El teorema de punto fijo de Schauder es una extensión del teorema de punto fijo de Brouwer a los espacios vectoriales topológicos , que pueden ser de dimensión infinita. Afirma que si es un subconjunto cerrado convexo no vacío de un espacio vectorial topológico de Hausdorff y es una aplicación continua de en sí mismo tal que está contenido en un subconjunto compacto de , entonces tiene un punto fijo .
Una consecuencia, llamada teorema del punto fijo de Schaefer , es particularmente útil para demostrar la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales parciales no lineales . El teorema de Schaefer es, de hecho, un caso especial del teorema de Leray-Schauder de gran alcance, que fue demostrado anteriormente por Juliusz Schauder y Jean Leray . El enunciado es el siguiente:
Sea una aplicación continua y compacta de un espacio de Banach en sí mismo, tal que el conjunto
está acotado. Entonces tiene un punto fijo. (Una aplicación compacta en este contexto es aquella para la cual la imagen de cada conjunto acotado es relativamente compacta ).
El teorema fue conjeturado y demostrado para casos especiales, como los espacios de Banach, por Juliusz Schauder en 1930. Su conjetura para el caso general fue publicada en el libro escocés . En 1934, Tychonoff demostró el teorema para el caso en el que K es un subconjunto convexo compacto de un espacio localmente convexo . Esta versión se conoce como el teorema de punto fijo de Schauder-Tychonoff . BV Singbal demostró el teorema para el caso más general en el que K puede ser no compacto; la prueba se puede encontrar en el apéndice del libro de Bonsall (ver referencias).
