Ecuación de Schwinger-Dyson

Ecuaciones para funciones de correlación en QFT

Freeman Dyson en 2005

Las ecuaciones de Schwinger-Dyson ( EDS ) o ecuaciones de Dyson-Schwinger , llamadas así por Julian Schwinger y Freeman Dyson , son relaciones generales entre funciones de correlación en teorías cuánticas de campos (QFT). También se las conoce como ecuaciones de Euler-Lagrange de las teorías cuánticas de campos, ya que son las ecuaciones de movimiento correspondientes a la función de Green. Forman un conjunto de infinitas ecuaciones diferenciales funcionales, todas acopladas entre sí, a las que a veces se denomina la torre infinita de EDS.

En su artículo "La matriz S en la electrodinámica cuántica", ^[1] Dyson derivó relaciones entre diferentes elementos de la matriz S , o más específicamente "funciones de Green de una partícula", en electrodinámica cuántica , sumando infinitos diagramas de Feynman , trabajando así en un enfoque perturbativo. A partir de su principio variacional , Schwinger derivó un conjunto de ecuaciones para las funciones de Green de forma no perturbativa, ^[2] que generalizan las ecuaciones de Dyson a las ecuaciones de Schwinger-Dyson para las funciones de Green de las teorías cuánticas de campos . Hoy en día proporcionan un enfoque no perturbativo a las teorías cuánticas de campos y se pueden encontrar aplicaciones en muchos campos de la física teórica, como la física del estado sólido y la física de partículas elementales .

Schwinger también derivó una ecuación para las funciones de Green irreducibles de dos partículas, ^[2] que hoy en día se conoce como la ecuación no homogénea de Bethe-Salpeter .

Derivación

Dado un funcional acotado polinomialmente sobre las configuraciones de campo, entonces, para cualquier vector de estado (que es una solución de la QFT), , tenemos ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle \left\langle \psi \left|{\mathcal {T}}\left\{{\frac {\delta }{\delta \varphi }}F[\varphi ]\right\}\right|\psi \right\rangle =-i\left\langle \psi \left|{\mathcal {T}}\left\{F[\varphi ]{\frac {\delta }{\delta \varphi }}S[\varphi ]\right\}\right|\psi \right\rangle }$

donde es la acción funcional y es la operación de ordenación del tiempo . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

De manera equivalente, en la formulación del estado de densidad , para cualquier estado de densidad (válido) , tenemos ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho \left({\mathcal {T}}\left\{{\frac {\delta }{\delta \varphi }}F[\varphi ]\right\}\right)=-i\rho \left({\mathcal {T}}\left\{F[\varphi ]{\frac {\delta }{\delta \varphi }}S[\varphi ]\right\}\right).}$

Este conjunto infinito de ecuaciones se puede utilizar para resolver las funciones de correlación de forma no perturbativa .

Para hacer más clara la conexión con las técnicas diagramáticas (como los diagramas de Feynman ), a menudo es conveniente dividir la acción en ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{2}}\varphi ^{i}D_{ij}^{-1}\varphi ^{j}+S_{\text{int}}[\varphi ],}$

donde el primer término es la parte cuadrática y es un tensor covariante simétrico invertible (antisimétrico para fermiones) de rango dos en la notación de DeWitt , cuyo inverso se denomina propagador desnudo y es la "acción de interacción". Entonces, podemos reescribir las ecuaciones de SD como ${\displaystyle D^{-1}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S_{\text{int}}[\varphi ]}$

${\displaystyle \langle \psi |{\mathcal {T}}\{F\varphi ^{j}\}|\psi \rangle =\langle \psi |{\mathcal {T}}\{iF_{,i}D^{ij}-FS_{{\text{int}},i}D^{ij}\}|\psi \rangle .}$

Si es una función de , entonces para un operador , se define como el operador que sustituye a . Por ejemplo, si ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F[K]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle F[\varphi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\varphi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\varphi (x_{n})}$

y es una funcional de , entonces ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle F\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J].}$

Si tenemos una función " analítica " (una función que está dada localmente por una serie de potencias convergentes) (llamada funcional generadora ) de (llamado campo fuente ) que satisface ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle {\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[0]=i^{n}Z[0]\langle \varphi (x_{1})\cdots \varphi (x_{n})\rangle ,}$

entonces, a partir de las propiedades de las integrales funcionales

${\displaystyle {\left\langle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}\left[\varphi \right]+J(x)\right\rangle }_{J}=0,}$

La ecuación de Schwinger-Dyson para la funcional generadora es

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \varphi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0.}$

Si desarrollamos esta ecuación como una serie de Taylor alrededor de , obtenemos el conjunto completo de ecuaciones de Schwinger-Dyson. ${\displaystyle J=0}$

Un ejemplo:φ4

Para dar un ejemplo, supongamos que

${\displaystyle S[\varphi ]=\int d^{d}x\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi (x)\partial _{\mu }\varphi (x)-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi (x)^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi (x)^{4}\right)}$

para un campo real  φ .

Entonces,

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \varphi (x)}}=-\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\varphi (x)-m^{2}\varphi (x)-{\frac {\lambda }{3!}}\varphi ^{3}(x).}$

La ecuación de Schwinger-Dyson para este ejemplo particular es:

${\displaystyle i\partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\frac {\delta }{\delta J(x)}}Z[J]+im^{2}{\frac {\delta }{\delta J(x)}}Z[J]-{\frac {i\lambda }{3!}}{\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x)^{3}}}Z[J]+J(x)Z[J]=0}$

Tenga en cuenta que desde entonces

${\displaystyle {\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x)^{3}}}}$

no está bien definido porque

${\displaystyle {\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x_{1})\delta J(x_{2})\delta J(x_{3})}}Z[J]}$

es una distribución en

x ₁ , x ₂ y x ₃ ,

Esta ecuación necesita ser regularizada .

En este ejemplo, el propagador desnudo D es la función de Green y, por lo tanto, el conjunto de ecuaciones de Schwinger-Dyson queda como ${\displaystyle -\partial ^{\mu }\partial _{\mu }-m^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{0})\varphi (x_{1})\}\mid \psi \rangle \\[4pt]={}&iD(x_{0},x_{1})+{\frac {\lambda }{3!}}\int d^{d}x_{2}\,D(x_{0},x_{2})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{2})\varphi (x_{2})\}\mid \psi \rangle \end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{0})\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle \\[6pt]={}&iD(x_{0},x_{1})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle +iD(x_{0},x_{2})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle \\[4pt]&{}+iD(x_{0},x_{3})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\}\mid \psi \rangle \\[4pt]&{}+{\frac {\lambda }{3!}}\int d^{d}x_{4}\,D(x_{0},x_{4})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\varphi (x_{4})\varphi (x_{4})\varphi (x_{4})\}\mid \psi \rangle \end{aligned}}}$

etc.

(A menos que haya una ruptura espontánea de simetría , las funciones de correlación impares desaparecen).

Véase también

• Grupo de renormalización funcional
• Ecuación de Dyson
• Formulación de la integral de trayectoria
• Campo fuente

Referencias

1. F. Dyson (1949). "La matriz S en la electrodinámica cuántica". Phys. Rev. 75 ( 11): 1736. Bibcode :1949PhRv...75.1736D. doi :10.1103/PhysRev.75.1736.
2. J. Schwinger (1951). "Sobre las funciones de Green de los campos cuantizados I + II". PNAS . 37 (7): 452–459. Bibcode :1951PNAS...37..452S. doi : 10.1073/pnas.37.7.452 . PMC 1063400 . PMID  16578383. 

Lectura adicional

No hay muchos libros que traten las ecuaciones de Schwinger-Dyson. A continuación se ofrecen tres referencias estándar:

• Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber (1980). Teoría cuántica de campos . McGraw-Hill . ISBN. 9780070320710.
• RJ Rivers (1990). Métodos de integral de trayectorias en teorías cuánticas de campos . Cambridge University Press.
• VP Nair (2005). Teoría cuántica de campos: una perspectiva moderna . Springer.

Existen algunos artículos de revisión sobre aplicaciones de las ecuaciones de Schwinger-Dyson con aplicaciones en campos especiales de la física. Para aplicaciones en cromodinámica cuántica existen

• R. Alkofer y L. v.Smekal (2001). "Sobre el comportamiento infrarrojo de las funciones de Green en QCD". Phys. Rep . 353 (5–6): 281. arXiv : hep-ph/0007355 . Bibcode :2001PhR...353..281A. doi :10.1016/S0370-1573(01)00010-2. S2CID  119411676.
• CD Roberts y AG Williams (1994). "Ecuaciones de Dyson-Schwinger y sus aplicaciones a la física de hadrones". Prog. Part. Nucl. Phys . 33 : 477–575. arXiv : hep-ph/9403224 . Bibcode :1994PrPNP..33..477R. doi :10.1016/0146-6410(94)90049-3. S2CID  : 119360538.