Símbolo de Kronecker

En teoría de números , el símbolo de Kronecker , escrito como o , es una generalización del símbolo de Jacobi a todos los números enteros . Fue introducido por Leopold Kronecker  (1885, página 770). ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)}$ ${\displaystyle (a|n)}$ ${\displaystyle n}$

Definición

Sea un entero distinto de cero, con factorización prima. ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=u\cdot p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}},}$

donde es una unidad (es decir, ), y son primos . Sea un entero. El símbolo de Kronecker se define por ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u=\pm 1}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right):=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.}$

Para impar , el número es simplemente el símbolo Legendre habitual . Esto deja el caso cuando . Definimos por ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \left({\frac {a}{p_{i}}}\right)}$ ${\displaystyle p_{i}=2}$ ${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right):={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a{\mbox{ is even,}}\\1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}}$

Como extiende el símbolo de Jacobi, la cantidad es simplemente cuando . Cuando , la definimos por ${\displaystyle \left({\frac {a}{u}}\right)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle u=1}$ ${\displaystyle u=-1}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{-1}}\right):={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}a<0,\\1&{\mbox{if }}a\geq 0.\end{cases}}}$

Por último, ponemos

${\displaystyle \left({\frac {a}{0}}\right):={\begin{cases}1&{\text{if }}a=\pm 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Estas extensiones son suficientes para definir el símbolo de Kronecker para todos los valores enteros . ${\displaystyle a,n}$

Algunos autores sólo definen el símbolo de Kronecker para valores más restringidos; por ejemplo, congruente con y . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0,1{\bmod {4}}}$ ${\displaystyle n>0}$

Tabla de valores

La siguiente es una tabla de valores del símbolo de Kronecker con 1 ≤ n , k ≤ 30. ${\displaystyle \left({\frac {k}{n}}\right)}$

Propiedades

El símbolo de Kronecker comparte muchas propiedades básicas del símbolo de Jacobi, bajo ciertas restricciones:

• ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\pm 1}$si , de lo contrario . ${\displaystyle \gcd(a,n)=1}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=0}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {ab}{n}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)\left({\tfrac {b}{n}}\right)}$a menos que uno de ellos sea cero y el otro sea negativo. ${\displaystyle n=-1}$ ${\displaystyle a,b}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{mn}}\right)=\left({\tfrac {a}{m}}\right)\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$a menos que uno de ellos sea cero y el otro tenga una parte impar (definición a continuación) congruente con . ${\displaystyle a=-1}$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle 3{\bmod {4}}}$
• Para , tenemos siempre que Si además tienen el mismo signo, lo mismo también es válido para . ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {b}{n}}\right)}$ ${\displaystyle a\equiv b{\bmod {\begin{cases}4n,&n\equiv 2{\pmod {4}},\\n&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle n<0}$
• Para , , tenemos siempre que ${\displaystyle a\not \equiv 3{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{m}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$ ${\displaystyle m\equiv n{\bmod {\begin{cases}4|a|,&a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}}$

Por otra parte, el símbolo de Kronecker no tiene la misma conexión con los residuos cuadráticos que el símbolo de Jacobi. En particular, el símbolo de Kronecker para puede tomar valores independientemente de si es un residuo cuadrático o no módulo . ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)}$ ${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$

Reciprocidad cuadrática

El símbolo de Kronecker también satisface las siguientes versiones de la ley de reciprocidad cuadrática .

Para cualquier entero distinto de cero , denotemos su parte impar : donde es impar (para , ponemos ). Entonces, la siguiente versión simétrica de reciprocidad cuadrática se cumple para cada par de enteros tales que : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n'}$ ${\displaystyle n=2^{e}n'}$ ${\displaystyle n'}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle 0'=1}$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle \gcd(m,n)=1}$

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=\pm (-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}},}$

donde el signo es igual a si o y es igual a si y . ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle m\geq 0}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle m<0}$ ${\displaystyle n<0}$

También existe una versión no simétrica equivalente de reciprocidad cuadrática que se cumple para cada par de números enteros relativamente primos : ${\displaystyle m,n}$

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{|m|}}\right)=(-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}}.}$

Para cualquier entero sea . Entonces tenemos otra versión no simétrica equivalente que establece ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{*}=(-1)^{(n'-1)/2}n}$

${\displaystyle \left({\frac {m^{*}}{n}}\right)=\left({\frac {n}{|m|}}\right)}$

para cada par de números enteros (no necesariamente primos relativos). ${\displaystyle m,n}$

Las leyes suplementarias también se pueden generalizar al símbolo de Kronecker. Estas leyes se desprenden fácilmente de cada versión de la ley de reciprocidad cuadrática mencionada anteriormente (a diferencia de lo que ocurre con los símbolos de Legendre y Jacobi, donde se necesitan tanto la ley principal como las leyes suplementarias para describir por completo la reciprocidad cuadrática).

Para cualquier entero tenemos ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n'-1}{2}}}$

y para cualquier entero impar es ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}.}$

Conexión con los personajes de Dirichlet

Si y , el mapa es un carácter de Dirichlet real de módulo. A la inversa, cada carácter de Dirichlet real se puede escribir en esta forma con (ya que es ). ${\displaystyle a\not \equiv 3{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \chi (n)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$ ${\displaystyle {\begin{cases}4|a|,&a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$ ${\displaystyle a\equiv 0,1{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle a\equiv 2{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {4a}{n}}\right)}$

En particular, los caracteres Dirichlet reales primitivos están en una correspondencia 1–1 con los cuerpos cuadráticos , donde es un entero libre de cuadrados distinto de cero (podemos incluir el caso para representar el carácter principal, aunque no sea un cuerpo cuadrático). El carácter se puede recuperar del cuerpo como el símbolo de Artin : es decir, para un primo positivo , el valor de depende del comportamiento del ideal en el anillo de números enteros : ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {m}})}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {1}})=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \left({\tfrac {F/\mathbb {Q} }{\cdot }}\right)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \chi (p)}$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle O_{F}}$

${\displaystyle \chi (p)={\begin{cases}0,&(p){\text{ is ramified,}}\\1,&(p){\text{ splits,}}\\-1,&(p){\text{ is inert.}}\end{cases}}}$

Entonces es igual al símbolo de Kronecker , donde ${\displaystyle \chi (n)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {D}{n}}\right)}$

${\displaystyle D={\begin{cases}m,&m\equiv 1{\pmod {4}},\\4m,&m\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

es el discriminante de . El conductor de es . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle |D|}$

De manera similar, si , el mapa es un carácter de Dirichlet real de módulo Sin embargo, no todos los caracteres reales pueden representarse de esta manera, por ejemplo, el carácter no puede escribirse como para ningún . Por la ley de reciprocidad cuadrática, tenemos . Un carácter puede representarse como si y solo si su parte impar , en cuyo caso podemos tomar . ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \chi (a)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$ ${\displaystyle {\begin{cases}4n,&n\equiv 2{\pmod {4}},\\n,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {-4}{\cdot }}\right)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)=\left({\tfrac {n^{*}}{\cdot }}\right)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{\cdot }}\right)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)}$ ${\displaystyle a'\equiv 1{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle n=|a|}$

Véase también

• Símbolo de Hilbert

Referencias

• Kronecker, L. (1885), "Zur Theorie der elliptischen Funktionen", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 761–784
• Montgomery, Hugh L ; Vaughan, Robert C. (2007). Teoría de números multiplicativos. I. Teoría clásica . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 97. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-84903-6.Zbl 1142.11001  .

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