Relación de dualidad onda-partícula

Una relación de óptica cuántica.

La relación de dualidad onda-partícula , también llamada ^[1] relación de dualidad Englert-Greenberger-Yasin , o relación Englert-Greenberger , relaciona la visibilidad de las franjas de interferencia con la definición, o distinguibilidad, de las trayectorias de los fotones en óptica cuántica . ^{[2] [3] [4]} Como desigualdad: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D^{2}+V^{2}\leq 1\,}$

Aunque se trata como una relación única, en realidad involucra dos relaciones separadas, que matemáticamente parecen muy similares. La primera relación, derivada por Daniel Greenberger y Allaine Yasin en 1988, se expresa como . Posteriormente fue ampliada hasta proporcionar una igualdad para el caso de estados cuánticos puros por Gregg Jaeger, Abner Shimony y Lev Vaidman en 1995. Esta relación implica adivinar correctamente cuál de los dos caminos habría tomado la partícula, basándose en la preparación inicial. . Aquí se puede llamar previsibilidad. Un año después, Berthold-Georg Englert , en 1996, derivó una relación relacionada que trataba de adquirir conocimiento experimental de los dos caminos utilizando un aparato, en lugar de predecir el camino basándose en la preparación inicial. Esta relación es . Aquí se llama distinguibilidad. ${\displaystyle P^{2}+V^{2}\leq 1\,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D^{2}+V^{2}\leq 1\,}$ ${\displaystyle D}$

La importancia de las relaciones es que expresan cuantitativamente la complementariedad de los puntos de vista de ondas y partículas en experimentos de doble rendija . El principio de complementariedad en mecánica cuántica , formulado por Niels Bohr , dice que los aspectos ondulatorios y partícula de los objetos cuánticos no pueden observarse al mismo tiempo. Las relaciones de dualidad onda-partícula hacen que la afirmación de Bohr sea más cuantitativa: un experimento puede proporcionar información parcial sobre los aspectos onda y partícula de un fotón simultáneamente, pero cuanta más información proporcione un experimento particular sobre uno, menos dará sobre el otro. La previsibilidad , que expresa el grado de probabilidad con el que se puede adivinar correctamente la trayectoria de la partícula, y la distinguibilidad, que es el grado en que se puede adquirir experimentalmente información sobre la trayectoria de la partícula, son medidas de la información de la partícula, mientras que la visibilidad de las franjas es una medida de la información de las ondas. Las relaciones muestran que están inversamente relacionadas, cuando una sube, la otra baja. Las franjas son visibles en un amplio rango de distinguibilidad. ^[5] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle V}$

Las matemáticas de la difracción de dos rendijas.

Esta sección revisa la formulación matemática del experimento de la doble rendija . La formulación es en términos de difracción e interferencia de ondas. La culminación del desarrollo es la presentación de dos números que caracterizan la visibilidad de las franjas de interferencia en el experimento, vinculados entre sí como la relación de dualidad Englert-Greenberger . La siguiente sección discutirá la interpretación mecánica cuántica ortodoxa de la relación de dualidad en términos de dualidad onda-partícula.

La función de onda en el experimento de doble apertura de Young se puede escribir como

${\displaystyle \Psi _{\text{Total}}(x)=\Psi _{A}(x)+\Psi _{B}(x).}$

La función

${\displaystyle \Psi _{A}(x)=C_{A}\Psi _{0}(x-x_{A})}$

es la función de onda asociada con el orificio en A centrado en ; una relación similar se cumple para el agujero B . La variable es una posición en el espacio aguas abajo de las rendijas. Las constantes y son factores de proporcionalidad para las amplitudes de onda correspondientes, y es la función de onda de un solo orificio para una apertura centrada en el origen. La función de onda de un solo orificio se considera la de la difracción de Fraunhofer ; la forma de los orificios es irrelevante y los orificios se consideran idealizados. Se supone que la onda tiene un momento incidente fijo : ${\displaystyle x_{A}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C_{A}}$ ${\displaystyle C_{B}}$ ${\displaystyle \Psi _{0}(x)}$ ${\displaystyle p_{0}=h/\lambda }$

${\displaystyle \Psi _{0}(x)\propto {\frac {e^{ip_{0}\cdot |x|/\hbar }}{|x|}}}$

¿Dónde está la distancia radial desde el agujero? ${\displaystyle |x|}$

Para distinguir por qué orificio pasó un fotón, se necesita cierta medida de la distinción entre orificios. Tal medida viene dada por ^[6]

${\displaystyle P=|P_{A}-P_{B}|,\,}$

donde y son las probabilidades de encontrar que la partícula pasó a través de la apertura A y la apertura B respectivamente. ${\displaystyle P_{A}}$ ${\displaystyle P_{B}}$

Dado que la medida de probabilidad de Born está dada por

${\displaystyle P_{A}={\frac {|C_{A}|^{2}}{|C_{A}|^{2}+|C_{B}|^{2}}}}$

y

${\displaystyle P_{B}={\frac {|C_{B}|^{2}}{|C_{A}|^{2}+|C_{B}|^{2}}}}$

entonces obtenemos:

${\displaystyle P=\left|\;{\frac {|C_{A}|^{2}-|C_{B}|^{2}}{|C_{A}|^{2}+|C_{B}|^{2}}}\,\right|}$

Disponemos en particular de dos agujeros simétricos y de una única apertura (perfecta distinguibilidad). En el campo lejano de los dos agujeros las dos ondas interfieren y producen franjas. La intensidad del patrón de interferencia en un punto y en el plano focal viene dada por ${\displaystyle P=0}$ ${\displaystyle P=1}$

${\displaystyle I(y)\propto 1+V\cos \left({\frac {p_{y}d}{\hbar }}+\varphi \right)}$

donde es el momento de la partícula a lo largo de la dirección y , es un cambio de fase fijo y es la separación entre los dos poros. El ángulo α con respecto a la horizontal viene dado por la distancia entre la pantalla de apertura y el plano de análisis del campo lejano. Si se utiliza una lente para observar las franjas en el plano focal posterior, el ángulo viene dado por la distancia focal de la lente. ${\displaystyle p_{y}=h/\lambda \cdot \sin(\alpha )}$ ${\displaystyle \varphi =\operatorname {Arg} (C_{A})-\operatorname {Arg} (C_{B})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \sin(\alpha )\simeq \tan(\alpha )=y/L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \sin(\alpha )\simeq \tan(\alpha )=y/f}$ ${\displaystyle f}$

La visibilidad de las franjas está definida por

${\displaystyle V={\frac {I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}}}$

donde y denotan la intensidad máxima y mínima de las franjas respectivamente. Según las reglas de interferencia constructiva y destructiva tenemos ${\displaystyle I_{\max }}$ ${\displaystyle I_{\min }}$

${\displaystyle I_{\max }\propto ||C_{A}|+|C_{B}||^{2}}$

${\displaystyle I_{\min }\propto ||C_{A}|-|C_{B}||^{2}}$

De manera equivalente, esto se puede escribir como

${\displaystyle V=2{\frac {|C_{A}\cdot C_{B}^{*}|}{|C_{A}|^{2}+|C_{B}|^{2}}}.}$

Y por tanto obtenemos, para un solo fotón en un estado cuántico puro, la relación de dualidad

${\displaystyle V^{2}+P^{2}=1\,}$

Hay dos casos extremos con una interpretación intuitiva sencilla: en un experimento de un solo agujero, la visibilidad de la franja es cero (ya que no hay franjas). Es decir, pero ya que sabemos (por definición) por qué agujero pasó el fotón. Por otro lado, para una configuración de dos rendijas, donde las dos rendijas son indistinguibles con , uno tiene visibilidad perfecta con y por lo tanto . Por lo tanto, en ambos casos extremos también tenemos . ${\displaystyle V=0}$ ${\displaystyle P=1}$ ${\displaystyle P=0}$ ${\displaystyle I_{\min }=0}$ ${\displaystyle V=1}$ ${\displaystyle V^{2}+P^{2}=1}$

La presentación anterior se limitó a un estado cuántico puro. De manera más general, para una mezcla de estados cuánticos, se tendrá

${\displaystyle V^{2}+P^{2}\leq 1.\,}$

Durante el resto del desarrollo, asumimos que la fuente de luz es un láser , de modo que podemos suponer que se cumplen, a partir de las propiedades de coherencia de la luz láser. ${\displaystyle V^{2}+P^{2}=1}$

Complementariedad

La discusión matemática presentada anteriormente no requiere de la mecánica cuántica en su esencia. En particular, la derivación es esencialmente válida para ondas de cualquier tipo. Con ligeras modificaciones para tener en cuenta la elevación al cuadrado de las amplitudes, la derivación podría aplicarse, por ejemplo, a ondas sonoras u ondas de agua en un tanque de ondas .

Para que la relación sea una formulación precisa de la complementariedad de Bohr, es necesario introducir la dualidad onda-partícula en la discusión. Esto significa que hay que considerar el comportamiento de la luz tanto ondulatorio como partícula en pie de igualdad. La dualidad onda-partícula implica que uno debe A) utilizar la evolución unitaria de la onda antes de la observación y B) considerar el aspecto de la partícula después de la detección (esto se llama postulado del colapso de Heisenberg-von Neumann). De hecho, dado que sólo se puede observar el fotón en un punto del espacio (un fotón no puede ser absorbido dos veces), esto implica que el significado de la función de onda es esencialmente estadístico y no puede confundirse con una onda clásica (como las que ocurren en aire o agua).

En este contexto, la observación directa de un fotón en el plano de apertura excluye la siguiente grabación del mismo fotón en el plano focal (F). Recíprocamente, la observación en (F) significa que no absorbimos el fotón antes. Si ambos agujeros están abiertos esto implica que no sabemos dónde habríamos detectado el fotón en el plano de apertura. define así la previsibilidad de los dos agujeros A y  B . ${\displaystyle P}$

Un valor máximo de previsibilidad significa que sólo un agujero (digamos A ) está abierto. Si ahora detectamos el fotón en (F), sabemos que ese fotón habría sido detectado necesariamente en A. Por el contrario, significa que ambos agujeros están abiertos y desempeñan un papel simétrico. Si detectamos el fotón en (F), no sabemos dónde se habría detectado el fotón en el plano de apertura y caracteriza nuestra ignorancia. ${\displaystyle P=1}$ ${\displaystyle P=0}$ ${\displaystyle P=0}$

De manera similar, si entonces y esto significa que una acumulación estadística de fotones en (F) forma un patrón de interferencia con máxima visibilidad. Por el contrario, esto implica que no aparecen franjas tras un registro estadístico de varios fotones. ${\displaystyle P=0}$ ${\displaystyle V=1}$ ${\displaystyle P=1}$ ${\displaystyle V=0}$

El tratamiento anterior formaliza la dualidad onda-partícula para el experimento de doble rendija.

Ver también

• experimento afshar
• Entrelazamiento cuántico
• Indeterminación cuántica

Referencias y notas

1. Bera, Manabendra Nath; Qureshi, Tabish; Siddiqui, Mohd Asad; Pati, Arun Kumar (22 de julio de 2015). "Dualidad de coherencia cuántica y distinguibilidad de caminos". Revisión física A. 92 (1): 012118. arXiv : 1503.02990 . doi :10.1103/PhysRevA.92.012118.
2. Jaeger, Gregg; Shimony, Abner ; Vaidman, Lev (1995). "Dos complementariedades interferométricas". Física. Rev. A. 51 (1): 54–67. Código Bib : 1995PhRvA..51...54J. doi :10.1103/PhysRevA.51.54. PMID  9911555.
3. Englert, Berthold-Georg (1996). "Visibilidad marginal e información en qué dirección: una desigualdad". Física. Rev. Lett. 77 (11): 2154–2157. Código bibliográfico : 1996PhRvL..77.2154E. doi : 10.1103/PhysRevLett.77.2154. PMID  10061872.
4. Greenberger, Daniel M.; Yasin, Allaine (1988). "Conocimiento simultáneo de ondas y partículas en un interferómetro de neutrones". Física. Letón. A . 128 (8): 391–394. Código bibliográfico : 1988PhLA..128..391G. doi :10.1016/0375-9601(88)90114-4.
5. Wootters, William K. y Wojciech H. Zurek. "Complementariedad en el experimento de la doble rendija: no separabilidad cuántica y una declaración cuantitativa del principio de Bohr". Revisión física D 19.2 (1979): 473.
6. En realidad, lo que aquí se llama "distinguibilidad " suele denominarse "previsibilidad ". ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P}$

Otras lecturas

• Englert, Berthold-Georg; Scully, Marlan O.; Walther, Herbert (1991). "Pruebas ópticas cuánticas de complementariedad". Naturaleza . 351 (6322): 111–116. Código Bib :1991Natur.351..111S. doi :10.1038/351111a0. S2CID  4311842. Demuestra que los efectos de la interferencia cuántica son destruidos por correlaciones irreversibles entre objeto y aparato ("medición"), no por el principio de incertidumbre de Heisenberg en sí. Véase también "La dualidad de la materia y la luz". Científico americano . Diciembre de 1994.
• Drezet, Aurelien (2005). "La complementariedad y el experimento de Afshar". arXiv : quant-ph/0508091 .

enlaces externos

• Karmela Padavic-Callaghan (1 de septiembre de 2021). "La dualidad onda-partícula cuantificada por primera vez". Mundo de la Física .