóbulo oriental, de pie boca arriba.

Luego, déjela moverse hacia el norte, sobre “la colina”, luego hacia el noroeste, de modo que comience a deslizarse hacia el eje x = 0. Tan pronto como la hormiga cruce este eje, se encontrará “dentro” del lóbulo norte, parada boca arriba. Ahora deje que la hormiga camine hacia el norte. Trepará por la pared, luego a lo largo del “techo” del lóbulo norte. La hormiga está nuevamente en el tercer paraboloide hiperbólico, pero esta vez debajo de él y parada boca abajo. (Compare con la botella de Klein ).

Puntos dobles, triples y de pinzamiento

La superficie romana tiene cuatro "lóbulos". Los límites de cada lóbulo son un conjunto de tres líneas de puntos dobles. Entre cada par de lóbulos hay una línea de puntos dobles. La superficie tiene un total de tres líneas de puntos dobles, que se encuentran (en la parametrización dada anteriormente) en los ejes de coordenadas. Las tres líneas de puntos dobles se cortan en un punto triple que se encuentra en el origen. El punto triple corta las líneas de puntos dobles en un par de semirrectas, y cada semirrecta se encuentra entre un par de lóbulos. De las afirmaciones anteriores se podría esperar que pudiera haber hasta ocho lóbulos, uno en cada octante del espacio que ha sido dividido por los planos de coordenadas. Pero los lóbulos ocupan octantes alternos: cuatro octantes están vacíos y cuatro están ocupados por lóbulos.

Si la superficie romana se inscribiera dentro del tetraedro con el menor volumen posible, se encontraría que cada borde del tetraedro es tangente a la superficie romana en un punto, y que cada uno de estos seis puntos es una singularidad de Whitney . Estas singularidades, o puntos de pinzamiento, se encuentran todas en los bordes de las tres líneas de puntos dobles, y se definen por esta propiedad: no hay ningún plano tangente a ninguna superficie en la singularidad.

Véase también

• Superficie del niño : una inmersión del plano proyectivo sin tapas cruzadas.
• Tetrahemihexaedro : un poliedro muy similar a la superficie romana.

Referencias

1. Coffman, Adam. "Superficies romanas de Steiner". Banco Nacional de Curvas . Universidad de Indiana - Universidad Purdue Fort Wayne.

Referencias generales

• A. Coffman, A. Schwartz y C. Stanton: El álgebra y la geometría de Steiner y otras superficies parametrizables cuadráticamente . En Computer Aided Geometric Design (3) 13 (abril de 1996), págs. 257-286
• Bert Jüttler, Ragni Piene: Modelado geométrico y geometría algebraica . Springer 2008, ISBN 978-3-540-72184-0 , pág. 30 ( copia en línea restringida , pág. 30, en Google Books ) 

Enlaces externos

• A. Coffman, " Superficies de Steiner"
• Weisstein, Eric W. "Superficie romana". MathWorld .
• Superficies romanas en el National Curve Bank (sitio web de la Universidad Estatal de California)
• Ashay Dharwadker, Heptaedro y superficie romana, Modelos de geometría electrónica, 2004.