Semigrupo con involución

En matemáticas , particularmente en álgebra abstracta , un semigrupo con involución o un *-semigrupo es un semigrupo dotado de un antiautomorfismo involutivo , lo que, en términos generales, lo acerca a un grupo porque esta involución, considerada como operador unario , exhibe ciertas propiedades fundamentales de la operación de tomar la inversa en un grupo:

• Unicidad
• Doble aplicación "cancelándose a sí misma".
• La misma ley de interacción con la operación binaria que en el caso del grupo inverso.

No es de extrañar, por tanto, que cualquier grupo sea un semigrupo con involución. Sin embargo, existen ejemplos naturales significativos de semigrupos con involución que no son grupos.

Un ejemplo del álgebra lineal es el monoide multiplicativo de matrices cuadradas reales de orden  n (llamado monoide lineal completo ). La función que envía una matriz a su transpuesta es una involución porque la transpuesta está bien definida para cualquier matriz y obedece la ley ( AB ) ^T = B ^T A ^T , que tiene la misma forma de interacción con la multiplicación que la que tiene tomar inversas en el grupo lineal general (que es un subgrupo del monoide lineal completo). Sin embargo, para una matriz arbitraria, AA ^T no es igual al elemento identidad (es decir, la matriz diagonal ). Otro ejemplo, que proviene de la teoría del lenguaje formal , es el semigrupo libre generado por un conjunto no vacío (un alfabeto ), con la concatenación de cadenas como operación binaria y la involución siendo la función que invierte el orden lineal de las letras en una cadena. Un tercer ejemplo, de la teoría básica de conjuntos , es el conjunto de todas las relaciones binarias entre un conjunto y él mismo, con la involución siendo la relación inversa y la multiplicación dada por la composición habitual de relaciones .

Los semigrupos con involución aparecieron nombrados explícitamente en un artículo de 1953 de Viktor Wagner (en ruso) como resultado de su intento de unir la teoría de semigrupos con la de semimontones . ^[1]

Definición formal

Sea S un semigrupo con su operación binaria escrita multiplicativamente. Una involución en S es una operación unaria * sobre S (o, una transformación * : S → S , x ↦ x *) que satisface las siguientes condiciones:

1. Para todo x en S , ( x *)* = x .
2. Para todo x , y en S tenemos ( xy )* = y * x *.

El semigrupo S con la involución * se llama semigrupo con involución.

Los semigrupos que satisfacen sólo el primero de estos axiomas pertenecen a la clase más grande de U-semigrupos .

En algunas aplicaciones, el segundo de estos axiomas se ha denominado antidistributivo . ^[2] En cuanto a la filosofía natural de este axioma, HSM Coxeter remarcó que "se vuelve claro cuando pensamos en [x] e [y] como las operaciones de ponernos los calcetines y los zapatos, respectivamente". ^[3]

Ejemplos

1. Si S es un semigrupo conmutativo , entonces la función identidad de S es una involución.
2. Si S es un grupo , entonces la función de inversión * : S → S definida por x * = x ⁻¹ es una involución. Además, en un grupo abeliano, tanto esta función como la del ejemplo anterior son involuciones que satisfacen los axiomas de semigrupo con involución. ^[4]
3. Si S es un semigrupo inverso , entonces la función de inversión es una involución que deja a los idempotentes invariantes . Como se señaló en el ejemplo anterior, la función de inversión no es necesariamente la única función con esta propiedad en un semigrupo inverso. Bien puede haber otras involuciones que dejen a todos los idempotentes invariantes; por ejemplo, la función identidad en un semigrupo regular conmutativo, por lo tanto inverso, en particular, un grupo abeliano. Un semigrupo regular es un semigrupo inverso si y solo si admite una involución bajo la cual cada idempotente es un invariante. ^[5]
4. Detrás de cada C*-álgebra hay un *-semigrupo. Un ejemplo importante es el álgebra M _n ( C ) de matrices n por n sobre C , con la transpuesta conjugada como involución.
5. Si X es un conjunto, el conjunto de todas las relaciones binarias en X es un *-semigrupo con el * dado por la relación inversa , y la multiplicación dada por la composición usual de relaciones . Este es un ejemplo de un *-semigrupo que no es un semigrupo regular.
6. Si X es un conjunto, entonces el conjunto de todas las secuencias finitas (o cadenas ) de miembros de X forma un monoide libre bajo la operación de concatenación de secuencias, con inversión de secuencia como una involución.
7. Banda rectangular sobre un producto cartesiano de un conjunto A consigo mismo, es decir, con elementos de A × A , con el producto de semigrupo definido como ( a , b )( c , d ) = ( a , d ), siendo la involución la inversión de orden de los elementos de un par ( a , b )* = ( b , a ). Este semigrupo es también un semigrupo regular , como lo son todas las bandas. ^[6]

Conceptos y propiedades básicas

Un elemento x de un semigrupo con involución se denomina a veces hermítico (por analogía con una matriz hermítica ) cuando la involución lo deja invariante, es decir, x * = x . Los elementos de la forma xx * o x * x son siempre hermíticos, y lo mismo ocurre con todas las potencias de un elemento hermítico. Como se señaló en la sección de ejemplos, un semigrupo S es un semigrupo inverso si y solo si S es un semigrupo regular y admite una involución tal que todo idempotente es hermítico. ^[7]

Ciertos conceptos básicos pueden definirse en *-semigrupos de una manera que es paralela a las nociones derivadas de un elemento regular en un semigrupo . Una isometría parcial es un elemento s tal que ss * s = s ; el conjunto de isometrías parciales de un semigrupo S se suele abreviar PI( S ). ^[8] Una proyección es un elemento idempotente e que también es hermítico, lo que significa que ee = e y e * = e . Toda proyección es una isometría parcial, y para toda isometría parcial s , s * s y ss * son proyecciones. Si e y f son proyecciones, entonces e = ef si y solo si e = fe . ^[9]

Las isometrías parciales pueden ordenarse parcialmente por s ≤ t, definido como válido siempre que s = ss * t y ss * = ss * tt *. ^[9] De manera equivalente, s ≤ t si y solo si s = et y e = ett * para alguna proyección e . ^[9] En un *-semigrupo, PI( S ) es un grupoide ordenado con el producto parcial dado por s ⋅ t = st si s * s = tt *. ^[10]

Ejemplos

En términos de ejemplos de estas nociones, en el *-semigrupo de relaciones binarias en un conjunto, las isometrías parciales son las relaciones que son difuncionales . Las proyecciones en este *-semigrupo son las relaciones de equivalencia parcial . ^[11]

Las isometrías parciales en un C*-álgebra son exactamente las definidas en esta sección. En el caso de M _n ( C ) se puede decir más. Si E y F son proyecciones, entonces E ≤ F si y sólo si im E ⊆ im F . Para dos proyecciones cualesquiera, si E ∩ F = V , entonces la única proyección J con imagen V y núcleo el complemento ortogonal de V es el encuentro de E y F . Puesto que las proyecciones forman un semirretículo de encuentro , las isometrías parciales en M _n ( C ) forman un semigrupo inverso con el producto . ^[12] ${\displaystyle A(A^{*}A\wedge BB^{*})B}$

Otro ejemplo sencillo de estas nociones aparece en la siguiente sección.

Nociones de regularidad

Existen dos nociones de regularidad relacionadas, pero no idénticas, en los *-semigrupos. Fueron introducidas casi simultáneamente por Nordahl y Scheiblich (1978) y Drazin (1979), respectivamente. ^[13]

Semigrupos * regulares (Nordahl y Scheiblich)

Como se mencionó en los ejemplos anteriores, los semigrupos inversos son una subclase de los *-semigrupos. También es de conocimiento general que un semigrupo inverso puede caracterizarse como un semigrupo regular en el que dos idempotentes cualesquiera conmutan. En 1963, Boris M. Schein demostró que los dos axiomas siguientes proporcionan una caracterización análoga de los semigrupos inversos como una subvariedad de los *-semigrupos:

• x = xx * x
• ( xx *)( x * x ) = ( x * x )( xx *)

El primero de ellos parece la definición de un elemento regular, pero en realidad se expresa en términos de la involución. Asimismo, el segundo axioma parece describir la conmutación de dos idempotentes. Sin embargo, se sabe que los semigrupos regulares no forman una variedad porque su clase no contiene objetos libres (resultado establecido por DB McAlister en 1968). Esta línea de razonamiento motivó a Nordahl y Scheiblich a comenzar en 1977 el estudio de la (variedad de) *-semigrupos que satisfacen únicamente el primero de estos dos axiomas; debido a la similitud en la forma con la propiedad que define a los semigrupos regulares, denominaron a esta variedad *-semigrupos regulares.

Es un cálculo simple establecer que un *-semigrupo regular es también un semigrupo regular porque x * resulta ser un inverso de x . La banda rectangular del Ejemplo 7 es un *-semigrupo regular que no es un semigrupo inverso. ^[6] También es fácil verificar que en un *-semigrupo regular el producto de dos proyecciones cualesquiera es un idempotente. ^[14] En el ejemplo de banda rectangular mencionado anteriormente, las proyecciones son elementos de la forma ( x , x ) y [como todos los elementos de una banda] son ​​idempotentes. Sin embargo, dos proyecciones diferentes en esta banda no necesitan conmutar, ni su producto es necesariamente una proyección ya que ( a , a )( b , b ) = ( a , b ).

Los semigrupos que satisfacen sólo x ** = x = xx * x (pero no necesariamente la antidistributividad de * sobre la multiplicación) también se han estudiado bajo el nombre de I-semigrupos .

Sistemas P

El problema de caracterizar cuándo un semigrupo regular es un *-semigrupo regular (en el sentido de Nordahl y Scheiblich) fue abordado por M. Yamada (1982). Definió un P-sistema F(S) como un subconjunto de los idempotentes de S, denotado como es habitual por E(S). Utilizando la notación habitual V( a ) para las inversas de a , F(S) debe satisfacer los siguientes axiomas:

1. Para cualquier a en S, existe un único a° en V( a ) tal que aa ° y a ° a están en F(S)
2. Para cualquier a en S, y b en F(S), a°ba está en F(S), donde ° es la operación bien definida del axioma anterior
3. Para cualquier a , b en F(S), ab está en E(S); nota: no necesariamente en F(S)

Un semigrupo regular S es un semigrupo *-regular, según la definición de Nordahl y Scheiblich, si y solo si tiene un p-sistema F(S). En este caso F(S) es el conjunto de proyecciones de S con respecto a la operación ° definida por F(S). En un semigrupo inverso, todo el semirretículo de idempotentes es un p-sistema. Además, si un semigrupo regular S tiene un p-sistema que es multiplicativamente cerrado (es decir, subsemigrupo), entonces S es un semigrupo inverso. Por lo tanto, un p-sistema puede considerarse como una generalización del semirretículo de idempotentes de un semigrupo inverso.

*-semigrupos regulares (Drazin)

Un semigrupo S con una involución * se llama semigrupo *-regular (en el sentido de Drazin) si para cada x en S , x * es H -equivalente a alguna inversa de x , donde H es la relación de Green H . Esta propiedad definitoria se puede formular de varias maneras equivalentes. Otra es decir que cada L -clase contiene una proyección. Una definición axiomática es la condición de que para cada x en S existe un elemento x ′ tal que x ′ xx ′ = x ′ , xx ′ x = x , ( xx ′)* = xx ′ , ( x ′ x )* = x ′ x . Michael P. Drazin fue el primero en demostrar que dado x , el elemento x ′ que satisface estos axiomas es único. Se llama la inversa de Moore-Penrose de x . Esto concuerda con la definición clásica de la inversa de Moore-Penrose de una matriz cuadrada.

Una motivación para estudiar estos semigrupos es que permiten generalizar las propiedades de la inversa de Moore-Penrose de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ a conjuntos más generales.

En el semigrupo multiplicativo M _n ( C ) de matrices cuadradas de orden n , la función que asigna una matriz A a su conjugado hermítico A * es una involución. El semigrupo M _n ( C ) es un semigrupo *-regular con esta involución. La inversa de Moore-Penrose de A en este semigrupo *-regular es la inversa clásica de Moore-Penrose de A .

Semigrupo libre con involución

Como ocurre con todas las variedades, la categoría de semigrupos con involución admite objetos libres . La construcción de un semigrupo libre (o monoide) con involución se basa en la de un semigrupo libre (y respectivamente en la de un monoide libre). Además, la construcción de un grupo libre se puede derivar fácilmente refinando la construcción de un monoide libre con involución. ^[15]

Los generadores de un semigrupo libre con involución son los elementos de la unión de dos conjuntos disjuntos ( equinumerosos ) en correspondencia biyectiva : . (Aquí la notación enfatiza que la unión es en realidad una unión disjunta .) En el caso en que los dos conjuntos sean finitos, su unión Y a veces se llama un alfabeto con involución ^[16] o un alfabeto simétrico . ^[17] Sea una biyección; se extiende naturalmente a una biyección esencialmente tomando la unión disjunta de (como un conjunto) con su inverso , o en notación por partes : ^[18] ${\displaystyle Y=X\sqcup X^{\dagger }}$ ${\displaystyle \sqcup \,}$ ${\displaystyle \theta :X\rightarrow X^{\dagger }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {}\dagger :Y\to Y}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle y^{\dagger }={\begin{cases}\theta (y)&{\text{if }}y\in X\\\theta ^{-1}(y)&{\text{if }}y\in X^{\dagger }\end{cases}}}$

Ahora construya como el semigrupo libre en la forma habitual con la operación binaria (semigrupo) en siendo concatenación : ${\displaystyle Y^{+}\,}$ ${\displaystyle Y\,}$ ${\displaystyle Y^{+}\,}$

${\displaystyle w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}}$para algunas cartas ${\displaystyle w_{i}\in Y.}$

La biyección en se extiende entonces como una biyección definida como la inversión de cadena de los elementos de que constan de más de una letra: ^{[16] [18]} ${\displaystyle \dagger }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {}^{\dagger }:Y^{+}\rightarrow Y^{+}}$ ${\displaystyle Y^{+}\,}$

${\displaystyle w^{\dagger }=w_{k}^{\dagger }w_{k-1}^{\dagger }\cdots w_{2}^{\dagger }w_{1}^{\dagger }.}$

Esta función es una involución en el semigrupo . Por lo tanto, el semigrupo con la función es un semigrupo con involución, llamado semigrupo libre con involución en X . ^[19] (La irrelevancia de la identidad concreta de y de la biyección en esta elección de terminología se explica a continuación en términos de la propiedad universal de la construcción). Nótese que a diferencia del Ejemplo 6, la involución de cada letra es un elemento distinto en un alfabeto con involución y, en consecuencia, la misma observación se extiende a un semigrupo libre con involución. ${\displaystyle Y^{+}\,}$ ${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$ ${\displaystyle {}^{\dagger }\,}$ ${\displaystyle X^{\dagger }}$ ${\displaystyle \theta }$

Si en la construcción anterior en lugar de utilizamos el monoide libre , que es simplemente el semigrupo libre extendido con la palabra vacía (que es el elemento identidad del monoide ), y extendemos adecuadamente la involución con , obtenemos un monoide libre con involución . ^[18] ${\displaystyle Y^{+}\,}$ ${\displaystyle Y^{*}=Y^{+}\cup \{\varepsilon \}}$ ${\displaystyle \varepsilon \,}$ ${\displaystyle Y^{*}\,}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{\dagger }=\varepsilon }$

La construcción anterior es en realidad la única forma de extender una función dada de a , a una involución en (y asimismo en ). El calificativo "libre" para estas construcciones se justifica en el sentido habitual de que son construcciones universales . En el caso del semigrupo libre con involución, dado un semigrupo arbitrario con involución y una función , entonces existe un homomorfismo de semigrupo tal que , donde es la función de inclusión y la composición de funciones se toma en orden de diagrama . ^[19] La construcción de como un semigrupo con involución es única hasta el isomorfismo . Un argumento análogo es válido para el monoide libre con involución en términos de homomorfismos de monoide y la unicidad hasta el isomorfismo de la construcción de como un monoide con involución. ${\displaystyle \theta \,}$ ${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle X^{\dagger }\,}$ ${\displaystyle Y^{+}\,}$ ${\displaystyle Y^{*}\,}$ ${\displaystyle S\,}$ ${\displaystyle \Phi :X\rightarrow S}$ ${\displaystyle {\overline {\Phi }}:(X\sqcup X^{\dagger })^{+}\rightarrow S}$ ${\displaystyle \Phi =\iota \circ {\overline {\Phi }}}$ ${\displaystyle \iota :X\rightarrow (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$ ${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$ ${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{*}}$

La construcción de un grupo libre no está muy lejos de la de un monoide libre con involución. El ingrediente adicional necesario es definir una noción de palabra reducida y una regla de reescritura para producir tales palabras simplemente eliminando cualquier par adyacente de letras de la forma o . Se puede demostrar que el orden de reescritura (eliminación) de tales pares no importa, es decir, cualquier orden de eliminaciones produce el mismo resultado. ^[15] (Dicho de otro modo, estas reglas definen un sistema de reescritura confluente ). De manera equivalente, un grupo libre se construye a partir de un monoide libre con involución tomando el cociente de este último por la congruencia , que a veces se llama congruencia de Dyck —en cierto sentido generaliza el lenguaje de Dyck a múltiples tipos de "paréntesis"—. Sin embargo, la simplificación en la congruencia de Dyck tiene lugar independientemente del orden. Por ejemplo, si ")" es el inverso de "(", entonces ; la congruencia unilateral que aparece en el lenguaje Dyck propiamente dicho , que instancia sólo a se llama (quizás de manera confusa) la congruencia de Shamir . El cociente de un monoide libre con involución por la congruencia de Shamir no es un grupo, sino un monoide ; sin embargo, ha sido llamado el semigrupo libre por su primer descubridor, Eli Shamir , aunque más recientemente se lo ha llamado el monoide involutivo generado por X . ^{[17] [20]} (Esta última elección de terminología entra en conflicto, sin embargo, con el uso de "involutivo" para denotar cualquier semigrupo con involución, una práctica que también se encuentra en la literatura. ^{[21] [22]} ) ${\displaystyle xx^{\dagger }}$ ${\displaystyle x^{\dagger }x}$ ${\displaystyle \{(yy^{\dagger },\varepsilon ):y\in Y\}}$ ${\displaystyle ()=)(=\varepsilon }$ ${\displaystyle \{(xx^{\dagger },\varepsilon ):x\in X\}}$ ${\displaystyle ()=\varepsilon }$

*-Semigrupos de Baer

Un *-semigrupo de Baer es un *-semigrupo con cero (bilateral) en el que el aniquilador derecho de cada elemento coincide con el ideal derecho de alguna proyección; esta propiedad se expresa formalmente como: para todo x ∈ S existe una proyección e tal que

{ y ∈ S | xy = 0 } = eS . ^[22]

La proyección e está de hecho determinada únicamente por x . ^[22]

Más recientemente, los semigrupos de Baer * también se han llamado semigrupos de Foulis , en honor a David James Foulis, quien los estudió en profundidad. ^{[23] [24]}

Ejemplos y aplicaciones

El conjunto de todas las relaciones binarias de un conjunto (del ejemplo 5) es un *-semigrupo de Baer. ^[25]

Los *-semigrupos de Baer también se encuentran en la mecánica cuántica , ^[22] en particular como los semigrupos multiplicativos de los *-anillos de Baer .

Si H es un espacio de Hilbert , entonces el semigrupo multiplicativo de todos los operadores acotados en H es un *-semigrupo de Baer. La involución en este caso asigna un operador a su adjunto . ^[25]

Los semigrupos Baer * permiten la coordinación de redes ortomodulares . ^[23]

Véase también

• Categoría de daga (también conocida como categoría con involución): generaliza la noción
• *-álgebra
• Clases especiales de semigrupos

Notas

1. Christopher Hollings (2014). Matemáticas al otro lado de la Cortina de Hierro: Una historia de la teoría algebraica de semigrupos . American Mathematical Society. pág. 265. ISBN 978-1-4704-1493-1.
2. Chris Brink; Wolfram Kahl; Günther Schmidt (1997). Métodos relacionales en informática . Saltador. pag. 4.ISBN​ 978-3-211-82971-4.
3. HSM Coxeter, Introducción a la geometría , pág. 33
4. C. van den Berg; J. P. Christensen; P. Ressel (2012). Análisis armónico en semigrupos: teoría de funciones definidas positivas y relacionadas . Springer Science & Business Media. págs. 87–88. ISBN. 978-1-4612-1128-0.
5. Munn, Lema 1
6. Nordahl y Scheiblich
7. Easdown, David y WD Munn. "Sobre semigrupos con involución". Boletín de la Sociedad Matemática Australiana 48.01 (1993): 93–100.
8. Lawson, pág. 116
9. Lawson, pág. 117
10. Lawson, pág. 118
11. Lawson pág. 122 y pág. 35
12. Lawson pág. 120
13. Crvenkovic y Dolinka
14. Nordahl y Scheiblich, Teorema 2.5
15. Lawson pág. 51
16. Andrzej Ehrenfeucht; T. Harju; Grzegorz Rozenberg (1999). La teoría de las 2-estructuras: un marco para la descomposición y transformación de grafos . World Scientific. págs. 13-14. ISBN 978-981-02-4042-4.
17. Jacques Sakarovitch. Elementos de la teoría de autómatas . Cambridge University Press. págs. 305-306.
18. Stephen Lipscomb (1996). Semigrupos inversos simétricos . American Mathematical Soc. pág. 86. ISBN 978-0-8218-0627-2.
19. Lawson pág. 172
20. Ion Petre; Arto Salomaa (2009). "Sistemas algebraicos y autómatas pushdown". En Manfred Droste; Werner Kuich; Heiko Vogler (eds.). Manual de autómatas ponderados . Saltador. pag. 271.ISBN​ 978-3-642-01492-5.
21. Karl-Hermann Neeb (2000). Holomorfía y convexidad en la teoría de Lie . Walter de Gruyter. pág. 21. ISBN 978-3-11-015669-0.
22. Enrico G. Beltrametti; Gianni Cassinelli (2010) [1981]. La lógica de la mecánica cuántica . Cambridge University Press. pág. 178. ISBN 978-0-521-16849-6.
23. TS Blyth (2006). Redes y estructuras algebraicas ordenadas . Springer Science & Business Media. págs. 101-102. ISBN 978-1-84628-127-3.
24. Harding, John. "Dagas, núcleos, semigrupos Baer y ortomodularidad". Journal of Philosophical Logic . 6 de abril de 2013. doi :10.1007/s10992-013-9275-5
25. Foulis, DJ Inversos relativos en semigrupos de Baer *. Matemáticas de Michigan. J. 10 (1963), núm. 1, 65–84. doi : 10.1307/mmj/1028998825.

Referencias

• Mark V. Lawson (1998). "Semigrupos inversos: la teoría de simetrías parciales". ISBN 981-02-3316-7 de World Scientific  
• DJ Foulis (1958). Involution Semigroups , tesis doctoral, Universidad de Tulane, Nueva Orleans, LA. Publicaciones de DJ Foulis (consultado el 5 de mayo de 2009)
• WD Munn, Special Involutions , en AH Clifford, KH Hofmann, MW Mislove, Semigroup theory and its applications: procedures of the 1994 conference commemorating the work of Alfred H. Clifford , Cambridge University Press, 1996, ISBN 0521576695. Este es un artículo de investigación reciente sobre semigrupos con involución (especial). 
• Drazin, MP, Semigrupos regulares con involución , Proc. Symp. on Regular Semigroups (DeKalb, 1979), 29–46
• Nordahl, TE y HE Scheiblich, Semigrupos regulares *, Foro de semigrupos , 16 (1978), 369–377.
• Miyuki Yamada, Sistemas P en semigrupos regulares , Semigroup Forum , 24(1), diciembre de 1982, págs. 173–187
• S. Crvenkovic e Igor Dolinka, "Variedades de semigrupos de involución y semianillos de involución: un estudio", Boletín de la Sociedad de Matemáticos de Banja Luka Vol. 9 (2002), 7–47.
• Este artículo incorpora material de Semigrupo gratuito con involución en PlanetMath , que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .