Atractor de Rössler

Atractor para sistema caótico de Rössler

El atractor de Rössler

Atractor de Rössler como estereograma con , , ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=14}$

El atractor de Rössler ( / ˈrɒslər / ) es el atractor del sistema de Rössler , un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales estudiado originalmente por Otto Rössler en la década de 1970. ^{[1] [2]} Estas ecuaciones diferenciales definen un sistema dinámico de tiempo continuo que exhibe dinámica caótica asociada con las propiedades fractales del atractor. ^[3] Rössler lo interpretó como una formalización de una máquina para hacer caramelos masticables . ^[4]

Algunas propiedades del sistema de Rössler se pueden deducir a través de métodos lineales como los vectores propios , pero las características principales del sistema requieren métodos no lineales como los mapas de Poincaré y los diagramas de bifurcación . El artículo original de Rössler afirma que el atractor de Rössler estaba destinado a comportarse de manera similar al atractor de Lorenz , pero también ser más fácil de analizar cualitativamente. ^[1] Una órbita dentro del atractor sigue una espiral hacia afuera cerca del plano alrededor de un punto fijo inestable. Una vez que el gráfico se extiende lo suficiente, un segundo punto fijo influye en el gráfico, lo que provoca un ascenso y un giro en la dimensión . En el dominio del tiempo, se hace evidente que, aunque cada variable oscila dentro de un rango fijo de valores, las oscilaciones son caóticas. Este atractor tiene algunas similitudes con el atractor de Lorenz, pero es más simple y solo tiene una variedad . Otto Rössler diseñó el atractor de Rössler en 1976, ^[1] pero las ecuaciones originalmente teóricas luego resultaron ser útiles para modelar el equilibrio en reacciones químicas. ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle z}$

Definición

Las ecuaciones definitorias del sistema de Rössler son: ^[3]

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=-y-z\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz}{dt}}=b+z(x-c)\end{cases}}}$

Rössler estudió el atractor caótico con , , y , aunque las propiedades de , , y se han utilizado más comúnmente desde entonces. Se investigó otra línea del espacio de parámetros utilizando el análisis topológico. Corresponde a , , y se eligió como parámetro de bifurcación. ^[5] Letellier y Messager investigaron cómo descubrió Rössler este conjunto de ecuaciones. ^[6] ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$ ${\displaystyle a=0.1}$ ${\displaystyle b=0.1}$ ${\displaystyle c=14}$ ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle c=4}$ ${\displaystyle a}$

Análisis de estabilidad

${\displaystyle x,y}$plano del atractor de Rössler con , , ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

Parte de la elegancia del atractor de Rössler se debe a que dos de sus ecuaciones son lineales; el ajuste , permite examinar el comportamiento en el plano ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{cases}}}$

La estabilidad en el plano se puede encontrar calculando los valores propios del jacobiano , que son . A partir de esto, podemos ver que cuando , los valores propios son complejos y ambos tienen un componente real positivo, lo que hace que el origen sea inestable con una espiral hacia afuera en el plano. Ahora considere el comportamiento del plano dentro del contexto de este rango para . Entonces, mientras sea menor que , el término mantendrá la órbita cerca del plano. A medida que la órbita se acerca a mayor que , los valores de comienzan a subir. Sin embargo, a medida que sube, en la ecuación para detiene el crecimiento en . ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle (a\pm {\sqrt {a^{2}-4}})/2}$ ${\displaystyle 0<a<2}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle -z}$ ${\displaystyle dx/dt}$ ${\displaystyle x}$

Puntos fijos

Para encontrar los puntos fijos, las tres ecuaciones de Rössler se ponen a cero y las coordenadas ( , , ) de cada punto fijo se determinan resolviendo las ecuaciones resultantes. Esto produce las ecuaciones generales de cada una de las coordenadas de los puntos fijos: ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}}\\y=-\left({\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)\\z={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\end{cases}}}$

Que a su vez se puede utilizar para mostrar los puntos fijos reales para un conjunto dado de valores de parámetros:

${\displaystyle \left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)}$

Como se muestra en los gráficos generales del atractor de Rössler anteriores, uno de estos puntos fijos reside en el centro del bucle del atractor y el otro se encuentra relativamente lejos del atractor.

Valores propios y vectores propios

La estabilidad de cada uno de estos puntos fijos se puede analizar determinando sus respectivos valores y vectores propios. Empezando por el jacobiano:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&-1\\1&a&0\\z&0&x-c\\\end{pmatrix}}}$

Los valores propios se pueden determinar resolviendo la siguiente ecuación cúbica:

${\displaystyle -\lambda ^{3}+\lambda ^{2}(a+x-c)+\lambda (ac-ax-1-z)+x-c+az=0\,}$

Para el punto fijo ubicado centralmente, los valores de los parámetros originales de Rössler de a=0,2, b=0,2 y c=5,7 producen valores propios de:

${\displaystyle \lambda _{1}=0.0971028+0.995786i\,}$

${\displaystyle \lambda _{2}=0.0971028-0.995786i\,}$

${\displaystyle \lambda _{3}=-5.68718\,}$

La magnitud de un valor propio negativo caracteriza el nivel de atracción a lo largo del vector propio correspondiente. De manera similar, la magnitud de un valor propio positivo caracteriza el nivel de repulsión a lo largo del vector propio correspondiente.

Los vectores propios correspondientes a estos valores propios son:

${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}0.7073\\-0.07278-0.7032i\\0.0042-0.0007i\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{2}={\begin{pmatrix}0.7073\\0.07278+0.7032i\\0.0042+0.0007i\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{3}={\begin{pmatrix}0.1682\\-0.0286\\0.9853\\\end{pmatrix}}}$

Examen de vectores propios de punto fijo central: La línea azul corresponde al atractor Rössler estándar generado con , , y . ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

Atractor de Rössler con , , ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

Estos vectores propios tienen varias implicaciones interesantes. En primer lugar, los dos pares de valores propios/vectores propios ( y ) son responsables del deslizamiento constante hacia afuera que se produce en el disco principal del atractor. El último par de valores propios/vectores propios atrae a lo largo de un eje que pasa por el centro de la variedad y explica el movimiento z que se produce dentro del atractor. Este efecto se demuestra de forma aproximada con la siguiente figura. ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$

La figura examina los vectores propios de punto fijo central. La línea azul corresponde al atractor Rössler estándar generado con , y . El punto rojo en el centro de este atractor es . La línea roja que interseca ese punto fijo es una ilustración del plano repulsivo generado por y . La línea verde es una ilustración del plano de atracción . La línea magenta se genera retrocediendo en el tiempo desde un punto en el vector propio de atracción que está ligeramente por encima ; ilustra el comportamiento de los puntos que se vuelven completamente dominados por ese vector. Nótese que la línea magenta casi toca el plano del atractor antes de ser jalada hacia arriba hacia el punto fijo; esto sugiere que la apariencia y el comportamiento generales del atractor Rössler son en gran medida un producto de la interacción entre el plano de atracción y el de repulsión . Específicamente, implica que una secuencia generada a partir de las ecuaciones de Rössler comenzará a girar alrededor de , comenzará a ser tirada hacia arriba dentro del vector, creando el brazo ascendente de una curva que se dobla ligeramente hacia adentro en dirección al vector antes de ser empujada hacia afuera nuevamente mientras es tirada hacia el plano repulsivo. ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$ ${\displaystyle FP_{1}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle v_{3}}$ ${\displaystyle FP_{1}}$ ${\displaystyle v_{3}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle FP_{1}}$ ${\displaystyle v_{3}}$

Para el punto fijo atípico, los valores de los parámetros originales de Rössler de , y producen valores propios de: ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

${\displaystyle \lambda _{1}=-0.0000046+5.4280259i}$

${\displaystyle \lambda _{2}=-0.0000046-5.4280259i}$

${\displaystyle \lambda _{3}=0.1929830}$

Los vectores propios correspondientes a estos valores propios son:

${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}0.0002422+0.1872055i\\0.0344403-0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{2}={\begin{pmatrix}0.0002422-0.1872055i\\0.0344403+0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{3}={\begin{pmatrix}0.0049651\\-0.7075770\\0.7066188\\\end{pmatrix}}}$

Aunque estos valores y vectores propios existen en el atractor de Rössler, su influencia se limita a las iteraciones del sistema de Rössler cuyas condiciones iniciales se encuentran en la vecindad general de este punto fijo atípico. Excepto en aquellos casos en los que las condiciones iniciales se encuentran en el plano de atracción generado por y , esta influencia implica efectivamente empujar el sistema resultante hacia el atractor general de Rössler. A medida que la secuencia resultante se acerca al punto fijo central y al propio atractor, la influencia de este punto fijo distante (y sus vectores propios) disminuirá. ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

Mapa de Poincaré

Mapa de Poincaré para el atractor de Rössler con , , ${\displaystyle a=0.1}$ ${\displaystyle b=0.1}$ ${\displaystyle c=14}$

El mapa de Poincaré se construye trazando el valor de la función cada vez que pasa por un plano determinado en una dirección específica. Un ejemplo sería trazar el valor cada vez que pasa por el plano donde cambia de negativo a positivo, algo que se hace comúnmente al estudiar el atractor de Lorenz. En el caso del atractor de Rössler, el plano no es interesante, ya que el mapa siempre cruza el plano en debido a la naturaleza de las ecuaciones de Rössler. En el plano para , , , el mapa de Poincaré muestra el aumento de los valores a medida que aumenta, como es de esperar debido a la sección de aumento y giro del gráfico de Rössler. El número de puntos en este gráfico de Poincaré específico es infinito, pero cuando se utiliza un valor diferente, el número de puntos puede variar. Por ejemplo, con un valor de 4, solo hay un punto en el mapa de Poincaré, porque la función produce una órbita periódica de período uno, o si el valor se establece en 12,8, habría seis puntos correspondientes a una órbita de período seis. ${\displaystyle y,z}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle x=0.1}$ ${\displaystyle a=0.1}$ ${\displaystyle b=0.1}$ ${\displaystyle c=14}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Mapa de Lorenz

El mapa de Lorenz es la relación entre máximos sucesivos de una coordenada en una trayectoria. Consideremos una trayectoria en el atractor, y sea el máximo n-ésimo de su coordenada x. Entonces - diagrama de dispersión es casi una curva, lo que significa que sabiendo que uno puede predecir casi exactamente . ^[8] ${\displaystyle x_{max}(n)}$ ${\displaystyle x_{max}(n)}$ ${\displaystyle x_{max}(n+1)}$ ${\displaystyle x_{max}(n)}$ ${\displaystyle x_{max}(n+1)}$

Mapa de Lorenz para el atractor de Rössler con a = 0,2, b = 0,2, c = 5.

Mapeo de máximos locales

${\displaystyle Z_{n}}$vs. ${\displaystyle Z_{n+1}}$

En el artículo original sobre el atractor de Lorenz, ^[9] Edward Lorenz analizó los máximos locales de contra los máximos locales inmediatamente anteriores. Cuando se visualizó, el gráfico se parecía al mapa de tienda , lo que implica que se puede usar un análisis similar entre el mapa y el atractor. Para el atractor de Rössler, cuando se grafica el máximo local contra el siguiente máximo local, , el gráfico resultante (mostrado aquí para , , ) es unimodal, parecido a un mapa de Hénon sesgado . Sabiendo que el atractor de Rössler se puede usar para crear un pseudo mapa 1-d, se deduce que se deben usar métodos de análisis similares. El diagrama de bifurcación es un método de análisis particularmente útil. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z_{n+1}}$ ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

Variación de parámetros

El comportamiento del atractor de Rössler es en gran medida un factor de los valores de sus parámetros constantes , y . En general, la variación de cada parámetro tiene un efecto comparable al hacer que el sistema converja hacia una órbita periódica, un punto fijo o escape hacia el infinito, sin embargo, los rangos específicos y los comportamientos inducidos varían sustancialmente para cada parámetro. Las órbitas periódicas, o "ciclos unitarios", del sistema de Rössler se definen por la cantidad de bucles alrededor del punto central que ocurren antes de que la serie de bucles comience a repetirse. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Los diagramas de bifurcación son una herramienta común para analizar el comportamiento de los sistemas dinámicos , de los cuales el atractor de Rössler es uno. Se crean ejecutando las ecuaciones del sistema, manteniendo constantes todas las variables menos una y variando la última. Luego, se traza un gráfico de los puntos que visita un valor particular de la variable modificada después de que se hayan neutralizado los factores transitorios. Las regiones caóticas se indican mediante regiones rellenas del gráfico.

Variando una

Aquí, se fija en 0,2, se fija en 5,7 y cambia. El examen numérico del comportamiento del atractor a lo largo del tiempo sugiere que tiene una influencia desproporcionada sobre el comportamiento del atractor. Los resultados del análisis son: ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

• ${\displaystyle a\leq 0}$:Converge hacia el punto fijo ubicado centralmente
• ${\displaystyle a=0.1}$:Ciclo unitario del periodo 1
• ${\displaystyle a=0.2}$:Valor del parámetro estándar seleccionado por Rössler, caótico
• ${\displaystyle a=0.3}$:Atractor caótico, significativamente más parecido a una cinta de Möbius (que se pliega sobre sí misma).
• ${\displaystyle a=0.35}$:Similar a .3, pero cada vez más caótico
• ${\displaystyle a=0.38}$:Similar al .35, pero cada vez más caótico.

Variando b

Diagrama de bifurcación del atractor de Rössler para variación ${\displaystyle b}$

Aquí, se fija en 0,2, se fija en 5,7 y cambia. Como se muestra en el diagrama adjunto, a medida que se acerca a 0, el atractor se acerca al infinito (obsérvese el aumento para valores muy pequeños de ). En comparación con los otros parámetros, la variación genera un rango mayor cuando se producirán órbitas de período 3 y período 6. A diferencia de y , los valores más altos de convergen al período 1, no a un estado caótico. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$

Variando c

Diagrama de bifurcación del atractor de Rössler para variación ${\displaystyle c}$

Aquí, y cambia. El diagrama de bifurcación revela que los valores bajos de son periódicos, pero rápidamente se vuelven caóticos a medida que aumenta. Este patrón se repite a medida que aumenta: hay secciones de periodicidad intercaladas con períodos de caos, y la tendencia es hacia órbitas de períodos más altos a medida que aumenta. Por ejemplo, la órbita de período uno solo aparece para valores de alrededor de 4 y nunca se encuentra nuevamente en el diagrama de bifurcación. El mismo fenómeno se observa con el período tres; hasta que se pueden encontrar órbitas de período tres, pero a partir de entonces, no aparecen. ${\displaystyle a=b=0.1}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c=12}$

Una ilustración gráfica del atractor cambiante en un rango de valores ilustra el comportamiento general observado para todos estos análisis de parámetros: las frecuentes transiciones entre periodicidad y aperiodicidad. ${\displaystyle c}$

Variando c

El conjunto de imágenes anterior ilustra las variaciones del sistema Rössler post-transitorio a medida que varía en un rango de valores. Estas imágenes se generaron con . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a=b=.1}$

• ${\displaystyle c=4}$, órbita de período 1.
• ${\displaystyle c=6}$, órbita de período 2.
• ${\displaystyle c=8.5}$, órbita de período 4.
• ${\displaystyle c=8.7}$, órbita de período 8.
• ${\displaystyle c=9}$, atractor caótico disperso.
• ${\displaystyle c=12}$, órbita de período 3.
• ${\displaystyle c=12.6}$, órbita de período 6.
• ${\displaystyle c=13}$, atractor caótico disperso.
• ${\displaystyle c=15.4}$, órbita de período 5.
• ${\displaystyle c=18}$, atractor caótico relleno.

Órbitas periódicas

El atractor está densamente lleno de órbitas periódicas : soluciones para las que existe un valor distinto de cero de tal que . Estas interesantes soluciones se pueden derivar numéricamente utilizando el método de Newton . Las órbitas periódicas son las raíces de la función , donde es la evolución en el tiempo y es la identidad. Como la mayoría de la dinámica ocurre en el plano xy, las órbitas periódicas se pueden clasificar por su número de vueltas alrededor del equilibrio central después de la proyección. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t+T)={\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle \Phi _{t}-Id}$ ${\displaystyle \Phi _{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle Id}$

Tabla de órbitas periódicas según el número de vueltas k

El tiempo no está a escala. Se utilizaron los parámetros originales (a,b,c) = (0,2,0,2,5,7).

A partir de la experimentación numérica, parece que existe una órbita periódica única para todos los números de bobinado positivos. Esta falta de degeneración probablemente se debe a la falta de simetría del problema. El atractor se puede diseccionar en variedades invariantes más fáciles de digerir : órbitas periódicas unidimensionales y variedades estables e inestables bidimensionales de órbitas periódicas. Estas variedades invariantes son un esqueleto natural del atractor, al igual que los números racionales lo son para los números reales .

Para los fines de la teoría de sistemas dinámicos , uno podría estar interesado en los invariantes topológicos de estas variedades. Las órbitas periódicas son copias de incrustadas en , por lo que sus propiedades topológicas se pueden entender con la teoría de nudos . Las órbitas periódicas con números de bobinado 1 y 2 forman un enlace de Hopf , lo que demuestra que ningún difeomorfismo puede separar estas órbitas. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Enlaces a otros temas

La formación de bandas que se observa en el atractor de Rössler es similar a un conjunto de Cantor rotado sobre su punto medio. Además, la semitorsión que se produce en el atractor de Rössler solo afecta a una parte del atractor. Rössler demostró que su atractor era, de hecho, la combinación de una "banda normal" y una banda de Möbius . ^[10]

Referencias

1. Rössler, OE (1976), "Una ecuación para el caos continuo", Physics Letters , 57A (5): 397–398, Bibcode :1976PhLA...57..397R, doi :10.1016/0375-9601(76)90101-8.
2. Rössler, OE (1979), "Una ecuación para el hipercaos", Physics Letters , 71A (2, 3): 155–157, Bibcode :1979PhLA...71..155R, doi :10.1016/0375-9601(79)90150-6.
3. Peitgen, Heinz-Otto ; Jürgens, Hartmut ; Saupe, Dietmar (2004), "12.3 El atractor de Rössler", Caos y fractales: nuevas fronteras de la ciencia , Springer, págs..
4. Rössler, Otto E. (1 de julio de 1983). "La jerarquía caótica". Zeitschrift für Naturforschung A. 38 (7): 788–801. doi : 10.1515/zna-1983-0714 . ISSN  1865-7109.
5. Letellier, C.; P. Dutertre; B. Maheu (1995). "Órbitas periódicas inestables y plantillas del sistema de Rössler: hacia una caracterización topológica sistemática". Chaos . 5 (1): 272–281. Bibcode :1995Chaos...5..271L. doi : 10.1063/1.166076 . PMID  12780181.
6. Letellier, C.; V. Messager (2010). "Influencias en el primer artículo de Otto E. Rössler sobre el caos". Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 20 (11): 3585–3616. Código Bibliográfico :2010IJBC...20.3585L. doi :10.1142/s0218127410027854.
7. Martines-Arano, H.; García-Pérez, BE; Vidales-Hurtado, MA; Trejo-Valdez, M.; Hernández-Gómez, LH; Torres-Torres, C. (2019). "Firmas caóticas exhibidas por efectos plasmónicos en nanopartículas de Au con células". Sensores . 19 (21): 4728. Bibcode :2019Senso..19.4728M. doi : 10.3390/s19214728 . PMC 6864870 . PMID  31683534. {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. Olsen, Lars Folke; Degn, Hans (mayo de 1985). "Caos en sistemas biológicos". Quarterly Reviews of Biophysics . 18 (2): 165–225. doi :10.1017/S0033583500005175. ISSN  1469-8994. PMID  3912797.
9. Lorenz, EN (1963), "Flujo no periódico determinista", J. Atmos. Sci. , 20 (2): 130–141, Bibcode :1963JAtS...20..130L, doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.
10. Rössler, Otto E. (1976). "Comportamiento caótico en un sistema de reacción simple". Zeitschrift für Naturforschung A. 31 (3–4): 259–264. Código bibliográfico : 1976ZNatA..31..259R. doi : 10.1515/zna-1976-3-408 .

Enlaces externos

• Animación Flash con PovRay
• Atractores de Lorenz y Rössler Archivado el 11 de marzo de 2008 en el Archivo Web Portugués – Animación Java
• Atractores 3D: Programa para Mac para visualizar y explorar los atractores de Rössler y Lorenz en 3 dimensiones
• Atractor de Rössler en Scholarpedia
• Atractor de Rössler: experimento numérico interactivo en 3D - experiencias.math.cnrs.fr- (javascript/webgl)