Secuencia del malabarista

Sucesión de números enteros en la teoría de números

En teoría de números , una secuencia malabarista es una secuencia de números enteros que comienza con un número entero positivo a ₀ , y cada término subsiguiente en la secuencia está definido por la relación de recurrencia : $${\displaystyle a_{k+1}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,&{\text{if }}a_{k}{\text{ is even}}\\\\\left\lfloor a_{k}^{\frac {3}{2}}\right\rfloor ,&{\text{if }}a_{k}{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$$

Fondo

Las secuencias de malabaristas fueron publicadas por el matemático y autor estadounidense Clifford A. Pickover . ^[1] El nombre se deriva de la naturaleza ascendente y descendente de las secuencias, como pelotas en las manos de un malabarista . ^[2]

Por ejemplo, la secuencia del malabarista que comienza con un ₀ = 3 es

${\displaystyle a_{1}=\lfloor 3^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 5.196\dots \rfloor =5,}$

${\displaystyle a_{2}=\lfloor 5^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 11.180\dots \rfloor =11,}$

${\displaystyle a_{3}=\lfloor 11^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 36.482\dots \rfloor =36,}$

${\displaystyle a_{4}=\lfloor 36^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 6\rfloor =6,}$

${\displaystyle a_{5}=\lfloor 6^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 2.449\dots \rfloor =2,}$

${\displaystyle a_{6}=\lfloor 2^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 1.414\dots \rfloor =1.}$

Si una sucesión de malabaristas llega a 1, entonces todos los términos subsiguientes son iguales a 1. Se conjetura que todas las sucesiones de malabaristas llegan eventualmente a 1. Esta conjetura ha sido verificada para términos iniciales hasta 10 ⁶ , ^[3] pero no ha sido demostrada. Por lo tanto, las sucesiones de malabaristas presentan un problema similar a la conjetura de Collatz , sobre la cual Paul Erdős afirmó que "las matemáticas aún no están preparadas para tales problemas".

Para un término inicial dado n , se define l ( n ) como el número de pasos que la secuencia de malabaristas que comienza en n toma para llegar primero a 1, y h ( n ) como el valor máximo en la secuencia de malabaristas que comienza en n . Para valores pequeños de n tenemos:

Las secuencias de malabaristas pueden alcanzar valores muy grandes antes de descender a 1. Por ejemplo, la secuencia de malabaristas que comienza en 0 ₌ 37 alcanza un valor máximo de 24906114455136. Harry J. Smith ha determinado que la secuencia de malabaristas que comienza en 0 ₌ 48443 alcanza un valor máximo en ₆₀ con _972.463 dígitos, antes de llegar a 1 en 157. ^[4 ]

Véase también

• Dinámica aritmética
• Conjetura de Collatz
• Relación de recurrencia

Referencias

1. Pickover, Clifford A. (1992). "Capítulo 40". Las computadoras y la imaginación . St. Martin's Press. ISBN 978-0-312-08343-4.
2. Pickover, Clifford A. (2002). "Capítulo 45: Números de malabarista". Las matemáticas de Oz: gimnasia mental desde más allá del límite . Cambridge University Press. págs. 102-106. ISBN 978-0-521-01678-0.
3. Weisstein, Eric W. "Secuencia de malabarista". MathWorld .
4. Carta de Harry J. Smith a Clifford A. Pickover, 27 de junio de 1992

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Secuencia de malabarista". MathWorld .
• Sucesión de Juggler (A094683) en la Enciclopedia en línea de sucesiones de números enteros . Véase también:
  • Número de pasos necesarios para que la secuencia del malabarista (A094683) comience en n y llegue a 1.
  • n establece un nuevo récord en cuanto a número de iteraciones para llegar a 1 en el problema de la secuencia del malabarista.
  • Número de pasos en los que la secuencia Juggler alcanza un nuevo récord.
  • Número más pequeño que requiere n iteraciones para llegar a 1 en el problema de la secuencia del malabarista.
  • Valores iniciales que producen un número de malabarista mayor que los valores iniciales más pequeños.
• Calculadora de secuencias de Juggler en el Centro de cálculo de conjeturas de Collatz
• Páginas de números de malabarista de Harry J. Smith