Relación de consecuencia racional

En lógica , una relación de consecuencia racional es una relación de consecuencia no monótona que satisface ciertas propiedades que se enumeran a continuación.

Una relación de consecuencia racional es un marco lógico que refina el razonamiento deductivo tradicional para modelar mejor escenarios del mundo real. Incorpora reglas como reflexividad , equivalencia lógica por izquierda, debilitamiento de la mano derecha, monotonía cautelosa, disyunción en el lado izquierdo, lógico y en el lado derecho, y monotonía racional. Estas reglas permiten que la relación maneje situaciones cotidianas de manera más efectiva al permitir un razonamiento no monótono, donde se pueden sacar conclusiones basadas en implicaciones habituales en lugar de absolutas. Este enfoque es particularmente útil en casos en los que agregar más información puede cambiar el resultado, proporcionando una comprensión más matizada que las relaciones de consecuencias monótonas.

Propiedades

Una relación de consecuencia racional satisface: ${\displaystyle \vdash }$

ÁRBITRO

Reflexividad ${\displaystyle \theta \vdash \theta }$

y las llamadas reglas Gabbay - Makinson : ^{[ cita necesaria ]}

LLE

Equivalencia lógica izquierda ${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \psi \quad \quad \theta \equiv \phi }{\phi \vdash \psi }}}$

RWE

Debilitamiento de la mano derecha ${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \phi \models \psi }{\theta \vdash \psi }}}$

director de marketing

Monotonicidad cautelosa ${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \vdash \psi }{\theta \wedge \psi \vdash \phi }}}$

DES

Lógico o (es decir, disyunción) en el lado izquierdo ${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \psi \quad \quad \phi \vdash \psi }{\theta \vee \phi \vdash \psi }}}$

Y

Lógico y en el lado derecho. ${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \vdash \psi }{\theta \vdash \phi \wedge \psi }}}$

RMO

Monotonicidad racional ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle {\frac {\phi \not \vdash \neg \theta \quad \quad \phi \vdash \psi }{\phi \wedge \theta \vdash \psi }}}$

Usos

La relación de consecuencia racional no es monótona y se pretende que la relación tenga el significado que theta generalmente implica phi o phi generalmente se deriva de theta . En este sentido, es más útil para modelar algunas situaciones cotidianas que una relación de consecuencias monótona porque esta última relación modela hechos de una manera booleana más estricta : algo se sigue en todas las circunstancias o no. ${\displaystyle \theta \vdash \phi }$

Ejemplo: pastel

La afirmación "Si un pastel contiene azúcar, entonces sabe bien" implica, bajo una relación de consecuencia monótona, la afirmación "Si un pastel contiene azúcar y jabón, entonces sabe bien". Es evidente que esto no coincide con nuestra propia comprensión de los pasteles. Al afirmar "Si un pastel contiene azúcar, normalmente sabe bien", una relación de consecuencia racional permite un modelo más realista del mundo real, y ciertamente no se sigue automáticamente que "Si un pastel contiene azúcar y jabón, entonces normalmente sabe bien". ".

Tenga en cuenta que si también tenemos la información "Si un pastel contiene azúcar, normalmente contiene mantequilla", entonces podemos concluir legalmente (según la OCM) que "Si un pastel contiene azúcar y mantequilla, normalmente sabe bien". . Del mismo modo, en ausencia de una afirmación como "Si un pastel contiene azúcar, normalmente no contiene jabón ", podemos concluir legalmente de RMO que "Si el pastel contiene azúcar y jabón, entonces normalmente sabe bien".

Si esta última conclusión le parece ridícula, entonces es probable que esté afirmando inconscientemente su propio conocimiento preconcebido sobre los pasteles al evaluar la validez de la afirmación. Es decir, por tu experiencia sabes que los pasteles que contienen jabón probablemente tengan mal sabor por lo que agregas al sistema tus propios conocimientos como por ejemplo "Los pasteles que contienen azúcar normalmente no contienen jabón". , aunque este conocimiento esté ausente en él. Si la conclusión te parece tonta, entonces podrías considerar reemplazar la palabra jabón por la palabra huevos para ver si cambia tus sentimientos.

Ejemplo: drogas

Considere las oraciones:

• Los jóvenes suelen ser felices.
• Los drogadictos no suelen estar contentos
• Los consumidores de drogas suelen ser jóvenes

Podemos considerar razonable concluir:

• Los jóvenes drogadictos no suelen estar contentos

Esta no sería una conclusión válida bajo un sistema de deducción monótono (omitiendo, por supuesto, la palabra "normalmente"), ya que la tercera frase contradeciría las dos primeras. Por el contrario, la conclusión se sigue inmediatamente utilizando las reglas de Gabbay-Makinson: aplicando la regla CMO a las dos últimas oraciones se obtiene el resultado.

Consecuencias

De las reglas anteriores se derivan las siguientes consecuencias:

diputado

Modus ponens ${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \vdash \left(\phi \rightarrow \psi \right)}{\theta \vdash \psi }}}$

MP se demuestra mediante las reglas AND y RWE.

ESTAFA

Condicionalización ${\displaystyle {\frac {\theta \wedge \phi \vdash \psi }{\theta \vdash \left(\phi \rightarrow \psi \right)}}}$

CC

corte cauteloso ${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \wedge \phi \vdash \psi }{\theta \vdash \psi }}}$

La noción de recorte cauteloso simplemente resume la operación de condicionalización, seguida de MP. Puede parecer redundante en este sentido, pero se utiliza a menudo en pruebas, por lo que es útil tener un nombre que actúe como atajo.

SCL

supraclase ${\displaystyle {\frac {\theta \models \phi }{\theta \vdash \phi }}}$

SCL se demuestra trivialmente mediante REF y RWE.

Relaciones de consecuencias racionales a través de preferencias atómicas.

Sea un lenguaje finito . Un átomo es una fórmula de la forma (dónde y ). Observe que hay una valoración única que hace que cualquier átomo dado sea verdadero (y, a la inversa, cada valoración satisface precisamente a un átomo). Así, un átomo puede utilizarse para representar una preferencia sobre lo que creemos que debería ser cierto. ${\displaystyle L=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}}$ ${\displaystyle \bigwedge _{i=1}^{n}p_{i}^{\epsilon }}$ ${\displaystyle p^{1}=p}$ ${\displaystyle p^{-1}=\neg p}$

Sea el conjunto de todos los átomos en L. Para SL , defina . ${\displaystyle At^{L}}$ ${\displaystyle \theta \in }$ ${\displaystyle S_{\theta }=\{\alpha \in At^{L}|\alpha \models ^{SC}\theta \}}$

Sea una secuencia de subconjuntos de . Para , en SL, sea la relación tal que si se cumple una de las siguientes condiciones: ${\displaystyle {\vec {s}}=s_{1},\ldots ,s_{m}}$ ${\displaystyle At^{L}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$ ${\displaystyle \theta \vdash _{\vec {s}}\phi }$

1. ${\displaystyle S_{\theta }\cap s_{i}=\emptyset }$para cada uno ${\displaystyle 1\leq i\leq m}$
2. ${\displaystyle S_{\theta }\cap s_{i}\neq \emptyset }$para algunos y para los menos, . ${\displaystyle 1\leq i\leq m}$ ${\displaystyle S_{\theta }\cap s_{i}\subseteq S_{\phi }}$

Entonces la relación es una relación de consecuencia racional. Esto puede verificarse fácilmente comprobando directamente que satisface las condiciones de GM. ${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$

La idea detrás de la secuencia de conjuntos de átomos es que los conjuntos anteriores representan las situaciones más probables, como "los jóvenes suelen respetar la ley", mientras que los conjuntos posteriores dan cuenta de las situaciones menos probables, como "los jóvenes que viajan por placer normalmente no respetan la ley". .

Notas

1. Según la definición de la relación , la relación no cambia si reemplazamos con , con ... y con . De esta manera hacemos que cada uno sea disjunto. Por el contrario, no hay diferencia en la relación de consecuencia racional si agregamos átomos posteriores de cualquiera de los anteriores . ${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$ ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle s_{2}\setminus s_{1}}$ ${\displaystyle s_{3}}$ ${\displaystyle s_{3}\setminus s_{2}\setminus s_{1}}$ ${\displaystyle s_{m}}$ ${\displaystyle s_{m}\setminus \bigcup _{i=1}^{m-1}s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$

El teorema de representación

Se puede demostrar que cualquier relación de consecuencia racional en un lenguaje finito es representable mediante una secuencia de preferencias atómicas anteriores. Es decir, para cualquier relación de consecuencia racional existe una secuencia de subconjuntos tales que la relación de consecuencia racional asociada es la misma relación: ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle {\vec {s}}=s_{1},\ldots ,s_{m}}$ ${\displaystyle At^{L}}$ ${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$ ${\displaystyle {\vdash _{\vec {s}}}={\vdash }}$

Notas

1. Según la propiedad anterior de , la representación de una relación de consecuencia racional no tiene por qué ser única; si no son disjuntos, entonces pueden serlo sin cambiar la relación de consecuencia racional y, a la inversa, si son disjuntos, entonces cada conjunto posterior puede contener cualquiera de los átomos de los conjuntos anteriores sin cambiar la relación de consecuencia racional. ${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle s_{i}}$

Referencias

• Hill, Lee CE (2002). "Una nueva relación entre Máxima Entropía y el Cierre Racional de una Base de Conocimiento Condicional". Universidad de Manchester . ^{[ enlace muerto ]}
• D. Makinson (marzo de 1994). "Patrones generales en el razonamiento no monótono". En DM Gabbay y CJ Hogger y JA Robinson (ed.). Metodologías de Deducción. Manual de lógica en inteligencia artificial y programación lógica. vol. 2. Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 35-110. ISBN 978-0-19-853746-5.