Transformación S

La transformada S como distribución de tiempo-frecuencia fue desarrollada en 1994 para analizar datos geofísicos. ^{[1] [2]} De esta manera, la transformada S es una generalización de la transformada de Fourier de tiempo corto (STFT), que extiende la transformada wavelet continua y supera algunas de sus desventajas. Por un lado, las sinusoides de modulación son fijas con respecto al eje del tiempo; esto localiza las dilataciones y traslaciones de la ventana gaussiana escalable en la transformada S. Además, la transformada S no tiene un problema de términos cruzados y produce una mejor claridad de señal que la transformada de Gabor . Sin embargo, la transformada S tiene sus propias desventajas: la claridad es peor que la función de distribución de Wigner y la función de distribución de clase de Cohen . ^{[ cita requerida ]}

En 2010 se inventó un algoritmo de transformación S rápido . ^{[3] [4]} Reduce la complejidad computacional de O[N ² ·log(N)] a O[N·log(N)] y hace que la transformación sea uno a uno, donde la transformación tiene el mismo número de puntos que la señal o imagen de origen, en comparación con la complejidad de almacenamiento de N ² para la formulación original. ^{[4] [5]} Una implementación está disponible para la comunidad de investigación bajo una licencia de código abierto . ^[6]

Una formulación general de la transformada S ^[4] deja clara la relación con otras transformadas de frecuencia de tiempo como la transformada de Fourier, la transformada de Fourier de tiempo corto y la transformada wavelet. ^[4]

Definición

Hay varias formas de representar la idea de la transformada S. Aquí, la transformada S se deriva como la corrección de fase de la transformada wavelet continua, siendo la ventana la función gaussiana .

• Transformada S

${\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )|f|e^{-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}}e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }$

• Transformada S inversa

${\displaystyle x(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }S_{x}(t,f)\,dt\right]\,e^{j2\pi f\tau }\,df}$

Forma modificada

• Forma del espectro

La definición anterior implica que la función de transformada s se puede expresar como la convolución de y . Al aplicar la transformada de Fourier a ambos y se obtiene ${\displaystyle (x(\tau )e^{-j2\pi f\tau })}$ ${\displaystyle (|f|e^{-\pi t^{2}f^{2}})}$
${\displaystyle (x(\tau )e^{-j2\pi f\tau })}$ ${\displaystyle (|f|e^{-\pi t^{2}f^{2}})}$

${\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }X(f+\alpha )\,e^{-\pi \alpha ^{2}/f^{2}}\,e^{j2\pi \alpha t}\,d\alpha }$.

• Transformada S de tiempo discreto

A partir de la forma espectral de la transformada S, podemos derivar la transformada S de tiempo discreto.
Sea , donde es el intervalo de muestreo y es la frecuencia de muestreo. La transformada S de tiempo discreto puede expresarse entonces como: ${\displaystyle t=n\Delta _{T}\,\,f=m\Delta _{F}\,\,\alpha =p\Delta _{F}}$ ${\displaystyle \Delta _{T}}$ ${\displaystyle \Delta _{F}}$

${\displaystyle S_{x}(n\Delta _{T}\,,m\Delta _{F})=\sum _{p=0}^{N-1}X[(p+m)\,\Delta _{F}]\,e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}\,e^{\frac {j2pn}{N}}}$

Implementación de la transformada S de tiempo discreto

A continuación se muestra el código pseudo de la implementación.

 Paso 1. Calcular ${\displaystyle X[p\Delta _{F}]\,}$ 
 bucle sobre m (voces) Paso 2. Calcule para el paso 3. Pase al paso 4. Multiplique el paso 2 y el paso 3. Paso 5. IDFT( ). ${\displaystyle e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}$ ${\displaystyle f=m\Delta _{F}}$
 ${\displaystyle X[p\Delta _{F}]}$ ${\displaystyle X[(p+m)\Delta _{F}]}$
 ${\displaystyle B[m,p]=X[(p+m)\Delta _{F}]\cdot e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}$
 ${\displaystyle B[m,p]}$ Repetir.}

Comparación con otras herramientas de análisis de tiempo y frecuencia

Comparación con la transformada de Gabor

La única diferencia entre la transformada de Gabor (GT) y la transformada S es el tamaño de la ventana. Para GT, el tamaño de la ventana es una función gaussiana , mientras que la función de ventana para la transformada S es una función de f. Con una función de ventana proporcional a la frecuencia, la transformada S funciona bien en el análisis del dominio de la frecuencia cuando la frecuencia de entrada es baja. Cuando la frecuencia de entrada es alta, la transformada S tiene una mejor claridad en el dominio del tiempo. Como se muestra en la tabla siguiente. ${\displaystyle (e^{-\pi (t-\tau )^{2}})}$

Este tipo de propiedad hace que S-Transform sea una herramienta poderosa para analizar el sonido porque el ser humano es sensible a las partes de baja frecuencia de una señal de sonido.

Comparación con la transformada de Wigner

El principal problema de la Transformada de Wigner es el término cruzado, que se origina en la función de autocorrelación de la Transformada de Wigner. Este término cruzado puede causar ruido y distorsiones en los análisis de señales. Los análisis de la Transformada S evitan este problema.

Comparación con la transformada de Fourier de tiempo corto

Podemos comparar la transformada S y la transformada de Fourier de tiempo corto (STFT). ^{[2] [7]} Primero, una señal de alta frecuencia, una señal de baja frecuencia y una señal de ráfaga de alta frecuencia se utilizan en el experimento para comparar el rendimiento. La característica de la transformada S de resolución dependiente de la frecuencia permite la detección de la ráfaga de alta frecuencia. Por otro lado, como la STFT consta de un ancho de ventana constante, conduce a que el resultado tenga una definición más pobre. En el segundo experimento, se agregan dos ráfagas de alta frecuencia más a los chirridos cruzados. En el resultado, las cuatro frecuencias fueron detectadas por la transformada S. Por otro lado, las dos ráfagas de alta frecuencia no son detectadas por la STFT. El término cruzado de ráfagas de alta frecuencia hizo que la STFT tuviera una sola frecuencia a una frecuencia más baja.

Aplicaciones

• Filtrados de señales ^[8]
• Imágenes por resonancia magnética (IRM) ^[9]
• Reconocimiento de perturbaciones del sistema eléctrico
  • Se ha demostrado que la transformada S puede identificar algunos tipos de perturbaciones, como caídas de tensión, subidas de tensión, interrupciones momentáneas y transitorios oscilatorios. ^[10]
  • La transformada S también se puede aplicar para otros tipos de perturbaciones como muescas, armónicos con caídas y subidas, etc.
  • La transformada S genera contornos que son adecuados para una inspección visual simple. Sin embargo, la transformada wavelet requiere herramientas específicas como el análisis multirresolución estándar .
• Análisis de señales geofísicas
  • Sismología de reflexión
  • Sismología global

Véase también

• Transformada de Laplace
• Transformada wavelet
• Transformada de Fourier de corta duración

Referencias

1. Stockwell, RG; Mansinha, L; Lowe, RP (1996). "Localización del espectro complejo: la transformada S". IEEE Transactions on Signal Processing . 44 (4): 998–1001. Bibcode :1996ITSP...44..998S. CiteSeerX  10.1.1.462.1500 . doi :10.1109/78.492555. S2CID  30202517.
2. Stockwell, RG (1999). Análisis de la actividad de las ondas gravitacionales mediante transformada S a partir de una red a pequeña escala de captadores de imágenes de resplandor atmosférico. Tesis doctoral, Universidad de Western Ontario, London, Ontario, Canadá.
3. Brown, RA; Frayne, R (2008). "Una transformada S discreta rápida para el procesamiento de señales biomédicas". 2008 30.ª Conferencia internacional anual de la IEEE Engineering in Medicine and Biology Society . Vol. 2008. págs. 2586–9. doi :10.1109/IEMBS.2008.4649729. ISBN 978-1-4244-1814-5. Número de identificación personal  19163232. Número de identificación personal  29974786.
4. Brown, Robert A.; Lauzon, M. Louis; Frayne, Richard (enero de 2010). "Una descripción general de las transformadas lineales de tiempo-frecuencia y formulación de una transformada rápida e invertible que muestrea el espectro continuo de la transformada S de manera no redundante". IEEE Transactions on Signal Processing . 58 (1): 281–290. Bibcode :2010ITSP...58..281B. doi :10.1109/tsp.2009.2028972. ISSN  1053-587X. S2CID  16074001.
5. Kelly Sansom, "Transformación rápida S", Universidad de Calgary, https://www.ucalgary.ca/news/utoday/may31-2011/computing
6. "Descarga rápida de S-Transform | SourceForge.net". 13 de agosto de 2018.
7. E. Sejdić, I. Djurović, J. Jiang, "Representación de características de tiempo-frecuencia utilizando concentración de energía: una descripción general de los avances recientes", Procesamiento de señales digitales , vol. 19, n.º 1, págs. 153-183, enero de 2009.
8. Ditommaso, Rocco; Mucciarelli, Marco; Ponzo, Felice Carlo (2012). "Análisis de sistemas estructurales no estacionarios mediante el uso de un filtro de banda variable" (PDF) . Boletín de Ingeniería Sísmica . 10 (3): 895–911. Bibcode :2012BuEE...10..895D. doi :10.1007/s10518-012-9338-y.Véase también el archivo MATLAB
9. Hongmei Zhu y J. Ross Mitchell, "La transformada S en imágenes médicas", Centro de investigación de resonancia magnética de la familia Seaman de la Universidad de Calgary, Foothills Medical Centre, Canadá.
10. Ray, Prakash K.; Mohanty, Soumya R.; Kishor, Nand; Dubey, Harish C. (2010). "Determinación de la coherencia en un sistema híbrido basado en generación distribuida conectada a la red en escenarios de funcionamiento en isla". Conferencia internacional IEEE sobre potencia y energía de 2010. págs. 85–88. doi :10.1109/PECON.2010.5697562. ISBN . 978-1-4244-8947-3.

• Rocco Ditommaso, Felice Carlo Ponzo, Gianluca Auletta (2015). Detección de daños en estructuras arqueadas: evaluación de la curvatura modal mediante la transformada de Stockwell bajo excitación sísmica. Ingeniería sísmica e ingeniería de vibraciones. Junio ​​de 2015, volumen 14, número 2, págs. 265-274.
• Rocco Ditommaso, Marco Mucciarelli, Felice C. Ponzo (2010). Filtro basado en la transformada S aplicado al análisis del comportamiento dinámico no lineal de suelos y edificios. 14.ª Conferencia Europea sobre Ingeniería Sísmica. Volumen de actas. Ohrid, República de Macedonia. 30 de agosto – 3 de septiembre de 2010. (Descargable desde http://roccoditommaso.xoom.it)
• M. Mucciarelli, M. Bianca, R. Ditommaso, MR Gallipoli, A. Masi, C Milkereit, S. Parolai, M. Picozzi, M. Vona (2011). DAÑOS EN CAMPO LEJANO EN EDIFICIOS RC: EL ESTUDIO DE CASO DE NAVELLI DURANTE LA SECUENCIA SÍSMICA DE L'AQUILA (ITALIA), 2009. Boletín de Ingeniería Sísmica . doi :10.1007/s10518-010-9201-y.
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