En geometría , el rombicosidodecaedro es un sólido arquimediano , uno de los trece sólidos no prismáticos isogonales convexos construidos con dos o más tipos de caras de polígonos regulares .
Tiene 20 caras triangulares regulares , 30 caras cuadradas , 12 caras pentagonales regulares , 60 vértices y 120 aristas .
Johannes Kepler en Harmonices Mundi (1618) nombró a este poliedro rombicosidodecaedro , abreviatura de rombo icosidodecaédrico truncado , siendo rombo icosidodecaédrico su nombre para un triacontaedro rómbico . [1] [2] Existen diferentes truncamientos de un triacontaedro rómbico en un rombicosidodecaedro topológico : De manera destacada su rectificación (izquierda), la que crea el sólido uniforme (centro), y la rectificación del icosidodecaedro dual (derecha), que es el núcleo del compuesto dual .
Para un rombicosidodecaedro con longitud de arista a , su área superficial y volumen son:
Si expandes un icosidodecaedro alejando las caras del origen la cantidad adecuada, sin cambiar la orientación ni el tamaño de las caras, y parcheas los agujeros cuadrados del resultado, obtienes un rombicosidodecaedro. Por lo tanto, tiene el mismo número de triángulos que un icosaedro y el mismo número de pentágonos que un dodecaedro , con un cuadrado por cada arista de cualquiera de ellos.
Alternativamente, si expandes cada uno de los cinco cubos alejando las caras del origen la cantidad correcta y rotando cada uno de los cinco 72° para que sean equidistantes entre sí, sin cambiar la orientación o el tamaño de las caras, y parcheas los agujeros pentagonales y triangulares en el resultado, obtienes un rombicosidodecaedro. Por lo tanto, tiene el mismo número de cuadrados que cinco cubos.
Dos grupos de caras de la bilunabirotonda , las lunas (cada luna presenta dos triángulos adyacentes a los lados opuestos de un cuadrado), se pueden alinear con un parche congruente de caras en el rombicosidodecaedro. Si dos bilunabirotondas se alinean de esta manera en lados opuestos del rombicosidodecaedro, entonces se puede colocar un cubo entre las bilunabirotondas en el centro mismo del rombicosidodecaedro.
El rombicosidodecaedro comparte la disposición de los vértices con el pequeño dodecaedro truncado estrellado y con los compuestos uniformes de seis o doce prismas pentagrámicos .
Los kits Zometool para hacer domos geodésicos y otros poliedros utilizan bolas ranuradas como conectores. Las bolas son rombicosidodecaedros "expandidos", en los que los cuadrados se sustituyen por rectángulos. La expansión se elige de forma que los rectángulos resultantes sean rectángulos áureos .
Doce de los 92 sólidos de Johnson se derivan del rombicosidodecaedro, cuatro de ellos por rotación de una o más cúpulas pentagonales : el rombicosidodecaedro girado , el parabigirado , el metabigirado y el trigirado . Se pueden construir ocho más eliminando hasta tres cúpulas, a veces también rotando una o más de las otras cúpulas.
Las coordenadas cartesianas de los vértices de un rombicosidodecaedro con una longitud de arista de 2 centrada en el origen son todas permutaciones pares de: [3]
donde φ = 1 + √ 5/2 es la proporción áurea . Por lo tanto, el radio circunscrito de este rombicosidodecaedro es la distancia común de estos puntos desde el origen, es decir, √ φ 6 +2 = √ 8φ+7 para una longitud de arista de 2. Para una longitud de arista unitaria, R debe reducirse a la mitad, lo que da
El rombicosidodecaedro tiene seis proyecciones ortogonales especiales , centradas en un vértice, sobre dos tipos de aristas y tres tipos de caras: triángulos, cuadrados y pentágonos. Las dos últimas corresponden a los planos de Coxeter A 2 y H 2 .
El rombicosidodecaedro también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse sobre el plano mediante una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme y conserva los ángulos, pero no las áreas ni las longitudes. Las líneas rectas sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.
Este poliedro está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros cantelados con figura de vértice (3.4.n.4), que continúa como teselación del plano hiperbólico . Estas figuras transitivas de vértice tienen simetría reflexiva (*n32) .
Hay 12 sólidos de Johnson relacionados , 5 por disminución y 8 incluyendo giros:
El rombicosidodecaedro comparte su disposición de vértices con tres poliedros uniformes no convexos : el pequeño dodecaedro truncado estrellado , el pequeño dodecicosidodecaedro (que tiene las caras triangulares y pentagonales en común) y el pequeño rombidodecaedro (que tiene las caras cuadradas en común).
También comparte su disposición de vértices con los compuestos uniformes de seis o doce prismas pentagrámicos .
En el campo matemático de la teoría de grafos , un grafo rombicosidodecaédrico es el grafo de vértices y aristas del rombicosidodecaedro, uno de los sólidos arquimedianos . Tiene 60 vértices y 120 aristas, y es un grafo cuártico grafo arquimediano . [5]
Unus igitur Trigonicus cum duobus Tetragonicis & uno Pentagonico, minus efficiunt 4 rectis, & congruunt 20 Trigonicum 30 Tetragonis & 12 Pentagonis, in unum Hexacontadyhedron, quod appello Rhombicoſidodecaëdron, ſeu ſectum Rhombum ſidododecaëdricum.
