Teorema de Stahl

En el análisis matricial, el teorema de Stahl es un teorema demostrado en 2011 por Herbert Stahl sobre las transformadas de Laplace para funciones matriciales especiales. ^[1] Se originó en 1975 como la conjetura de Bessis-Moussa-Villani (BMV) por Daniel Bessis, Pierre Moussa y Marcel Villani. ^[2] En 2004, Elliott H. Lieb y Robert Seiringer dieron dos reformulaciones importantes de la conjetura BMV. ^[3] En 2015, Alexandre Eremenko dio una prueba simplificada del teorema de Stahl. ^[4]

En 2023, Otte Heinävaara demostró un teorema de estructura para matrices hermíticas introduciendo medidas espectrales conjuntas trazales que implican el teorema de Stahl como corolario. ^[5]

Enunciado del teorema

Sea la traza de una matriz . Si y son matrices hermíticas y es semidefinida positiva , defina , para todos los valores reales . Entonces se puede representar como la transformada de Laplace de una medida de Borel no negativa en . En otras palabras, para todos los valores reales , ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (t)=\operatorname {tr} (\exp(A-tB))}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \mathbf {f} }$( t ) = , ${\displaystyle \int _{[0,\infty )}e^{-ts}\,d\mu (s)}$

para alguna medida no negativa que dependa de y . ^[6] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Referencias

1. Stahl, Herbert R. (2013). "Prueba de la conjetura BMV". Acta Mathematica . 211 (2): 255–290. arXiv : 1107.4875 . doi :10.1007/s11511-013-0104-z.
2. Bessis, D.; Moussa, P.; Villani, M. (1975). "Aproximaciones variacionales convergentes monótonas a las integrales funcionales en mecánica estadística cuántica". Journal of Mathematical Physics . 16 (11): 2318–2325. Bibcode :1975JMP....16.2318B. doi : 10.1063/1.522463 .
3. Lieb, Elliott; Seiringer, Robert (2004). "Formas equivalentes de la conjetura de Bessis-Moussa-Villani". Revista de Física Estadística . 115 (1–2): 185–190. arXiv : math-ph/0210027 . Código Bibliográfico :2004JSP...115..185L. doi :10.1023/B:JOSS.0000019811.15510.27.
4. Eremenko, A. È. (2015). "Demostración de la conjetura BMV de Herbert Stahl". Sbornik: Matemáticas . 206 (1): 87–92. arXiv : 1312.6003 . Código Bibliográfico :2015SbMat.206...87E. doi :10.1070/SM2015v206n01ABEH004447.
5. Heinävaara, Otte (2023). "Medidas espectrales conjuntas traciales". arXiv : 2310.03227 [matemáticas.FA].
6. Clivaz, Fabien (2016). Teorema de Stahl (también conocido como conjetura BMV): perspectivas e intuición sobre su demostración . Teoría de operadores: avances y aplicaciones. Vol. 254. págs. 107-117. arXiv : 1702.06403 . doi :10.1007/978-3-319-29992-1_6. ISBN . 978-3-319-29990-7. ISSN  0255-0156.