En matemáticas , un semigrupo es un conjunto no vacío junto con una operación binaria asociativa . Una clase especial de semigrupos es una clase de semigrupos que satisface propiedades o condiciones adicionales . Por lo tanto, la clase de semigrupos conmutativos consiste en todos aquellos semigrupos en los que la operación binaria satisface la propiedad de conmutatividad de que ab = ba para todos los elementos a y b en el semigrupo. La clase de semigrupos finitos consiste en aquellos semigrupos para los que el conjunto subyacente tiene cardinalidad finita . Se requiere que los miembros de la clase de semigrupos de Brandt satisfagan no solo una condición sino un conjunto de propiedades adicionales. Se ha definido una gran colección de clases especiales de semigrupos, aunque no todos ellos se han estudiado con la misma intensidad.
En la teoría algebraica de semigrupos, al construir clases especiales, la atención se centra únicamente en aquellas propiedades, restricciones y condiciones que pueden expresarse en términos de las operaciones binarias en los semigrupos y, ocasionalmente, en la cardinalidad y propiedades similares de los subconjuntos del conjunto subyacente . No se supone que los conjuntos subyacentes tengan otras estructuras matemáticas como orden o topología .
Como en cualquier teoría algebraica, uno de los principales problemas de la teoría de semigrupos es la clasificación de todos los semigrupos y una descripción completa de su estructura. En el caso de los semigrupos, dado que se requiere la operación binaria para satisfacer solo la propiedad de asociatividad, el problema de la clasificación se considera extremadamente difícil. Se han obtenido descripciones de estructuras para ciertas clases especiales de semigrupos. Por ejemplo, la estructura de los conjuntos de idempotentes de semigrupos regulares es completamente conocida. Las descripciones de la estructura se presentan en términos de tipos de semigrupos más conocidos. El tipo de semigrupo más conocido es el grupo .
A continuación se presenta una lista (necesariamente incompleta) de varias clases especiales de semigrupos. En la medida de lo posible, las propiedades definitorias se formulan en términos de las operaciones binarias en los semigrupos. Las referencias indican las ubicaciones de donde provienen las propiedades definitorias.
Al describir las propiedades definitorias de las diversas clases especiales de semigrupos, se adoptan las siguientes convenciones de notación.
Por ejemplo, la definición xab = xba debe leerse como:
La tercera columna indica si este conjunto de semigrupos forma una variedad . Y si el conjunto de semigrupos finitos de esta clase especial forma una variedad de semigrupos finitos . Nótese que si este conjunto es una variedad, su conjunto de elementos finitos es automáticamente una variedad de semigrupos finitos.