Serie Madhava

Serie matemática

En matemáticas, una serie de Madhava es una de las tres expansiones de la serie de Taylor para las funciones seno , coseno y arcotangente descubiertas en el siglo XIV o XV en Kerala , India, por el matemático y astrónomo Madhava de Sangamagrama (c. 1350 – c. 1425) o sus seguidores en la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala . ^[1] Usando la notación moderna, estas series son:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\sin \theta &=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}\theta ^{2k+1},\\[10mu]\cos \theta &=1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}\theta ^{2k},\\[10mu]\arctan x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots &&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}x^{2k+1}\quad {\text{where }}|x|\leq 1.\end{alignedat}}}$

Las tres series fueron descubiertas posteriormente de forma independiente en la Europa del siglo XVII. La serie del seno y el coseno fue redescubierta por Isaac Newton en 1669, ^[2] y la serie del arcotangente fue redescubierta por James Gregory en 1671 y Gottfried Leibniz en 1673, ^[3] y se denomina convencionalmente serie de Gregory . El valor específico se puede utilizar para calcular la constante del círculo π , y la serie del arcotangente para 1 se denomina convencionalmente serie de Leibniz . ${\textstyle \arctan 1={\tfrac {1}{4}}\pi }$

En reconocimiento de la prioridad de Madhava , en la literatura reciente estas series a veces se denominan serie de Madhava-Newton , ^[4] serie de Madhava-Gregory , ^[5] o serie de Madhava-Leibniz ^[6] (entre otras combinaciones). ^[7]

Ninguna obra que haya sobrevivido de Madhava contiene declaraciones explícitas sobre las expresiones que ahora se conocen como series de Madhava. Sin embargo, en los escritos de los matemáticos posteriores de la escuela de Kerala Nilakantha Somayaji (1444-1544) y Jyeshthadeva (c. 1500-c. 1575) se pueden encontrar atribuciones inequívocas de estas series a Madhava. Estas obras posteriores también incluyen pruebas y comentarios que sugieren cómo Madhava pudo haber llegado a la serie.

Serie Madhava en "Las propias palabras de Madhava"

Ninguna de las obras de Madhava que contengan alguna de las expresiones de la serie que se le atribuyen ha sobrevivido. Estas expresiones de la serie se encuentran en los escritos de los seguidores de Madhava en la escuela de Kerala . En muchos lugares, estos autores han afirmado claramente que son "tal como las contó Madhava". Por lo tanto, se puede asumir con seguridad que las enunciaciones de las diversas series que se encuentran en el Tantrasamgraha y sus comentarios están en "las propias palabras de Madhava". Las traducciones de los versos relevantes que aparecen en el comentario Yuktidipika del Tantrasamgraha (también conocido como Tantrasamgraha-vyakhya ) de Sankara Variar (circa 1500 - 1560 d. C.) se reproducen a continuación. Luego se presentan en notaciones matemáticas actuales. ^{[8] [9]}

Serie de senos de Madhava

En las propias palabras de Madhava

La serie de senos de Madhava se indica en los versos 2.440 y 2.441 del comentario Yukti-dipika ( Tantrasamgraha-vyakhya ) de Sankara Variar . A continuación se incluye una traducción de los versos.

Multiplica el arco por el cuadrado del arco y toma el resultado de repetir eso (cualquier número de veces). Divide por los cuadrados de los números pares sucesivos (de modo que el actual se multiplique por el anterior) aumentado por ese número y multiplicado por el cuadrado del radio. Coloca el arco y los resultados sucesivos así obtenidos uno debajo del otro y réstalos cada uno del que está arriba. Estos juntos dan el jiva [seno], como se recoge en el verso que comienza con "vidvan", etc.

Representación en notaciones modernas

Sea r el radio del círculo y s la longitud del arco.

• Primero se forman los siguientes numeradores:

  ${\displaystyle s\cdot s^{2},\qquad s\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad s\cdot s^{2}\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad \cdots }$

• Estos luego se dividen por las cantidades especificadas en el versículo.

  ${\displaystyle s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}},\qquad s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}},\qquad s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}+6)r^{2}}},\qquad \cdots }$

• Colocar el arco y los resultados sucesivos así obtenidos uno debajo del otro, y restar cada uno del de arriba para obtener jiva :

  ${\displaystyle {\text{jiva}}=s-\left[s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}-\left[s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\left[s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}+6)r^{2}}}-\cdots \right]\right]\right]}$

Transformación a la notación actual

Sea θ el ángulo subtendido por el arco s en el centro del círculo. Entonces s = r θ y jiva = r sen θ . Sustituyendo estos en la última expresión y simplificando obtenemos

${\displaystyle \sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\quad \cdots }$

que es la expansión en serie de potencias infinitas de la función seno.

Reformulación de Madhava para el cálculo numérico

La última línea del verso ′ tal como se recoge en el verso que comienza con "vidvan", etc. ′ es una referencia a una reformulación de la serie introducida por el propio Madhava para facilitar los cálculos de valores específicos del arco y el radio. Para tal reformulación, Madhava considera un círculo cuyo cuarto mide 5400 minutos (digamos C minutos) y desarrolla un esquema para los cálculos fáciles de los jiva ′ de los diversos arcos de dicho círculo. Sea R el radio de un círculo cuyo cuarto mide C. Madhava ya había calculado el valor de π utilizando su fórmula de serie para π . ^[10] Utilizando este valor de π , es decir 3,1415926535922, el radio R se calcula de la siguiente manera: Entonces

R = 2 × 5400 / π = 3437,74677078493925 = 3437 minutos de arco 44 segundos de arco 48 sexagésimas de segundo de arco = 3437′ 44′′ 48′′′.

La expresión de Madhava para jiva correspondiente a cualquier arco de un círculo de radio R es equivalente a la siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{jiva }}&=s-{\frac {s^{3}}{R^{2}(2^{2}+2)}}+{\frac {s^{5}}{R^{4}(2^{2}+2)(4^{2}+4)}}-\cdots \\[6pt]&=s-\left({\frac {s}{C}}\right)^{3}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{3}}{3!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{5}}{5!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{7}}{7!}}-\cdots \right]\right]\right].\end{aligned}}}$

Madhava ahora calcula los siguientes valores:

Ahora se puede calcular el jiva utilizando el siguiente esquema:

jiva = s − ( s / C ) ³ [ (2220′ 39′′ 40′′′) − ( s / C ) ² [ (273′ 57′′ 47′′′) − ( s / C ) ² [ (16′ 05′′ 41′′′) − ( s / C ) ² [ (33′′ 06′′′) − ( s / C ) ² (44′′′ ) ] ] ] ].

Esto nos da una aproximación de jiva por su polinomio de Taylor de orden 11. Implica sólo una división, seis multiplicaciones y cinco restas. Madhava prescribe este esquema computacional numéricamente eficiente en las siguientes palabras (traducción del verso 2.437 en Yukti-dipika ):

vi-dvān, tu-nna-ba-la, ka-vī-śa-ni-ca-ya, sa-rvā-rtha-śī-la-sthi-ro, ni-rvi-ddhā-nga-na-rē-ndra-rung. Multiplica sucesivamente estos cinco números en orden por el cuadrado del arco dividido por el cuarto de la circunferencia (5400′), y réstalo del siguiente número. (Continúa este proceso con el resultado así obtenido y el siguiente número.) Multiplica el resultado final por el cubo del arco dividido por el cuarto de la circunferencia y réstalo del arco.

Serie de cosenos de Madhava

En las propias palabras de Madhava

La serie de cosenos de Madhava se enuncia en los versos 2.442 y 2.443 del comentario Yukti-dipika ( Tantrasamgraha-vyakhya ) de Sankara Variar . A continuación se ofrece una traducción de los versos.

Multiplica el cuadrado del arco por la unidad (es decir, el radio) y toma el resultado de repetir eso (cualquier número de veces). Divide (cada uno de los numeradores anteriores) por el cuadrado de los números pares sucesivos disminuidos por ese número y multiplicado por el cuadrado del radio. Pero el primer término es (ahora) (el que es) dividido por el doble del radio. Coloca los resultados sucesivos así obtenidos uno debajo del otro y réstalos cada uno del de arriba. Estos juntos dan el śara tal como se reúne en el verso que comienza con stena, stri, etc.

Representación en notaciones modernas

Sea r el radio del círculo y s la longitud del arco.

• Primero se forman los siguientes numeradores:

${\displaystyle r\cdot s^{2},\qquad r\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad r\cdot s^{2}\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad \cdots }$

• Estos luego se dividen por las cantidades especificadas en el versículo.

${\displaystyle r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}},\qquad r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}},\qquad r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}-6)r^{2}}},\qquad \cdots }$

• Coloca el arco y los resultados sucesivos así obtenidos uno debajo del otro, y resta cada uno del de arriba para obtener śara :

${\displaystyle {\text{sara}}=r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-\left[r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}-\left[r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}-6)r^{2}}}-\cdots \right]\right]}$

Transformación a la notación actual

Sea θ el ángulo subtendido por el arco s en el centro del círculo. Entonces s = rθ y śara = r (1 − cos θ ). Sustituyendo estos en la última expresión y simplificando obtenemos

${\displaystyle 1-\cos \theta ={\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+\quad \cdots }$

que da la expansión en serie de potencias infinitas de la función coseno.

Reformulación de Madhava para el cálculo numérico

La última línea del verso ′ como se recoge en el verso que comienza con stena, stri, etc. ′ es una referencia a una reformulación introducida por el propio Madhava para hacer que la serie fuera conveniente para cálculos fáciles para valores específicos del arco y el radio. Como en el caso de la serie del seno, Madhava considera un círculo un cuarto del cual mide 5400 minutos (digamos C minutos) y desarrolla un esquema para los cálculos fáciles de los śara de los diversos arcos de dicho círculo. Sea R el radio de un círculo un cuarto del cual mide C. Entonces, como en el caso de la serie del seno, Madhava obtiene R = 3437′ 44′′ 48′′′.

La expresión de Madhava para śara correspondiente a cualquier arco s de un círculo de radio R es equivalente a la siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{jiva }}&=R\cdot {\frac {s^{2}}{R^{2}(2^{2}-2)}}-R\cdot {\frac {s^{4}}{R^{4}(2^{2}-2)(4^{2}-4)}}-\cdots \\[6pt]&=\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}}{2!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{4}}{4!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{6}}{6!}}-\cdots \right]\right]\right]\end{aligned}}}$

Madhava ahora calcula los siguientes valores:

Ahora el śara se puede calcular utilizando el siguiente esquema:

śara = ( s / C ) ² [ (4241′ 09′′ 00′′) − ( s / C ) ² [ (872′ 03′′ 05 ′′′) − ( s / C ) ² [ (071′ 43′′ 24′′′) − ( s / C ) ² [ (03′ 09′′ 37′′′) − ( s / C ) ² [ (05′′ 12′′′) − ( s / C ) ² (06′′′) ] ] ] ] ]

Esto nos da una aproximación de śara por su polinomio de Taylor de orden 12. Esto también implica una división, seis multiplicaciones y cinco restas solamente. Madhava prescribe este esquema computacional numéricamente eficiente en las siguientes palabras (traducción del verso 2.438 en Yukti-dipika ):

Los seis stena, strīpiśuna, sugandhinaganud, bhadrāngabhavyāsana, mīnāngonarasimha, unadhanakrtbhureva. Multiplique por el cuadrado del arco dividido por el cuarto de la circunferencia y réstelo al siguiente número. (Continúe con el resultado y el siguiente número). El resultado final será utkrama-jya (signo en verso R).

Serie arcangente de Madhava

En las propias palabras de Madhava

La serie arctangente de Madhava se enuncia en los versos 2.206-2.209 del comentario Yukti-dipika ( Tantrasamgraha-vyakhya ) de Sankara Variar . A continuación se ofrece una traducción de los versos. ^[11] Jyesthadeva también ha dado una descripción de esta serie en Yuktibhasa . ^{[12] [13] [14]}

Ahora bien, con el mismo argumento, se puede determinar el arco de un seno deseado. Es decir, de la siguiente manera: el primer resultado es el producto del seno deseado por el radio dividido por el coseno del arco. Cuando se ha hecho del cuadrado del seno el multiplicador y del cuadrado del coseno el divisor, se debe determinar un grupo de resultados a partir de los resultados (anteriores) comenzando por el primero. Cuando se dividen estos resultados en orden por los números impares 1, 3, etc., y cuando se ha restado la suma de los resultados pares de la suma de los impares, ese debería ser el arco. En este caso, se requiere que el menor de los dos valores seno y coseno se considere como el (seno) deseado. De lo contrario, no habría terminación de resultados incluso si se (calcularan) repetidamente.

Por medio del mismo argumento, la circunferencia puede calcularse también de otra manera. Es decir, de la siguiente manera: el primer resultado debe ser la raíz cuadrada del cuadrado del diámetro multiplicado por doce. A partir de entonces, el resultado debe dividirse por tres (en) cada (caso) sucesivo. Cuando estos se dividen en orden por los números impares, comenzando con 1, y cuando se han restado los resultados (pares) de la suma de los impares, (ese) debe ser el perímetro.

Representación en notaciones modernas

Sea s el arco del seno deseado ( jya o jiva ) y . Sea r el radio y x el coseno ( kotijya ).

• El primer resultado es . ${\displaystyle {\tfrac {y\cdot r}{x}}}$
• Formar el multiplicador y el divisor . ${\displaystyle {\tfrac {y^{2}}{x^{2}}}}$
• Formar el grupo de resultados:

${\displaystyle {\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad {\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad \cdots }$

• Estos se dividen en orden por los números 1, 3, etcétera:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}{\frac {y\cdot r}{x}},\qquad {\frac {1}{3}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad {\frac {1}{5}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad \cdots }$

• Suma de resultados impares:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}{\frac {y\cdot r}{x}}+{\frac {1}{5}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots }$

• Suma de resultados pares:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+{\frac {1}{7}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots }$

• El arco ahora está dado por

${\displaystyle s=\left({\frac {1}{1}}{\frac {y\cdot r}{x}}+{\frac {1}{5}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots \right)-\left({\frac {1}{3}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+{\frac {1}{7}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots \right)}$

Transformación a la notación actual

Sea θ el ángulo subtendido por el arco s en el centro del círculo. Entonces s = r θ, x = kotijya = r cos θ e y = jya = r sen θ. Entonces y / x = tan θ. Sustituyendo estos en la última expresión y simplificando obtenemos

• ${\displaystyle \theta =\tan \theta -{\frac {\tan ^{3}\theta }{3}}+{\frac {\tan ^{5}\theta }{5}}-{\frac {\tan ^{7}\theta }{7}}+\quad \cdots }$.

Dejando tan θ = q finalmente tenemos

• ${\displaystyle \tan ^{-1}q=q-{\frac {q^{3}}{3}}+{\frac {q^{5}}{5}}-{\frac {q^{7}}{7}}+\quad \cdots }$

Otra fórmula para la circunferencia de un círculo.

La segunda parte del texto citado especifica otra fórmula para el cálculo de la circunferencia c de un círculo de diámetro d . Es la siguiente:

${\displaystyle c={\sqrt {12d^{2}}}-{\frac {\sqrt {12d^{2}}}{3\cdot 3}}+{\frac {\sqrt {12d^{2}}}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {\sqrt {12d^{2}}}{3^{3}\cdot 7}}+\quad \cdots }$

Dado que c = π d, esto se puede reformular como una fórmula para calcular π de la siguiente manera.

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+\quad \cdots \right)}$

Esto se obtiene sustituyendo q = (por lo tanto θ = π / 6) en la expansión de la serie de potencias para tan ⁻¹ q anterior. ${\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}$

Comparación de la convergencia de varias series infinitas paraπ

Comparación de la convergencia de dos series de Madhava (la que tiene √ 12 en azul oscuro) y varias series infinitas históricas para π . S _n es la aproximación después de tomar n términos. Cada subgráfico subsiguiente amplía el área sombreada horizontalmente 10 veces. (haga clic para ver detalles)

Véase también

• Madhava de Sangamagrama
• Tabla de senos de Madhava
• Término de corrección de Madhava
• Padé aproximado
• Serie de Taylor
• Serie Laurent
• Serie Puiseux

Notas

1. Gupta 1987; Katz 1995; Roy 2021, cap. 1. Series de potencias en Kerala en el siglo XV, págs. 1-22
2. Newton (1669) De analysi per aequationes numero terminorum infinitas circuló como manuscrito pero no se publicó hasta 1711. Para conocer el contexto, consulte:
   Roy 2021, cap. 8. De Analysi per Aequationes Infinitas , págs. 165-185.
   Leibniz incluyó posteriormente la serie de senos y cosenos en su obra De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbola cujus corollarium est trigonometria sine tabulis (1676), que finalmente no se publicó hasta 1993. Sin embargo, Henry Oldenburg le había enviado las series de senos y cosenos de Newton en 1675 y no afirmó haberlas descubierto. Véase:
   Probst, Siegmund (2015). "Leibniz como lector y segundo inventor: los casos de Barrow y Mengoli". En Goethe, N.; Beeley, P.; Rabouin, D. (eds.). G. W. Leibniz, Interrelaciones entre las matemáticas y la filosofía . Archimedes. Vol. 41. Springer. págs. 111–134. doi :10.1007/978-94-017-9664-4_6. ISBN 978-94-017-9663-7.
3. Gregory recibió una carta de John Collins que incluía las series de senos y cosenos de Newton a finales de 1670. Descubrió la serie general de Taylor y envió una carta ahora famosa a Collins en 1671 que incluía varias series específicas, incluida la arcotangente. Véase Roy 1990.
   Horvath, Miklos (1983). «Sobre la cuadratura leibniziana del círculo» (PDF) . Annales Universitatis Scientiarum Budapestiensis (Sectio Computatorica) . 4 : 75–83.
4. Por ejemplo:
   Plofker, Kim (2005). "Relaciones entre aproximaciones al seno en las matemáticas de Kerala". En Emch, Gérard G.; Sridharan, R.; Srinivas, MD (eds.). Contribuciones a la historia de las matemáticas indias . Gurgaon: Hindustan Book Agency. págs. 135–152. doi :10.1007/978-93-86279-25-5_6. ISBN 978-81-85931-58-6.
   Filali, Mahmoud (2012). "Análisis armónico y aplicaciones". Kybernetes . 41 : 129–144. doi :10.1108/03684921211213160. S2CID  206377839.
5. Por ejemplo: Gupta 1973; Joseph 2011, pág. 428;
   Levrie, Paul (2011). "Perdido y encontrado: una prueba ζ (2) no publicada". Mathematical Intelligencer . 33 : 29–32. doi :10.1007/s00283-010-9179-y. S2CID  121133743.
6. Por ejemplo: Gupta 1992;
   Pouvreau, David (2015). "Sobre la aceleración de la convergencia de la serie de Madhava-Leibniz". Cuadratura (en francés). 97 : 17-25.
   Young, Paul Thomas (2022). "De Madhava-Leibniz al límite de Lehmer". American Mathematical Monthly . 129 (6): 524–538. doi :10.1080/00029890.2022.2051405. S2CID  247982859.
7. Por ejemplo,
   Serie Madhava–Gregory–Leibniz : Benko, David; Molokach, John (2013). "El problema de Basilea como reordenamiento de series". Revista de Matemáticas Universitarias . 44 (3): 171–176. doi :10.4169/college.math.j.44.3.171. S2CID  124737638.
   Serie Madhava–Leibniz–Gregory : Danesi, Marcel (2021). "1. Descubrimiento de π y sus manifestaciones". Pi ( π ) en la naturaleza, el arte y la cultura . Brill. pp. 1–30. doi :10.1163/9789004433397_002. ISBN 978-90-04-43337-3. Número de identificación del sujeto  242107102.
   Serie Nilakantha–Gregory : Campbell, Paul J. (2004). "Borwein, Jonathan y David Bailey, Matemáticas por experimentación ". Reseñas. Revista de Matemáticas . 77 (2): 163. doi :10.1080/0025570X.2004.11953245. S2CID  218541218.
   Fórmula de Gregory–Leibniz–Nilakantha : Gawrońska, Natalia; Słota, Damian; Wituła, Roman; Zielonka, Adam (2013). "Algunas generalizaciones de las series de potencias de Gregory y sus aplicaciones" (PDF) . Revista de Matemáticas Aplicadas y Mecánica Computacional . 12 (3): 79–91. doi :10.17512/jamcm.2013.3.09.
8. Bolsa 1976.
9. Raju 2007, págs. 114-120.
10. Raju 2007, pág. 119.
11. Raju 2007, pág. 231.
12. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2000). "Madhava de Sangamagramma". Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor .
13. Gupta 1973.
14. Sarma 1972.

Referencias

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