Teorema de Wold

Teorema de los procesos estacionarios

En estadística , la descomposición de Wold o el teorema de representación de Wold (que no debe confundirse con el teorema de Wold que es el análogo en tiempo discreto del teorema de Wiener-Khinchin ), llamado así por Herman Wold , dice que cada serie de tiempo estacionaria en covarianza se puede escribir como la suma de dos series de tiempo, una determinista y una estocástica . ${\displaystyle Y_{t}}$

Formalmente

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\varepsilon _{t-j}+\eta _{t},}$

dónde:

• ${\displaystyle Y_{t}}$¿Se está considerando la serie temporal ?

• ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$es una secuencia no correlacionada que es el proceso de innovación del proceso , es decir, un proceso de ruido blanco que se ingresa al filtro lineal . ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle \{b_{j}\}}$

• ${\displaystyle b}$es el vector posiblemente infinito de pesos promedio móviles (coeficientes o parámetros)

• ${\displaystyle \eta _{t}}$es una serie temporal "determinista", en el sentido de que está completamente determinada como una combinación lineal de sus valores pasados ​​(véase, por ejemplo, Anderson (1971) Cap. 7, Sección 7.6.3. pp. 420-421). Puede incluir "términos deterministas" como ondas seno/coseno de , pero es un proceso estocástico y también es estacionario en covarianza, no puede ser un proceso determinista arbitrario que viole la estacionariedad. ${\displaystyle t}$

Los coeficientes de media móvil tienen estas propiedades:

1. Estable, es decir, sumable al cuadrado < ${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|b_{j}|^{2}}$ ${\displaystyle \infty }$
2. Causal (es decir, no hay términos con j < 0)
3. Retraso mínimo ^{[ aclaración necesaria ]}
4. Constante ( independiente de t ) ${\displaystyle b_{j}}$
5. Es convencional definir ${\displaystyle b_{0}=1}$

Este teorema puede considerarse como un teorema de existencia: cualquier proceso estacionario tiene esta representación aparentemente especial. No sólo es notable la existencia de una representación lineal y exacta tan simple, sino que lo es aún más la naturaleza especial del modelo de promedio móvil. Imaginemos que creamos un proceso que sea un promedio móvil pero que no satisfaga estas propiedades 1 a 4. Por ejemplo, los coeficientes podrían definir un modelo acausal y de retardo no mínimo ^{[ aclaración necesaria ] . Sin embargo, el teorema asegura la existencia de un} promedio móvil causal de retardo mínimo ^{[ aclaración necesaria ]} que represente exactamente este proceso. Cómo funciona todo esto para el caso de causalidad y la propiedad de retardo mínimo se analiza en Scargle (1981), donde se analiza una extensión de la descomposición de Wold. ${\displaystyle b_{j}}$

La utilidad del Teorema de Wold es que permite aproximar la evolución dinámica de una variable mediante un modelo lineal . Si las innovaciones son independientes , entonces el modelo lineal es la única representación posible que relaciona el valor observado de con su evolución pasada. Sin embargo, cuando es simplemente una secuencia no correlacionada pero no independiente, entonces el modelo lineal existe pero no es la única representación de la dependencia dinámica de la serie. En este último caso, es posible que el modelo lineal no sea muy útil, y habría un modelo no lineal que relacionara el valor observado de con su evolución pasada. Sin embargo, en el análisis práctico de series de tiempo , a menudo ocurre que solo se consideran predictores lineales, en parte por razones de simplicidad, en cuyo caso la descomposición de Wold es directamente relevante. ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$

La representación de Wold depende de un número infinito de parámetros, aunque en la práctica suelen decaer rápidamente. El modelo autorregresivo es una alternativa que puede tener sólo unos pocos coeficientes si la media móvil correspondiente tiene muchos. Estos dos modelos se pueden combinar en un modelo de media móvil autorregresiva (ARMA) o un modelo de media móvil autorregresiva integrada (ARIMA) si se trata de no estacionariedad. Véase Scargle (1981) y las referencias allí; además, este artículo ofrece una extensión del teorema de Wold que permite una mayor generalidad para la media móvil (no necesariamente estable, causal o con un retraso mínimo) acompañada de una caracterización más precisa de la innovación (distribuida de forma idéntica e independiente, no sólo no correlacionada). Esta extensión permite la posibilidad de modelos que sean más fieles a los procesos físicos o astrofísicos y, en particular, puedan detectar "la flecha del tiempo ".

Referencias

• Anderson, TW (1971). El análisis estadístico de series temporales . Wiley.
• Nerlove, M. ; Grether, David M.; Carvalho, José L. (1995). Análisis de series temporales económicas (edición revisada). San Diego: Academic Press. pp. 30–36. ISBN 0-12-515751-7.
• Scargle, JD (1981). Estudios en análisis de series temporales astronómicas. I – Modelado de procesos aleatorios en el dominio del tiempo . Serie de suplementos de revistas astrofísicas. Vol. 45. págs. 1–71.
• Wold, H. (1954) Un estudio sobre el análisis de series temporales estacionarias , segunda edición revisada, con un apéndice sobre "Desarrollos recientes en el análisis de series temporales" por Peter Whittle . Almqvist and Wiksell Book Co., Uppsala.