Simulación estocástica híbrida

Las simulaciones estocásticas híbridas son una subclase de simulaciones estocásticas . Estas simulaciones combinan simulaciones estocásticas existentes con otras simulaciones o algoritmos estocásticos . Generalmente se utilizan para la física y la investigación relacionada con la física. El objetivo de una simulación estocástica híbrida varía según el contexto; sin embargo, normalmente apuntan a mejorar la precisión o reducir la complejidad computacional . La primera simulación estocástica híbrida se desarrolló en 1985. ^[1]

Historia

La primera simulación estocástica híbrida fue desarrollada por Simon Duane en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign en 1985. ^[1] Combinaba la ecuación de Langevin con conjuntos microcanónicos . La simulación estocástica híbrida de Duane se basó en la idea de que los dos algoritmos se complementaban entre sí. La ecuación de Langevin sobresalió en la simulación de propiedades de largo plazo, pero la adición de ruido al sistema creó una exploración ineficiente de propiedades de corto plazo. ^[2] Mientras tanto, el enfoque de conjunto microcanónico sobresalió en la exploración de propiedades de corto plazo, pero se volvió menos confiable para propiedades de largo plazo. Combinando los dos métodos, la debilidad de cada uno podría mitigarse por la fuerza del otro. Los resultados iniciales de Duane utilizando esta simulación estocástica híbrida fueron positivos cuando el modelo apoyó correctamente la idea de una transición abrupta de temperatura finita en la cromodinámica cuántica , que era un tema controvertido en ese momento.

Desde entonces se han desarrollado muchas simulaciones estocásticas híbridas, con el objetivo de superar las deficiencias de las simulaciones estocásticas en las que se basaron.

Métodos

El método Dobramysl y Holcman

El modelo de simulación estocástico-analítico mixto de Dobramysl y Holcman fue publicado en 2018 por Ulrich Dobramysl y David Holcman , de la Universidad de Cambridge y la Universidad de Oxford respectivamente. ^{[3] [4]} Simula partes de trayectorias brownianas , en lugar de simular la trayectoria completa. Este enfoque es particularmente relevante cuando una partícula browniana evoluciona en un espacio infinito . Las trayectorias se simulan entonces sólo en las proximidades de objetivos pequeños. De lo contrario, se utilizan expresiones analíticas explícitas para asignar el punto inicial a una distribución ubicada en una superficie imaginaria alrededor de los objetivos. Este método tiene muchas aplicaciones posibles, incluida la generación de señales de gradiente en un espacio abierto y la simulación de la difusión de moléculas que deben unirse a los receptores celulares .

Principio del algoritmo

El algoritmo evita la simulación explícita de trayectorias largas con grandes excursiones y, por lo tanto, evita la necesidad de una distancia de corte arbitraria para el dominio infinito. El algoritmo consiste en mapear la posición de la fuente en una media esfera que contiene las ventanas absorbentes. Dentro de la esfera, se ejecutan simulaciones brownianas clásicas hasta que la partícula es absorbida o sale por la superficie de la esfera. El algoritmo consta de los siguientes pasos:

1. La fuente libera una partícula en la posición . ${\displaystyle x(t=0)=x_{0}}$
2. Si , asigne la posición de la partícula a la superficie de la esfera S(R), usando la distribución del punto de salida . En tres dimensiones, existe una probabilidad finita de que una partícula browniana escape al infinito en el que termina la trayectoria. ${\displaystyle |x(t)|>R'}$ ${\displaystyle P_{map}}$
3. En el primer paso de tiempo, utilice el mapeo, , para mapear la posición de la partícula en la esfera S(R). Esto conduce a una secuencia de posiciones mapeadas hasta que la partícula es absorbida. Tenga en cuenta que para el mapeo, nuevamente existe una probabilidad finita de que la partícula escape al infinito, en cuyo caso, la trayectoria termina. ${\displaystyle t=\Delta t,|x^{t}|>R',}$ ${\displaystyle P_{map}}$ ${\displaystyle x_{1},..x_{n}}$
4. El esquema de Euler-Maruyama se puede utilizar para realizar un paso browniano: donde es un vector de variables aleatorias normales estándar . ${\displaystyle x(t)=x(t-\Delta t)+{\sqrt {2D\Delta t}}\mathbf {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$
5. Cuando (en el caso del medio espacio) o (en el caso de la esfera), y para cualquier valor i , se considera que la partícula está siendo absorbida por la ventana i y termina la trayectoria. ${\displaystyle x(t)\cdot \mathbf {e} _{z}\leq 0}$ ${\displaystyle |x(t)|\leq 1}$ ${\displaystyle |x(t)-x_{i}|<\epsilon }$
6. Si la partícula cruza algún límite reflectante, regrese al paso 3 para generar una nueva posición. De lo contrario, regrese al paso 2.

Mapeando la fuente de una pelota en 3D

Se puede mapear la fuente de una pelota en 3D para obtener la probabilidad del primer paso para golpear una pelota antes de escapar al infinito. El mapeo es el siguiente:

${\displaystyle P_{map}(x|y)={\frac {|y|}{R}}{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\beta ^{2}-1}{(1+\beta ^{2}-2\beta \cos \gamma )^{3/2}}}}$, con y ${\displaystyle \int _{\partial B(R)}P(x,y)dS_{x}=\beta ^{-1}={\frac {R}{|y|}},}$ ${\displaystyle |x||y|\cos \gamma =x\cdot y.}$

La distribución de probabilidad de acertar se obtiene normalizando la integral del flujo.

Observaciones

La elección del radio R es arbitraria siempre que la esfera S(R) encierre todas las ventanas con un buffer de al menos tamaño . El radio R' debe elegirse de manera que se eviten frecuentes recruzamientos, por ejemplo. Este algoritmo puede usarse para simular trayectorias de partículas brownianas en estado estacionario cerca de una región de interés. Tenga en cuenta que no se trata de ninguna aproximación. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle R'\leq R+10{\sqrt {2D\Delta t}}.}$

Método de dos regímenes

El método de dos regímenes para simulaciones de reacción-difusión fue creado por Mark Flegg, Jonathan Chapman y Radek Erban en la Universidad de Oxford . ^[5] Combina algoritmos de base molecular con enfoques basados ​​en compartimentos en puntos ideales durante los cálculos para reducir el costo computacional. Los algoritmos de base molecular son excelentes para brindar detalles muy precisos sobre regiones de interés localizadas. Los modelos basados ​​en compartimentos sobresalen en simulaciones eficientes de grandes regiones. El uso principal de este modelo es aumentar la velocidad y la precisión de las simulaciones de reacción-difusión y proporcionar más control al simulador sobre los métodos para caracterizar regiones de interés.

Principio del algoritmo

El método de dos regímenes funciona teniendo dos regímenes de interés. Una región se basa en eventos y utiliza principalmente enfoques basados ​​en compartimentos, mientras que la otra región se basa en el tiempo y se basa en regímenes moleculares. Los pasos del algoritmo son los siguientes:

1. Divida el dominio computacional en dos partes. Las partes no deben superponerse. ${\displaystyle \Omega }$
2. Determine qué parte del dominio se adaptaría mejor a un enfoque basado en compartimentos y etiquételo . El otro dominio será . Asegúrese de que lo siguiente sea cierto: . ${\displaystyle \Omega _{C}}$ ${\displaystyle \Omega _{M}}$ ${\displaystyle \Omega =\Omega _{M}\cup \Omega _{C}}$
3. Trate las moléculas como moléculas libres en un espacio continuo. Estas moléculas se difundirán y reaccionarán mediante enfoques de base molecular. ${\displaystyle \Omega _{M}}$

Las moléculas saltan entre compartimentos mientras se encuentran en una región con la posibilidad de saltar hacia donde luego se simulará el movimiento mediante el movimiento browniano . Existen muchas posibilidades para acoplar estas regiones, que pueden variar según el propósito de la simulación. ${\displaystyle \Omega _{C}}$ ${\displaystyle \Omega _{M}}$

Observaciones

Este algoritmo y los basados ​​en él se utilizan para estudiar la conversión de especies. También se pueden combinar con la ecuación de Fokker-Planck para simular poblaciones y trayectorias únicas mediante simulaciones brownianas. ^[6]

Aplicaciones

Se han utilizado simulaciones estocásticas híbridas para:

• Predecir el impacto de la profilaxis del VIH en los pacientes, ayudando en el desarrollo de medicamentos de profilaxis de exposición. ^{[7] [8]}
• Modelar mecanismos de supresión de tumores en la investigación del cáncer. ^[9]
• Simular trayectorias de trenes, lo que ayuda en el desarrollo de horarios de tráfico ferroviario. ^[10]

Referencias

1. Duane S (1 de enero de 1985). "Cuantización estocástica versus conjunto microcanónico: obtener lo mejor de ambos mundos". Física Nuclear B. 257 : 652–662. Código bibliográfico : 1985NuPhB.257..652D. doi :10.1016/0550-3213(85)90369-4. ISSN  0550-3213.
2. Duane S, Kogut JB (diciembre de 1985). "Ecuaciones diferenciales estocásticas híbridas aplicadas a la cromodinámica cuántica". Cartas de revisión física . 55 (25): 2774–2777. Código bibliográfico : 1985PhRvL..55.2774D. doi :10.1103/PhysRevLett.55.2774. PMID  10032235.
3. Dobramysl U, Holcman D (febrero de 2018). "Método de simulación mixto analítico-estocástico para la recuperación de una fuente de gradiente browniano desde flujos de probabilidad hasta ventanas pequeñas". Revista de Física Computacional . 355 : 22–36. arXiv : 1710.09807 . Código Bib : 2018JCoPh.355...22D. doi :10.1016/j.jcp.2017.10.058. PMC 5765848 . PMID  29456262. 
4. Dobramysl U, Holcman D (septiembre de 2021). "Reconstrucción de una fuente puntual a partir de flujos de difusión hasta ventanas estrechas en tres dimensiones". Actas de la Royal Society A. 477 (2253): 20210271. arXiv : 2001.01562 . Código Bib : 2021RSPSA.47710271D. doi :10.1098/rspa.2021.0271. S2CID  209862766.
5. Flegg MB, Chapman SJ, Erban R (mayo de 2012). "El método de dos regímenes para optimizar simulaciones estocásticas de reacción-difusión". Revista de la Royal Society, Interfaz . 9 (70): 859–68. doi :10.1098/rsif.2011.0574. PMC 3306650 . PMID  22012973. 
6. B. Franz, MB Flegg, SJ Chapman y R. Erban, Algoritmos de reacción-difusión multiescala: dinámica browniana asistida por PDE, SIAM J. Appl. Matemáticas. 73 (2013), 1224-1247.
7. Duwal S, Dickinson L, Khoo S, von Kleist M (junio de 2018). Koelle K (ed.). "El marco estocástico híbrido predice la eficacia de la profilaxis contra el VIH: un ejemplo con diferentes esquemas de profilaxis con dolutegravir". PLOS Biología Computacional . 14 (6): e1006155. Código Bib : 2018PLSCB..14E6155D. doi : 10.1371/journal.pcbi.1006155 . PMC 6001963 . PMID  29902179. 
8. von-Kleist M (2018). "Una nueva herramienta de simulación predice qué tan bien funcionará la profilaxis del VIH". Eurek¡Alerta! . Consultado el 13 de diciembre de 2021 .
9. Rodríguez-Brenes IA, Wodarz D, Komarova NL (diciembre de 2015). "Cuantificación de la senescencia replicativa como vía supresora de tumores y objetivo de la terapia contra el cáncer". Informes científicos . 5 (1): 17660. Código bibliográfico : 2015NatSR...517660R. doi :10.1038/srep17660. PMC 4673423 . PMID  26647820. 
10. Sessa PG, De Martinis V, Bomhauer-Beins A, Weidmann UA, Corman F (1 de octubre de 2021). "Un enfoque estocástico híbrido para la reconstrucción de la trayectoria del tren fuera de línea". Transporte público . 13 (3): 675–698. doi :10.1007/s12469-020-00230-4. ISSN  1613-7159. S2CID  216246544.