Regla de suma en mecánica cuántica

En mecánica cuántica , una regla de suma es una fórmula para las transiciones entre niveles de energía, en la que la suma de las intensidades de transición se expresa de forma simple. Las reglas de suma se utilizan para describir las propiedades de muchos sistemas físicos, incluidos los sólidos, los átomos, los núcleos atómicos y los componentes nucleares, como los protones y los neutrones.

Las reglas de suma se derivan de principios generales y son útiles en situaciones en las que el comportamiento de los niveles de energía individuales es demasiado complejo para ser descrito por una teoría mecánica cuántica precisa. En general, las reglas de suma se derivan utilizando el álgebra mecánica cuántica de Heisenberg para construir igualdades de operadores, que luego se aplican a las partículas o niveles de energía de un sistema.

Derivación de reglas de suma[1]

Supongamos que el hamiltoniano tiene un conjunto completo de funciones propias con valores propios : ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}$

Para el operador hermítico definimos el conmutador repetido iterativamente mediante: ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {C}}^{(k)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {C}}^{(0)}&\equiv {\hat {A}}\\{\hat {C}}^{(1)}&\equiv [{\hat {H}},{\hat {A}}]={\hat {H}}{\hat {A}}-{\hat {A}}{\hat {H}}\\{\hat {C}}^{(k)}&\equiv [{\hat {H}},{\hat {C}}^{(k-1)}],\ \ \ k=1,2,\ldots \end{aligned}}}$

El operador es hermítico, ya que se define como hermítico. El operador es antihermítico: ${\displaystyle {\hat {C}}^{(0)}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {C}}^{(1)}}$

${\displaystyle \left({\hat {C}}^{(1)}\right)^{\dagger }=({\hat {H}}{\hat {A}})^{\dagger }-({\hat {A}}{\hat {H}})^{\dagger }={\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}}=-{\hat {C}}^{(1)}.}$

Por inducción se encuentra:

${\displaystyle \left({\hat {C}}^{(k)}\right)^{\dagger }=(-1)^{k}{\hat {C}}^{(k)}}$

y también

${\displaystyle \langle m|{\hat {C}}^{(k)}|n\rangle =(E_{m}-E_{n})^{k}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle .}$

Para un operador hermítico tenemos

${\displaystyle |\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}=\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle m|{\hat {A}}|n\rangle ^{\ast }=\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle .}$

Utilizando esta relación derivamos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle m|[{\hat {A}},{\hat {C}}^{(k)}]|m\rangle &=\langle m|{\hat {A}}{\hat {C}}^{(k)}|m\rangle -\langle m|{\hat {C}}^{(k)}{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {C}}^{(k)}|m\rangle -\langle m|{\hat {C}}^{(k)}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle (E_{n}-E_{m})^{k}-(E_{m}-E_{n})^{k}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}(1-(-1)^{k})(E_{n}-E_{m})^{k}|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}.\end{aligned}}}$

El resultado se puede escribir como

${\displaystyle \langle m|[{\hat {A}},{\hat {C}}^{(k)}]|m\rangle ={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}k{\mbox{ is even}}\\2\sum _{n}(E_{n}-E_{m})^{k}|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2},&{\mbox{if }}k{\mbox{ is odd}}.\end{cases}}}$

Para esto se obtiene: ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle \langle m|[{\hat {A}},[{\hat {H}},{\hat {A}}]]|m\rangle =2\sum _{n}(E_{n}-E_{m})|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}.}$

Véase también

• Fuerza del oscilador
• Reglas de suma (teoría cuántica de campos)
• Reglas de suma de QCD

Referencias

1. Wang, Sanwu (1 de julio de 1999). "Generalización de las reglas de suma de Thomas-Reiche-Kuhn y de Bethe". Physical Review A . 60 (1). American Physical Society (APS): 262–266. Código Bibliográfico :1999PhRvA..60..262W. doi :10.1103/physreva.60.262. ISSN  1050-2947.