Utilidad multiatributo

En la teoría de la decisión , se utiliza una función de utilidad de atributos múltiples para representar las preferencias de un agente sobre paquetes de bienes, ya sea en condiciones de certeza sobre los resultados de cualquier elección potencial o en condiciones de incertidumbre.

Preliminares

Una persona tiene que decidir entre dos o más opciones. La decisión se basa en los atributos de las opciones.

El caso más simple es cuando hay un solo atributo, por ejemplo: dinero. Generalmente se supone que todas las personas prefieren más dinero a menos dinero; de ahí que el problema en este caso sea trivial: selecciona la opción que te dé más dinero.

En realidad, hay dos o más atributos. Por ejemplo, una persona tiene que seleccionar entre dos opciones de empleo: la opción A le da $12 mil por mes y 20 días de vacaciones, mientras que la opción B le da $15 mil por mes y solo 10 días de vacaciones. La persona tiene que decidir entre (12K,20) y (15K,10). Diferentes personas pueden tener diferentes preferencias. Bajo ciertas condiciones, las preferencias de una persona pueden representarse mediante una función numérica. El artículo utilidad ordinal describe algunas propiedades de dichas funciones y algunas formas de calcularlas.

Otra consideración que podría complicar el problema de la decisión es la incertidumbre . Aunque hay al menos cuatro fuentes de incertidumbre: los resultados de los atributos y la confusión de quien toma decisiones acerca de: a) las formas específicas de las funciones de utilidad de los atributos individuales, b) los valores de las constantes agregadas, y c) si las funciones de utilidad de los atributos son aditivas , estos términos se abordan actualmente; de ​​ahora en adelante, incertidumbre significa solo aleatoriedad en los niveles de atributos. Esta complicación de la incertidumbre existe incluso cuando hay un único atributo, por ejemplo: dinero. Por ejemplo, la opción A podría ser una lotería con un 50% de posibilidades de ganar $2, mientras que la opción B es ganar $1 con seguridad. La persona tiene que decidir entre la lotería <2:0.5> y la lotería <1:1>. Una vez más, diferentes personas pueden tener preferencias diferentes. Nuevamente, bajo ciertas condiciones las preferencias pueden representarse mediante una función numérica. Estas funciones se denominan funciones de utilidad cardinales . El artículo Teorema de utilidad de Von Neumann-Morgenstern describe algunas formas de calcularlos.

La situación más general es que existen múltiples atributos e incertidumbre. Por ejemplo, la opción A puede ser una lotería con un 50% de posibilidades de ganar dos manzanas y dos plátanos, mientras que la opción B es ganar dos plátanos con seguridad. La decisión es entre <(2,2):(0.5,0.5)> y <(2,0):(1,0)>. Las preferencias aquí pueden representarse mediante funciones de utilidad cardinales que toman varias variables (los atributos). ^{[1] : 26–27} Estas funciones son el tema central del presente artículo.

El objetivo es calcular una función de utilidad que represente las preferencias de la persona en loterías de paquetes. Es decir, se prefiere la lotería A a la lotería B si y sólo si la expectativa de la función es mayor en A que en B: ${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle E_{A}[u(x_{1},...,x_{n})]>E_{B}[u(x_{1},...,x_{n})]}$

Evaluación de una función de utilidad cardinal de múltiples atributos

Si el número de cestas posibles es finito, u se puede construir directamente como lo explicaron von Neumann y Morgenstern (VNM): ordenar las cestas desde el menos preferido hasta el más preferido, asignar la utilidad 0 al primero y la utilidad 1 al segundo, y asignar a cada paquete intermedio una utilidad igual a la probabilidad de una lotería equivalente. ^{[1] : 222–223}

Si el número de paquetes es infinito, una opción es comenzar ignorando la aleatoriedad y evaluar una función de utilidad ordinal que represente la utilidad del usuario en ciertos paquetes. Es decir, se prefiere un paquete x a un paquete y si y sólo si la función es mayor para x que para y: ${\displaystyle v(x_{1},...,x_{n})}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v(x_{1},...,x_{n})>v(y_{1},...,y_{n})}$

Esta función, en efecto, convierte el problema de atributos múltiples en un problema de atributo único: el atributo es . Luego, se puede utilizar VNM para construir la función . ^{[1] : 219–220} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

Tenga en cuenta que u debe ser una transformación monótona positiva de v . Esto significa que existe una función monótonamente creciente , tal que: ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})=r(v(x_{1},...,x_{n}))}$

El problema con este enfoque es que no es fácil evaluar la función r . Al evaluar una función de utilidad cardinal de un solo atributo usando VNM, hacemos preguntas como: "¿Qué probabilidad de ganar $2 es equivalente a $1?". Entonces, para evaluar la función r , tenemos que hacernos una pregunta como: "¿Qué probabilidad de ganar 2 unidades de valor equivale a 1 valor?". La última pregunta es mucho más difícil de responder que la primera, ya que involucra el "valor", que es una cantidad abstracta.

Una posible solución es calcular n funciones de utilidad cardinales unidimensionales, una para cada atributo. Por ejemplo, supongamos que hay dos atributos: manzanas ( ) y plátanos ( ), ambos oscilan entre 0 y 99. Usando VNM, podemos calcular las siguientes funciones de utilidad unidimensionales: ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

• ${\displaystyle u(x_{1},0)}$- una utilidad fundamental para las manzanas cuando no hay plátanos (el límite sur del dominio);
• ${\displaystyle u(99,x_{2})}$- una utilidad fundamental para los plátanos cuando las manzanas están en su máximo (el límite oriental del dominio).

Usando transformaciones lineales, escale las funciones de modo que tengan el mismo valor en (99,0).

Luego, para cada paquete , encuentre un paquete equivalente (un paquete con el mismo v ) que sea de la forma o de la forma , y ​​establezca su utilidad en el mismo número. ^{[1] : 221–222} ${\displaystyle (x_{1}',x_{2}')}$ ${\displaystyle (x_{1},0)}$ ${\displaystyle (99,x_{2})}$

A menudo, se pueden utilizar ciertas propiedades de independencia entre atributos para facilitar la construcción de una función de utilidad. Algunas de estas propiedades de independencia se describen a continuación.

Independencia aditiva

La propiedad de independencia más fuerte se llama independencia aditiva . Dos atributos, 1 y 2, se denominan independientes aditivos , si la preferencia entre dos loterías (definidas como distribuciones de probabilidad conjuntas de los dos atributos) depende únicamente de sus distribuciones de probabilidad marginal (la PD marginal del atributo 1 y la PD marginal del atributo 2). ).

Esto significa, por ejemplo, que las dos loterías siguientes son equivalentes:

• ${\displaystyle L}$: Una lotería con igualdad de oportunidades entre y ; ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$
• ${\displaystyle M}$: Una lotería con igualdad de posibilidades entre y . ${\displaystyle (x_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle (y_{1},x_{2})}$

En ambas loterías, la PD marginal del atributo 1 es del 50% para y del 50% para . De manera similar, la PD marginal del atributo 2 es 50% para y 50% para . Por tanto, si un agente tiene utilidades independientes de los aditivos, debe ser indiferente entre estas dos loterías. ^{[1] : 229–232} ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle y_{2}}$

Un resultado fundamental en la teoría de la utilidad es que dos atributos son independientes de los aditivos, si y sólo si su función de utilidad de dos atributos es aditiva y tiene la forma:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+u_{2}(x_{2})}$

PRUEBA:

${\displaystyle \longrightarrow }$

Si los atributos son independientes de los aditivos, entonces las loterías y , definidas anteriormente, son equivalentes. Esto significa que su utilidad esperada es la misma, es decir: . Multiplicando por 2 da: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E_{L}[u]=E_{M}[u]}$

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})+u(y_{1},y_{2})=u(x_{1},y_{2})+u(y_{1},x_{2})}$

Esto es válido para cualquier selección de y . Supongamos ahora que y están arreglados. Establecido arbitrariamente . Escribe: y . La ecuación anterior se convierte en: ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$ ${\displaystyle u(y_{1},y_{2})=0}$ ${\displaystyle u_{1}(x_{1})=u(x_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle u_{2}(x_{2})=u(y_{1},x_{2})}$

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+u_{2}(x_{2})}$

${\displaystyle \longleftarrow }$

Si la función u es aditiva, entonces según las reglas de expectativa, para cada lotería : ${\displaystyle L}$

${\displaystyle E_{L}[u(x_{1},x_{2})]=E_{L}[u_{1}(x_{1})]+E_{L}[u_{2}(x_{2})]}$

Esta expresión depende sólo de las distribuciones de probabilidad marginal de los dos atributos. ${\displaystyle L}$

Este resultado se generaliza a cualquier número de atributos: si las preferencias sobre las loterías en los atributos 1,..., n dependen sólo de sus distribuciones de probabilidad marginal, entonces la función de utilidad del atributo n es aditiva: ^{[1] : 295}

${\displaystyle u(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}{k_{i}u_{i}(x_{i})}}$

donde y están normalizados al rango y son constantes de normalización. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle k_{i}}$

Gran parte del trabajo en teoría de la utilidad aditiva ha sido realizado por Peter C. Fishburn .

Independencia de utilidad

Una propiedad de independencia ligeramente más débil es la independencia de utilidad . El atributo 1 es independiente de la utilidad del atributo 2, si las preferencias condicionales en las loterías sobre el atributo 1 dado un valor constante del atributo 2, no dependen de ese valor constante.

Esto significa, por ejemplo, que la preferencia entre una lotería y una lotería es la misma, independientemente del valor de . ${\displaystyle <(x_{1},x_{2}):(y_{1},x_{2})>}$ ${\displaystyle <(x'_{1},x_{2}):(y'_{1},x_{2})>}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Tenga en cuenta que la independencia de la utilidad (a diferencia de la independencia aditiva) no es simétrica: es posible que el atributo 1 sea independiente de la utilidad del atributo 2 y no al revés. ^{[1] : 224–229}

Si el atributo 1 es independiente de la utilidad del atributo 2, entonces la función de utilidad para cada valor del atributo 2 es una transformación lineal de la función de utilidad para todos los demás valores del atributo 2. Por lo tanto, puede escribirse como:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=c_{1}(x_{2})+c_{2}(x_{2})\cdot u(x_{1},x_{2}^{0})}$

cuando es un valor constante para el atributo 2. De manera similar, si el atributo 2 es independiente de la utilidad del atributo 1: ${\displaystyle x_{2}^{0}}$

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=d_{1}(x_{1})+d_{2}(x_{1})\cdot u(x_{1}^{0},x_{2})}$

Si los atributos son mutuamente independientes de la utilidad , entonces la función de utilidad u tiene la siguiente forma multilineal : ^{[1] : 233–235}

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+u_{2}(x_{2})+k\cdot u_{1}(x_{1})\cdot u_{2}(x_{2})}$

Donde es una constante que puede ser positiva, negativa o 0. ${\displaystyle k}$

• Cuando , la función u es aditiva y los atributos son independientes de los aditivos. ${\displaystyle k=0}$
• Cuando , la función de utilidad es multiplicativa, ya que se puede escribir como: ${\displaystyle k\neq 0}$

${\displaystyle [ku(x_{1},x_{2})+1]=[ku_{1}(x_{1})+1]\cdot [ku_{2}(x_{2})+1]}$

donde cada término es una transformación lineal de una función de utilidad. ${\displaystyle k\cdot +1}$

Estos resultados se pueden generalizar a cualquier número de atributos. Dados los atributos 1,..., n , si cualquier subconjunto de los atributos es independiente de la utilidad de su complemento, entonces la función de utilidad de n atributos es multilineal y tiene una de las siguientes formas:

• Aditivo, o -
• Multiplicativo : ^{[1] : 289–290}

${\displaystyle 1+ku(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}{1+kk_{i}u_{i}(x_{i})}}$

dónde:

• The y the están normalizados al rango ; ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• Son constantes en ; ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• ${\displaystyle k}$es una constante que está en o en (tenga en cuenta que el límite es la forma aditiva). ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle k\to 0}$

Comparación de conceptos de independencia.

Es útil comparar tres conceptos diferentes relacionados con la independencia de atributos: independencia aditiva (AI), independencia de utilidad (UI) e independencia preferencial (PI). ^{[1] : 344}

Tanto la IA como la UI se refieren a las preferencias en las loterías y se explican anteriormente. PI se refiere a preferencias sobre resultados seguros y se explica en el artículo sobre utilidad ordinal .

Su orden de implicación es el siguiente:

IA ⇒ IU ⇒ PI

AI es una relación simétrica (si el atributo 1 es AI del atributo 2, entonces el atributo 2 es AI del atributo 1), mientras que UI y PI no lo son.

La IA implica una interfaz de usuario mutua. En general, lo contrario no es cierto; es cierto solo si está en la fórmula multilineal para los atributos de la interfaz de usuario. Pero si, además de la UI mutua, existen dos loterías y , definidas anteriormente, que son equivalentes, entonces debe ser 0, y esto significa que la relación de preferencia debe ser AI. ^{[1] : 238-239} ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$

UI implica PI. Lo contrario, en general, no es cierto. Pero si:

• hay al menos 3 atributos esenciales, y:
• todos los pares de atributos {1, i } son PI de su complemento y:
• el atributo 1 es la interfaz de usuario de su complemento,

entonces todos los atributos son mutuamente UI. Además, en ese caso existe una relación simple entre la función de utilidad cardinal que representa las preferencias en loterías y la función de utilidad ordinal que representa las preferencias en ciertos paquetes. La función debe tener una de las siguientes formas: ^{[1] : 330–332  [2]} ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

• Aditivo: ${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})=v(x_{1},...,x_{n})}$
• Multiplicativo: ${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})=[exp(R\cdot v(x_{1},...,x_{n}))-1]/[exp(R)-1]}$

dónde . ${\displaystyle R\neq 0}$

DEMOSTRACIÓN: Es suficiente demostrar que u tiene una aversión absoluta al riesgo constante con respecto al valor v .

• El supuesto de PI implica que la función de valor es aditiva, es decir: ${\displaystyle n\geq 3}$

${\displaystyle v(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(x_{i})}}$

• Sean dos valores diferentes para el atributo 1. Sea el equivalente de certeza de la lotería . El supuesto de UI implica que, para cada combinación de valores de los otros atributos, se cumple la siguiente equivalencia: ${\displaystyle x_{1},z_{1}}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle <x_{1}:z_{1}>}$ ${\displaystyle (w_{2},\dots ,w_{n})}$

${\displaystyle (y_{1},w)\sim <(x_{1},w):(z_{1},w)>}$

• Las dos afirmaciones anteriores implican que para cada w , se cumple la siguiente equivalencia en el espacio de valores:

${\displaystyle \lambda _{1}v_{1}(y_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}\sim <\lambda _{1}v_{1}(x_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}:\lambda _{1}v_{1}(z_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}>}$

• Esto implica que, sumando cualquier cantidad a ambos lados de una lotería (a través del término ), aumenta la certeza equivalente de la lotería en la misma cantidad. ${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}}$
• Este último hecho implica una constante aversión al riesgo.

Ver también

• Subasta multiatributo
• Optimización multiobjetivo
• Votación de múltiples temas
• Software para la toma de decisiones

Referencias

1. Keeney, Ralph L.; Raiffa, Howard (1993). Decisiones con múltiples objetivos . ISBN 0-521-44185-4.
2. Esta idea se atribuye a Richard F. Meyer y John W. Pratt .