Octágono alisado

Forma bidimensional

Un octágono suavizado.

La familia de empaquetamientos máximamente densos del octágono suavizado.

El octógono suavizado es una región en el plano encontrada por Karl Reinhardt en 1934 y conjeturada por él como la que tiene la densidad de empaquetamiento máxima más baja del plano de todas las formas convexas centralmente simétricas . ^[1] También fue descubierto independientemente por Kurt Mahler en 1947. ^[2] Se construye reemplazando las esquinas de un octógono regular con una sección de una hipérbola que es tangente a los dos lados adyacentes a la esquina y asintótica a los lados adyacentes a estos.

Construcción

Los vértices del octógono suavizado se pueden encontrar rotando tres octógonos regulares cuyos centros forman un triángulo con forma variable pero área constante.

Construcción del octógono suavizado (negro), la hipérbola tangente (roja), las asíntotas de esta hipérbola (verde) y los lados tangentes a la hipérbola (azul)

La hipérbola que forma cada esquina del octógono suavizado es tangente a dos lados de un octógono regular y asintótica a los dos adyacentes a estos. ^[3] Los siguientes detalles se aplican a un octógono regular de radio circunscrito con su centro en el punto y un vértice en el punto . Para dos constantes y , la hipérbola está dada por la ecuación o la parametrización equivalente (solo para la rama de la derecha) ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (2+{\sqrt {2}},0)}$ ${\displaystyle (2,0)}$ ${\displaystyle \ell ={\sqrt {2}}-1}$ ${\displaystyle m=(1/2)^{1/4}}$ $${\displaystyle \ell ^{2}x^{2}-y^{2}=m^{2}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {m}{\ell }}\cosh {t}\\y&=m\sinh {t}\\\end{aligned}}}$$

para la porción de la hipérbola que forma la esquina, dada por el rango de valores de los parámetros $${\displaystyle -{\frac {\ln {2}}{4}}<t<{\frac {\ln {2}}{4}}.}$$

Las líneas del octágono tangente a la hipérbola son , y las líneas asintóticas a la hipérbola son simplemente . ${\displaystyle y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)}$ ${\displaystyle y=\pm \ell x}$

Embalaje

Para cada conjunto plano convexo simétrico centralmente, incluido el octógono suavizado, la densidad de empaquetamiento máxima se logra mediante un empaquetamiento reticular , en el que las copias no rotadas de la forma se trasladan mediante los vectores de una red. ^[4] El octógono suavizado logra su densidad de empaquetamiento máxima, no solo para un empaquetamiento único, sino para una familia de 1 parámetro. Todos estos son empaquetamientos reticulares. ^[5] El octógono suavizado tiene una densidad de empaquetamiento máxima dada por ^{[2] [3]} $${\displaystyle {\frac {8-4{\sqrt {2}}-\ln {2}}{2{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.902414\,.}$$

Esto es menor que la densidad máxima de empaquetamiento de círculos , que es ^[3] $${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {12}}}\approx 0.906899.}$$

La densidad de empaquetamiento máxima conocida del octágono regular ordinario también es ligeramente menor que la densidad de empaquetamiento máxima de los círculos, pero mayor que la del octágono suavizado. ^[6] $${\displaystyle {\frac {4+4{\sqrt {2}}}{5+4{\sqrt {2}}}}\approx 0.906163,}$$

Problema sin resolver en matemáticas :

¿El octágono suavizado es la forma convexa centralmente simétrica con la densidad de empaquetamiento máxima más baja?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

La conjetura de Reinhardt de que el octógono suavizado tiene la densidad de empaquetamiento máxima más baja de todas las formas convexas simétricas centralmente en el plano sigue sin resolverse. Sin embargo, Thomas Hales y Koundinya Vajjha afirmaron haber demostrado una conjetura más débil, que afirma que el disco convexo simétrico centralmente más desempaquetable debe ser un polígono suavizado. ^{[7] [8]} Además, Fedor Nazarov proporcionó un resultado parcial al demostrar que el octógono suavizado es un mínimo local para la densidad de empaquetamiento entre las formas convexas simétricas centralmente. ^[9]

Si no se requiere simetría central, se supone que el heptágono regular tiene una densidad de empaquetamiento aún menor, pero ni su densidad de empaquetamiento ni su optimalidad han sido probadas. En tres dimensiones, la conjetura de empaquetamiento de Ulam establece que ninguna forma convexa tiene una densidad de empaquetamiento máxima menor que la de la bola. ^[5]

Referencias

1. Reinhardt, Karl (1934). "Über die dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Bereiche in der Ebene und eine besondere Art konvexer Kurven". Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo . 10 : 216–230. doi :10.1007/BF02940676. S2CID  120336230.
2. Mahler, Kurt (1947). "Sobre el determinante mínimo y los hexágonos circunscritos de un dominio convexo" (PDF) . Indagationes Mathematicae . 9 : 326–337. MR  0021017.
3. Fejes Tóth, László ; Fejes Tóth, Gábor; Kuperberg, Włodzimierz (2023). Lagerungen: disposiciones en el plano, en la esfera y en el espacio . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas]. vol. 360. Cham: Springer. pag. 106. doi :10.1007/978-3-031-21800-2. ISBN 978-3-031-21799-9.Sr. 4628019  .
4. Fejes Tóth, László (1950). "Algunos teoremas de embalaje y cobertura". Acta Universitatis Szegediensis . 12 : 62–67. SEÑOR  0038086.
5. Kallus, Yoav (2015). "Formas de empaquetamiento pesimal". Geometría y topología . 19 (1): 343–363. arXiv : 1305.0289 . doi :10.2140/gt.2015.19.343. MR  3318753.
6. Atkinson, Steven; Jiao, Yang; Torquato, Salvatore (10 de septiembre de 2012). "Empaquetamientos de máxima densidad de partículas no circulares cóncavas y convexas bidimensionales". Physical Review E . 86 (3): 031302. arXiv : 1405.0245 . Bibcode :2012PhRvE..86c1302A. doi :10.1103/physreve.86.031302. PMID  23030907. S2CID  9806947.
7. Hales, Thomas; Vajjha, Koundinya (7 de mayo de 2024). "Empaquetamientos de polígonos suavizados". arXiv : 2405.04331 [math.OC].
8. Barber, Gregory (28 de junio de 2024). "¿Por qué esta forma es tan terrible para empacar?". Revista Quanta . Consultado el 28 de junio de 2024 .
9. Nazarov, Florida (1986). "Sobre el problema de Reinhardt de los empaquetamientos reticulares de regiones convexas: extremalidad local del octágono de Reinhardt". Zapiski Nauchnykh Seminarov Leningradskogo Otdeleniya Matematicheskogo Instituta imeni VA Steklova Akademii Nauk SSSR (LOMI) . 151 : 104–114, 197–198. doi :10.1007/BF01727653. SEÑOR  0849319.

Enlaces externos

• Empaquetado de octógonos suavizados. John Baez, Visual Insight, AMS Blogs, 2014.
• ¿El empaquetamiento bidimensional más denso y delgado?. Peter Scholl, 2001.