Ecuación de Cole-Cole

La ecuación de Cole-Cole es un modelo de relajación que se utiliza a menudo para describir la relajación dieléctrica en polímeros .

viene dada por la ecuación

${\displaystyle \varepsilon ^{*}(\omega )=\varepsilon _{\infty }+{\frac {\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }}{1+(i\omega \tau )^{1-\alpha }}}}$

donde es la constante dieléctrica compleja , y son las constantes dieléctricas "estática" y de "frecuencia infinita", es la frecuencia angular y es una constante de tiempo de relajación dieléctrica . ${\displaystyle \varepsilon ^{*}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{s}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\infty }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \tau }$

El parámetro exponente , que toma un valor entre 0 y 1, permite describir diferentes formas espectrales. Cuando , el modelo Cole-Cole se reduce al modelo Debye . Cuando , la relajación se estira . Es decir, se extiende en un rango más amplio en escala logarítmica que la relajación de Debye. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \omega }$

La separación de la constante dieléctrica compleja fue informada en el artículo original de Kenneth Stewart Cole y Robert Hugh Cole ^[1] de la siguiente manera: ${\displaystyle \varepsilon (\omega )}$

${\displaystyle \varepsilon '=\varepsilon _{\infty }+(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }){\frac {1+(\omega \tau )^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2}{1+2(\omega \tau )^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2+(\omega \tau )^{2(1-\alpha )}}}}$

${\displaystyle \varepsilon ''={\frac {(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty })(\omega \tau )^{1-\alpha }\cos \alpha \pi /2}{1+2(\omega \tau )^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2+(\omega \tau )^{2(1-\alpha )}}}}$

Tras la introducción de funciones hiperbólicas, las expresiones anteriores se reducen a:

${\displaystyle \varepsilon '=\varepsilon _{\infty }+{\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}-\varepsilon _{\infty })\left[1-{\frac {\sinh((1-\alpha )x)}{\cosh((1-\alpha )x)+\sin(\alpha \pi /2)}}\right]}$

${\displaystyle \varepsilon ''={\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}-\varepsilon _{\infty }){\frac {\cos(\alpha \pi /2)}{\cosh((1-\alpha )x)+\sin(\alpha \pi /2)}}}$

Aquí . ${\displaystyle x=\ln(\omega \tau )}$

Estas ecuaciones se reducen a la expresión de Debye cuando . ${\displaystyle \alpha =0}$

La respuesta de corriente en el dominio del tiempo de la ecuación de Cole-Cole corresponde a la ley de Curie-von Schweidler y la respuesta de carga corresponde a la función exponencial extendida o la función de Kohlrausch-Williams-Watts (KWW), para argumentos de tiempo pequeño. ^[2]

La relajación de Cole-Cole constituye un caso especial de relajación de Havriliak-Negami cuando el parámetro de simetría , es decir, cuando los picos de relajación son simétricos. Otro caso especial de relajación Havriliak-Negami donde y se conoce como relajación Cole-Davidson . Para obtener una revisión abreviada y actualizada de la relajación dieléctrica anómala en sistemas desordenados, consulte Kalmykov. ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \beta <1}$ ${\displaystyle \alpha =1}$

Ver también

• Adiós relajación
• Relajación Cole-Davidson
• Relajación Havriliak-Negami
• Ley de Curie-von Schweidler

Referencias

1. Cole, Kenneth Stewart ; Cole, Robert Hugh (1941). "Dispersión y absorción en dieléctricos I. Características de la corriente alterna". Revista de Física Química . 9 (4): 341–351. Código bibliográfico : 1941JChPh...9..341C. doi :10.1063/1.1750906.
2. Holm, Sverre (2020). "Caracterización en el dominio del tiempo del modelo dieléctrico de Cole-Cole". Revista de Bioimpedancia Eléctrica . 11 (1): 101-105. doi : 10.2478/joeb-2020-0015. PMC 7851980 . PMID  33584910. 

Otras lecturas

• Cole, Kenneth Stewart ; Cole, Robert Hugh (1942). "Dispersión y Absorción en Dieléctricos II. Características de la Corriente Continua". Revista de Física Química . 10 (2): 98-105. Código bibliográfico : 1942JChPh..10...98C. doi : 10.1063/1.1723677.
• Kalmykov, YP; Coffey, WT; Crothers, DSF; Titov, SV (2004). "Modelos microscópicos de relajación dieléctrica en sistemas desordenados". Revisión física E. 70 (4): 041103. Código bibliográfico : 2004PhRvE..70d1103K. doi :10.1103/PhysRevE.70.041103. PMID  15600393.