Ejemplos coloreados por el número de lados de cada cara. Triángulos amarillos , cuadrados rojos y pentágonos verdes .Un teseracto proyectado en el espacio tridimensional como un diagrama de Schlegel. Hay ocho celdas cúbicas visibles: la celda exterior en la que se proyectan las demás, una debajo de cada una de las seis caras exteriores y una en el centro.
En geometría , un diagrama de Schlegel es una proyección de un politopo desde un punto justo fuera de una de sus facetas . La entidad resultante es una subdivisión politópica de la faceta que, junto con la faceta original, es combinatoriamente equivalente al politopo original. El diagrama lleva el nombre de Victor Schlegel , quien en 1886 introdujo esta herramienta para estudiar las propiedades combinatorias y topológicas de los politopos. En dimensión 3, un diagrama de Schlegel es una proyección de un poliedro en una figura plana ; en dimensión 4, es una proyección de un 4 politopo al 3 espacio . Como tal, los diagramas de Schlegel se utilizan comúnmente como medio para visualizar politopos de cuatro dimensiones .
Construcción
El diagrama de Schlegel más elemental, el de un poliedro, fue descrito por Duncan Sommerville de la siguiente manera: [1]
Un método muy útil para representar un poliedro convexo es mediante proyección plana. Si se proyecta desde cualquier punto externo, como cada rayo lo corta dos veces, quedará representado por un área poligonal dividida dos veces en polígonos. Siempre es posible, mediante una elección adecuada del centro de proyección, hacer que la proyección de una cara contenga completamente las proyecciones de todas las demás caras. Esto se llama diagrama de Schlegel del poliedro. El diagrama de Schlegel representa completamente la morfología del poliedro. A veces es conveniente proyectar el poliedro desde un vértice; este vértice está proyectado al infinito y no aparece en el diagrama, las aristas que lo atraviesan están representadas por líneas dibujadas hacia afuera.
Sommerville también considera el caso de un simplex en cuatro dimensiones: [2] "El diagrama de Schlegel del simplex en S 4 es un tetraedro dividido en cuatro tetraedros". De manera más general, un politopo en n dimensiones tiene un diagrama de Schlegel construido mediante una proyección en perspectiva vista desde un punto fuera del politopo, sobre el centro de una faceta. Todos los vértices y aristas del politopo se proyectan sobre un hiperplano de esa faceta. Si el politopo es convexo, existirá un punto cerca de la faceta que mapea la faceta exterior y todas las demás facetas interiores, por lo que no es necesario que los bordes se crucen en la proyección.
Ejemplos
Ver también
Red (poliedro) : un enfoque diferente para la visualización al reducir la dimensión de un politopo es construir una red, desconectar facetas y desplegarla hasta que las facetas puedan existir en un único hiperplano. Esto mantiene la escala y la forma geométricas, pero hace que las conexiones topológicas sean más difíciles de ver.
Victor Schlegel (1883) Theorie der homogene zusammengesetzten Raumgebilde , Nova Acta, Ksl. Leop.-Carol. Deutsche Akademie der Naturforscher, Banda XLIV, nr. 4, Druck von E. Blochmann & Sohn en Dresde. [1]
Victor Schlegel (1886) Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper , Waren.
