Subvariedad espectral

Ilustración esquemática de una subvariedad espectral que emana de un subespacio espectral . Una trayectoria en las coordenadas reducidas se asigna al espacio de fases a través de la parametrización de la variedad . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {W}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p(t)}$ ${\displaystyle W(p)}$

En sistemas dinámicos , una subvariedad espectral (SSM) es la única variedad invariante más suave que sirve como extensión no lineal de un subespacio espectral de un sistema dinámico lineal bajo la adición de no linealidades. ^[2] La teoría SSM proporciona condiciones para cuando las propiedades invariantes de los espacios propios de un sistema dinámico lineal se pueden extender a un sistema no lineal y, por lo tanto, motiva el uso de SSM en la reducción de dimensionalidad no lineal .

Definición

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria no lineal de la forma

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax+f_{0}(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},}$

con matriz constante y las no linealidades contenidas en la función suave . ${\displaystyle \ A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle f_{0}={\mathcal {O}}(|x|^{2})}$

Supongamos que para todos los valores propios de , es decir, el origen es un punto fijo asintóticamente estable. Ahora seleccionemos un intervalo de vectores propios de . Entonces, el espacio propio es un subespacio invariante del sistema linealizado ${\displaystyle {\text{Re}}\lambda _{j}<0}$ ${\displaystyle \lambda _{j},\ j=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E={\text{span}}\,\{v_{1}^{E},\ldots v_{m}^{E}\}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v_{i}^{E}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Si se añade la no linealidad al sistema lineal, generalmente se produce una perturbación en infinitas variedades invariantes. Entre estas variedades invariantes, la única más suave se denomina subvariedad espectral. ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle E}$

Un resultado equivalente para SSM inestables se cumple para . ${\displaystyle {\text{Re}}\lambda _{j}>0}$

Existencia

Se garantiza que la subvariedad espectral tangente a en el origen existe siempre que los valores propios en el espectro de satisfagan ciertas condiciones de no resonancia . ^[3] En particular, no puede haber ninguna combinación lineal de igual a uno de los valores propios de fuera del subespacio espectral. Si existe tal resonancia externa, se puede incluir el modo resonante y extender el análisis a un SSM de dimensión superior perteneciente al subespacio espectral extendido. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \lambda _{i}^{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \lambda _{i}^{E}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$

Extensión no autónoma

La teoría sobre subvariedades espectrales se extiende a sistemas no lineales no autónomos de la forma

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax+f_{0}(x)+\epsilon f_{1}(x,\Omega t),\quad \Omega \in \mathbb {T} ^{k},\ 0\leq \epsilon \ll 1,}$

con un término de forzamiento cuasiperiódico . ^[4] ${\displaystyle f_{1}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{k}\to \mathbb {R} ^{n}}$

Significado

Las subvariedades espectrales son útiles para la reducción rigurosa de la dimensionalidad no lineal en sistemas dinámicos. La reducción de un espacio de fase de alta dimensión a una variedad de menor dimensión puede llevar a simplificaciones importantes al permitir una descripción precisa del comportamiento asintótico principal del sistema. ^[5] Para un sistema dinámico conocido, las subvariedades espectrales se pueden calcular analíticamente resolviendo las ecuaciones de invariancia, y se pueden emplear modelos reducidos en subvariedades espectrales para predecir la respuesta al forzamiento. ^[6]

Además, estas variedades también pueden extraerse directamente de los datos de trayectoria de un sistema dinámico con el uso de algoritmos de aprendizaje automático. ^[7]

Véase también

• Variedad invariante
• Reducción de dimensionalidad no lineal
• Estructura coherente lagrangiana

Referencias

1. Jain, Shobhit; Haller, George (2022). "Cómo calcular variedades invariantes y su dinámica reducida en modelos de elementos finitos de alta dimensión". Dinámica no lineal . 107 (2): 1417–1450. doi : 10.1007/s11071-021-06957-4 . hdl : 20.500.11850/519249 . S2CID  232269982.
2. Haller, George; Ponsioen, Sten (2016). "Modos normales no lineales y subvariedades espectrales: Existencia, unicidad y uso en la reducción de modelos". Dinámica no lineal . 86 (3): 1493–1534. arXiv : 1602.00560 . doi :10.1007/s11071-016-2974-z. S2CID  44074026.
3. Cabré, P.; Fontich, E.; de la Llave, R. (2003). "El método de parametrización de variedades invariantes I: variedades asociadas a subespacios espectrales no resonantes". Universidad de Indiana. Matemáticas. J.​ 52 : 283–328. doi :10.1512/iumj.2003.52.2245. hdl : 2117/876 .
4. Haro, A.; de la Llave, R. (2006). "Un método de parametrización para el cálculo de toros invariantes y sus bigotes en aplicaciones cuasiperiódicas: resultados rigurosos". Differ. Equ . 228 (2): 530–579. Bibcode :2006JDE...228..530H. doi :10.1016/j.jde.2005.10.005.
5. Rega, Giuseppe; Troger, Hans (2005). "Reducción de la dimensión de sistemas dinámicos: métodos, modelos, aplicaciones". Dinámica no lineal . 41 (1–3): 1–15. doi :10.1007/s11071-005-2790-3. S2CID  14728580.
6. Ponsioen, Sten; Pedergnana, Tiemo; Haller, George (2018). "Cálculo automatizado de subvariedades espectrales autónomas para análisis modal no lineal". Journal of Sound and Vibration . 420 : 269–295. arXiv : 1709.00886 . Código Bibliográfico :2018JSV...420..269P. doi :10.1016/j.jsv.2018.01.048. S2CID  44186335.
7. Cenedese, Mattia; Axås, Joar; Bäuerlein, Bastian; Avila, Kerstin; Haller, George (2022). "Modelado basado en datos y predicción de dinámicas no linealizables mediante subvariedades espectrales". Nature Communications . 13 (1): 872. arXiv : 2201.04976 . Código Bibliográfico :2022NatCo..13..872C. doi :10.1038/s41467-022-28518-y. PMC 8847615 . PMID  35169152. 

Enlaces externos

• Herramienta para el cálculo automatizado de SSM