Red multidimensional

En teoría de redes , las redes multidimensionales , un tipo especial de red multicapa , son redes con múltiples tipos de relaciones. ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7] Los intentos cada vez más sofisticados de modelar sistemas del mundo real como redes multidimensionales han arrojado información valiosa en los campos del análisis de redes sociales , ^[3]^{[4 ]}^[8]^[9]^[10]^[11]^{[12] economía,}transporte urbano e internacional , ^[13]^[14]^[15] ecología , ^[16]^{[17] [18}^{] [}^19] psicología, ^{[20 ]}^[21] medicina, biología, ^[22] comercio, climatología, física, ^[23] neurociencia computacional , ^[24]^[25]^[26]^[27] gestión de operaciones y finanzas.

Terminología

La rápida exploración de redes complejas en los últimos años se ha visto afectada por la falta de convenciones de nomenclatura estandarizadas, ya que varios grupos utilizan terminología superpuesta y contradictoria ^[28]^[29] para describir configuraciones de red específicas (por ejemplo, multiplex, multicapa, multinivel, multidimensional, multirelacional, interconectado). Para aprovechar al máximo la información del conjunto de datos sobre la naturaleza direccional de las comunicaciones, algunos autores consideran solo redes directas sin etiquetas en los vértices e introducen la definición de multigrafos etiquetados en bordes que pueden cubrir muchas situaciones multidimensionales. ^[30] El término "totalmente multidimensional" también se ha utilizado para referirse a un multigrafo multipartito etiquetado con bordes. ^[31] Las redes multidimensionales también se han replanteado recientemente como casos específicos de redes multicapa. ^[1]^[5]^[6]^[32] En este caso, hay tantas capas como dimensiones, y los vínculos entre los nodos dentro de cada capa son simplemente todos los vínculos para una dimensión determinada.

Definición

Redes multicapa no ponderadas

En teoría elemental de redes, una red se representa mediante un gráfico en el que se encuentra el conjunto de nodos y los enlaces entre nodos, típicamente representado como una tupla de nodos . Si bien esta formalización básica es útil para analizar muchos sistemas, las redes del mundo real a menudo tienen complejidad añadida en forma de múltiples tipos de relaciones entre elementos del sistema. Una formalización temprana de esta idea se produjo a través de su aplicación en el campo del análisis de redes sociales (ver, por ejemplo, ^[33] y artículos sobre álgebras relacionales en redes sociales) en el que múltiples formas de conexión social entre personas estaban representadas por múltiples tipos de vínculos. . ^[34] $G=(V,E)$ $V$ $E$ $u,v\in V$

Para dar cabida a la presencia de más de un tipo de vínculo, una red multidimensional se representa mediante un triple , donde es un conjunto de dimensiones (o capas), cada miembro del cual es un tipo diferente de vínculo y consta de tripletes con y . ^[6] $G=(V,E,D)$ $D$ $E$ $(u,v,d)$ $u,v\in V$ $d\in D$

Tenga en cuenta que, como en todos los gráficos dirigidos , los enlaces y son distintos. $(u,v,d)$ $(v,u,d)$

Por convención, el número de enlaces entre dos nodos en una dimensión determinada es 0 o 1 en una red multidimensional. Sin embargo, el número total de enlaces entre dos nodos en todas las dimensiones es menor o igual a . $|D|$

Redes multicapa ponderadas

En el caso de una red ponderada , este triplete se expande a un cuatrillizo , donde es el peso en el vínculo entre y en la dimensión . $e=(u,v,d,w)$ $w$ $u$ $v$ $d$

Además, como suele ser útil en el análisis de redes sociales, los pesos de los enlaces pueden adoptar valores positivos o negativos. Estas redes firmadas pueden reflejar mejor relaciones como la amistad y la enemistad en las redes sociales. ^[31] Alternativamente, los signos de enlace pueden representarse como dimensiones mismas, ^[35] por ejemplo, dónde y Este enfoque tiene un valor particular cuando se consideran redes no ponderadas. $G=(V,E,D)$ $D=\{-1,0,1\}$ $E=\{(u,v,d);u,v\in V,d\in D\}$

Esta concepción de dimensionalidad se puede ampliar si es necesario especificar atributos en múltiples dimensiones. En este caso, los enlaces son n -tuplas . Esta formulación ampliada, en la que pueden existir vínculos dentro de múltiples dimensiones, es poco común, pero se ha utilizado en el estudio de redes multidimensionales que varían en el tiempo . ^[36] $e=(u,v,d_{1}\dots d_{n-2})$

Formulación general en términos de tensores.

Mientras que las redes unidimensionales tienen matrices de adyacencia bidimensionales de tamaño , en una red multidimensional con dimensiones, la matriz de adyacencia se convierte en un tensor de adyacencia multicapa, una matriz de tamaño de cuatro dimensiones . ^[3] Al utilizar la notación de índice , las matrices de adyacencia se pueden indicar mediante , para codificar conexiones entre nodos y , mientras que los tensores de adyacencia multicapa se indican mediante , para codificar conexiones entre nodo en capa y nodo en capa . Al igual que en las matrices unidimensionales, este marco admite fácilmente enlaces dirigidos, enlaces firmados y pesos. $V\times V$ $D$ $(V\times D)\times (V\times D)$ $A_{j}^{i}$ $i$ $j$ $M_{j\beta }^{i\alpha }$ $i$ $\alpha$ $j$ $\beta$

En el caso de las redes multiplex , que son tipos especiales de redes multicapa donde los nodos no pueden interconectarse con otros nodos en otras capas, una matriz tridimensional de tamaño con entradas es suficiente para representar la estructura del sistema ^[8]^{[37 ]} codificando conexiones entre nodos y en capa . $(V\times V)\times D$ $A_{ij}^{\alpha }$ $i$ $j$ $\alpha$

Definiciones específicas de redes multidimensionales

Vecinos multicapa

En una red multidimensional, los vecinos de algún nodo son todos nodos conectados entre dimensiones. $v$ $v$

Longitud del camino multicapa

Una ruta entre dos nodos en una red multidimensional se puede representar mediante un vector r en el que la enésima entrada en r es el número de enlaces atravesados en la enésima dimensión de . ^[38] Al igual que con el grado de superposición, la suma de estos elementos se puede tomar como una medida aproximada de la longitud del camino entre dos nodos. $=(r_{1},\dots r_{|D|})$ $i$ $i$ $G$

Red de capas

La existencia de múltiples capas (o dimensiones) permite introducir el nuevo concepto de red de capas , ^[3] peculiar de las redes multicapa. De hecho, las capas podrían estar interconectadas de tal manera que su estructura pueda describirse mediante una red, como se muestra en la figura.

La red de capas suele estar ponderada (y podría estar dirigida), aunque, en general, las ponderaciones dependen de la aplicación de interés. Un enfoque simple es, para cada par de capas, sumar todos los pesos en las conexiones entre sus nodos para obtener pesos de borde que se puedan codificar en una matriz . El tensor de adyacencia de rango 2, que representa la red subyacente de capas en el espacio, viene dado por $q_{\alpha \beta }$ $\mathbb {R} ^{L\times L}$

$\Psi _{\delta }^{\gamma }=\sum \limits _{\alpha ,\beta =1}^{L}q_{\alpha \beta }E_{\delta }^{\gamma }(\alpha \beta )$

donde es la matriz canónica con todos los componentes iguales a cero excepto la entrada correspondiente a fila y columna , que es igual a uno. Usando la notación tensorial, es posible obtener la red (ponderada) de capas a partir del tensor de adyacencia multicapa como . ^[3] $E_{\delta }^{\gamma }(\alpha \beta )$ $\alpha$ $\beta$ $\Psi _{\delta }^{\gamma }=M_{j\delta }^{i\gamma }U_{i}^{j}$

Medidas de centralidad

Grado

En una red multidimensional no interconectada, donde los enlaces entre capas están ausentes, el grado de un nodo está representado por un vector de longitud . A continuación se muestra una forma alternativa de indicar el número de capas en redes multicapa. Sin embargo, para algunos cálculos puede resultar más útil simplemente sumar el número de enlaces adyacentes a un nodo en todas las dimensiones. ^[3]^[39] Este es el grado de superposición : ^[4] . Al igual que con las redes unidimensionales, también se puede establecer una distinción entre enlaces entrantes y enlaces salientes. Si hay enlaces entre capas, la definición anterior debe adaptarse para tenerlos en cuenta, y el grado de múltiples capas viene dado por $|D|:\mathbf {k} =(k_{i}^{1},\dots k_{i}^{|D|})$ $|D|$ $L$ $\sum _{\alpha =1}^{|D|}k_{i}^{\alpha }$

$k^{i}=M_{j\beta }^{i\alpha }U_{\alpha }^{\beta }u^{j}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{L}\sum _{j=1}^{N}M_{j\beta }^{i\alpha }$

donde los tensores y tienen todos los componentes iguales a 1. La heterogeneidad en el número de conexiones de un nodo en las diferentes capas se puede tener en cuenta mediante el coeficiente de participación. ^[4] $U_{\alpha }^{\beta }$ $u^{j}$

Versatilidad como centralidad multicapa

Cuando se extiende a redes multicapa interconectadas, es decir, aquellos sistemas donde los nodos están conectados entre capas, el concepto de centralidad se entiende mejor en términos de versatilidad. ^[10] Los nodos que no son centrales en cada capa podrían ser los más importantes para los sistemas multicapa en ciertos escenarios. Por ejemplo, este es el caso en el que dos capas codifican redes diferentes con un solo nodo en común: es muy probable que dicho nodo tenga la puntuación de centralidad más alta porque es responsable del flujo de información entre capas.

Versatilidad de vectores propios

En cuanto a las redes unidimensionales, la versatilidad de los vectores propios se puede definir como la solución del problema de valores propios dado por , donde se utiliza la convención de suma de Einstein en aras de la simplicidad. Aquí, se proporciona la generalización multicapa de la centralidad del vector propio de Bonacich por nodo por capa. La versatilidad general del vector propio se obtiene simplemente sumando las puntuaciones entre capas como . ^[3]^[10] $M_{j\beta }^{i\alpha }\Theta _{i\alpha }=\lambda _{1}\Theta _{j\beta }$ $\Theta _{j\beta }=\lambda _{1}^{-1}M_{j\beta }^{i\alpha }\Theta _{i\alpha }$ $\theta _{i}=\Theta _{i\alpha }u^{\alpha }$

Versatilidad Katz

En cuanto a su contraparte unidimensional , la versatilidad de Katz se obtiene como la solución de la ecuación tensorial , donde , es una constante menor que el valor propio más grande y es otra constante generalmente igual a 1. La versatilidad general de Katz se obtiene simplemente sumando las puntuaciones a través de capas como . ^[10] $\Phi _{j\beta }=[(\delta -aM)^{-1}]_{j\beta }^{i\alpha }U_{i\alpha }$ $\Phi _{j\beta }=aM_{j\beta }^{i\alpha }\Phi _{i\alpha }+bu_{j\beta }$ $\delta _{j\beta }^{i\alpha }=\delta _{j}^{i}\delta _{\beta }^{\alpha }$ $a$ $b$ $\phi _{i}=\Phi _{i\alpha }u^{\alpha }$

Versatilidad de éxitos

Para redes unidimensionales, el algoritmo HITS fue introducido originalmente por Jon Kleinberg para calificar páginas web. La suposición básica del algoritmo es que las páginas relevantes, denominadas autoridades, son señaladas por páginas web especiales, denominadas centros. Este mecanismo puede describirse matemáticamente mediante dos ecuaciones acopladas que se reducen a dos problemas de valores propios. Cuando la red no está dirigida, la centralidad de Autoridad y Hub son equivalentes a la centralidad de vector propio. Estas propiedades se preservan mediante la extensión natural de las ecuaciones propuestas por Kleinberg al caso de redes multicapa interconectadas, dadas por y , donde indica el operador transpuesto e indica la centralidad del centro y la autoridad, respectivamente. Al contraer los tensores hub y de autoridad, se obtienen las versatilidades generales como y , respectivamente. ^[10] $(MM^{t})_{j\beta }^{i\alpha }\Gamma _{i\alpha }=\lambda _{1}\Gamma _{j\beta }$ $(M^{t}M)_{j\beta }^{i\alpha }\Upsilon _{i\alpha }=\lambda _{1}\Upsilon _{j\beta }$ $t$ $\Gamma _{i\alpha }$ $\Upsilon _{i\alpha }$ $\gamma _{i}=\Gamma _{i\alpha }u^{\alpha }$ $\upsilon _{i}=\Upsilon _{i\alpha }u^{\alpha }$

Versatilidad del PageRank

PageRank , introducido originalmente para clasificar páginas web, también puede considerarse como una medida de centralidad para redes multicapa interconectadas.

Vale la pena señalar que PageRank puede verse como la solución de estado estacionario de un proceso especial de Markov en la parte superior de la red. Los caminantes aleatorios exploran la red de acuerdo con una matriz de transición especial y su dinámica se rige por una ecuación maestra de paseo aleatorio . Es fácil demostrar que la solución de esta ecuación es equivalente al vector propio principal de la matriz de transición.

Los paseos aleatorios también se han definido en el caso de redes multicapa interconectadas ^[15] y multigrafos con bordes coloreados (también conocidos como redes multiplex). ^[40] Para redes multicapa interconectadas, el tensor de transición que gobierna la dinámica de los caminantes aleatorios dentro y entre capas viene dado por , donde es una constante, generalmente establecida en 0,85, es el número de nodos y es el número de capas o dimensiones. Aquí, podría denominarse tensor de Google y es el tensor de rango 4 con todos los componentes iguales a 1. $R_{j\beta }^{i\alpha }=rT_{j\beta }^{i\alpha }+{\frac {(1-r)}{NL}}u_{j\beta }^{i\alpha },$ $r$ $N$ $L$ $R_{j\beta }^{i\alpha }$ $u_{j\beta }^{i\alpha }$

Como su contraparte unidimensional, la versatilidad de PageRank consta de dos contribuciones: una que codifica un paseo aleatorio clásico con velocidad y otra que codifica la teletransportación a través de nodos y capas con velocidad . $r$ $1-r$

Si lo indicamos mediante el tensor propio del tensor de Google , que denota la probabilidad de estado estacionario de encontrar al caminante en el nodo y la capa , el PageRank multicapa se obtiene sumando el eigentensor sobre capas: ^[10] $\Omega _{i\alpha }$ $R_{j\beta }^{i\alpha }$ $i$ $\alpha$ $\omega _{i}=\Omega _{i\alpha }u^{\alpha }$

Cierre triádico y coeficientes de agrupamiento.

Como muchas otras estadísticas de redes, el significado de un coeficiente de agrupamiento se vuelve ambiguo en redes multidimensionales, debido al hecho de que las tripletas pueden estar cerradas en dimensiones diferentes a las que originaron. ^[4]^[41]^[42] Se han realizado varios intentos para definir los coeficientes de agrupamiento local, pero estos intentos han resaltado el hecho de que el concepto debe ser fundamentalmente diferente en dimensiones superiores: algunos grupos han basado su trabajo en definiciones no estándar , ^[42] mientras que otros han experimentado con diferentes definiciones de paseos aleatorios y 3 ciclos en redes multidimensionales. ^[4]^[41]

Descubrimiento comunitario

Si bien las estructuras multidimensionales se han estudiado previamente, ^[43]^[44] no logran detectar asociaciones más sutiles que se encuentran en algunas redes. Adoptar una visión ligeramente diferente de la definición de "comunidad" en el caso de redes multidimensionales permite una identificación confiable de comunidades sin el requisito de que los nodos estén en contacto directo entre sí. ^[3]^[8]^[9]^[45] Por ejemplo, dos personas que nunca se comunican directamente y aun así navegan por muchos de los mismos sitios web serían candidatos viables para este tipo de algoritmo.

Maximización de la modularidad

Mucha et al. propusieron originalmente una generalización del conocido método de maximización de la modularidad para el descubrimiento de comunidades. ^[8] Este método de resolución múltiple asume una representación tensorial tridimensional de la conectividad de la red dentro de capas, como para los multigrafos con bordes coloreados, y una representación tensorial tridimensional de la conectividad de la red entre capas. Depende del parámetro de resolución y del peso de las conexiones entre capas. En una notación más compacta, haciendo uso de la notación tensorial, la modularidad se puede escribir como , donde , es el tensor de adyacencia multicapa, es el tensor que codifica el modelo nulo y el valor de los componentes de se define como 1 cuando un nodo en la capa pertenece a una comunidad particular, etiquetada por índice , y 0 cuando no es así. ^[3] $\gamma$ $\omega$ $Q\propto S_{i\alpha }^{a}B_{j\beta }^{i\alpha }S_{a}^{j\beta }$ $B_{j\beta }^{i\alpha }=M_{j\beta }^{i\alpha }-P_{j\beta }^{i\alpha }$ $M_{j\beta }^{i\alpha }$ $P_{j\beta }^{i\alpha }$ $S_{a}^{i\alpha }$ $i$ $\alpha$ $a$

Descomposición tensorial

Se ha propuesto la factorización matricial no negativa para extraer la estructura de actividad comunitaria de las redes temporales. ^[46] La red multicapa está representada por un tensor tridimensional , como un multigrafo de borde coloreado, donde el orden de las capas codifica la flecha del tiempo. Se aplica así la factorización tensorial mediante descomposición de Kruskal para asignar cada nodo a una comunidad a lo largo del tiempo. $T_{ij}^{\tau }$ $T_{ij}^{\tau }$

Inferencia estadística

Se han propuesto métodos basados en inferencia estadística, que generalizan los enfoques existentes introducidos para redes unidimensionales. El modelo de bloques estocástico es el modelo generativo más utilizado, apropiadamente generalizado al caso de redes multicapa. ^[47]^[48]

En cuanto a las redes unidimensionales, se pueden utilizar métodos basados en principios, como la longitud mínima de descripción, para la selección de modelos en métodos de detección de comunidades basados en el flujo de información. ^[9]

Reducibilidad estructural

Dada la mayor complejidad de las redes multicapa con respecto a las redes unidimensionales, se dedica un campo activo de investigación a simplificar la estructura de dichos sistemas empleando algún tipo de reducción de dimensionalidad. ^[22]^[49]

Un método popular se basa en el cálculo de la divergencia cuántica de Jensen-Shannon entre todos los pares de capas, que luego se explota por sus propiedades métricas para construir una matriz de distancias y agrupar jerárquicamente las capas. Las capas se agregan sucesivamente según el árbol jerárquico resultante y el procedimiento de agregación se detiene cuando la función objetivo , basada en la entropía de la red , obtiene un máximo global. Este enfoque codicioso es necesario porque el problema subyacente requeriría verificar todos los grupos de capas posibles de cualquier tamaño, lo que requiere una gran cantidad de combinaciones posibles (que viene dada por el número de Bell y escala superexponencialmente con el número de unidades). Sin embargo, para sistemas multicapa con un pequeño número de capas, se ha demostrado que el método funciona de manera óptima en la mayoría de los casos. ^[22]

Otros descriptores de red multicapa

Correlaciones de grado

La cuestión de las correlaciones de grado en redes unidimensionales es bastante sencilla: ¿tienden las redes de grado similar a conectarse entre sí? En las redes multidimensionales, lo que significa esta pregunta se vuelve menos claro. Cuando nos referimos al grado de un nodo, ¿nos referimos a su grado en una dimensión o colapsado en todas? Cuando buscamos sondear la conectividad entre nodos, ¿estamos comparando los mismos nodos entre dimensiones, o diferentes nodos dentro de dimensiones, o una combinación? ^[6] ¿Cuáles son las consecuencias de las variaciones en cada una de estas estadísticas en otras propiedades de la red? En un estudio, se descubrió que la asortatividad disminuye la robustez en una red dúplex. ^[50]

Dominio del camino

Dados dos caminos multidimensionales, r y s , decimos que r domina a s si y sólo si: y tal que . ^[38] $\forall d\in \langle 1,|D|\rangle ,r_{l}\leq s_{l}$ $\exists i$ $r_{l}<s_{l}$

Descubrimiento del camino más corto

Entre otras estadísticas de la red, muchas medidas de centralidad se basan en la capacidad de evaluar los caminos más cortos de un nodo a otro. Extender estos análisis a una red multidimensional requiere incorporar conexiones adicionales entre nodos en los algoritmos utilizados actualmente (por ejemplo, el de Dijkstra ). Los enfoques actuales incluyen el colapso de conexiones de enlaces múltiples entre nodos en un paso de preprocesamiento antes de realizar variaciones en una búsqueda en amplitud de la red. ^[28]

Distancia multidimensional

Una forma de evaluar la distancia entre dos nodos en una red multidimensional es comparando todos los caminos multidimensionales entre ellos y eligiendo el subconjunto que definimos como la vía de dominancia de camino más corta: sea el conjunto de todos los caminos entre y . Entonces la distancia entre y es un conjunto de caminos tal que tal que domina . La longitud de los elementos en el conjunto de caminos más cortos entre dos nodos se define, por tanto, como distancia multidimensional . ^[38] $MP(u,v)$ $u$ $v$ $u$ $v$ $P\subseteq MP$ $\forall p\in P,\nexists p'\in MP$ $p'$ $p$

Relevancia de la dimensión

En una red multidimensional , la relevancia de una dimensión determinada (o conjunto de dimensiones) para un nodo se puede evaluar mediante la relación: . ^[39] $G=(V,E,D)$ $D'$ ${\frac {{\text{Neighbors}}(v,D')}{{\text{Neighbors}}(v,D)}}$

Conectividad dimensional

En una red multidimensional en la que diferentes dimensiones de conexión tienen diferentes valores en el mundo real, las estadísticas que caracterizan la distribución de enlaces a las distintas clases son de interés. Por lo tanto, es útil considerar dos métricas que evalúan esto: la conectividad de dimensión y la conectividad de dimensión exclusiva del borde. El primero es simplemente la relación entre el número total de vínculos en una dimensión determinada y el número total de vínculos en cada dimensión: . Este último evalúa, para una dimensión determinada, el número de pares de nodos conectados únicamente por un vínculo en esa dimensión: . ^[39] ${\frac {|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\}|}{|E|}}$ ${\frac {|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\wedge \forall j\in D,j\neq d:(u,v,j)\notin E\}|}{|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\}|}}$

Detección de ráfagas

La explosión es un fenómeno bien conocido en muchas redes del mundo real, por ejemplo, el correo electrónico u otras redes de comunicación humana. Dimensiones adicionales de la comunicación proporcionan una representación más fiel de la realidad y pueden resaltar estos patrones o disminuirlos. Por lo tanto, es de vital importancia que nuestros métodos para detectar el comportamiento de ráfagas en redes se adapten a redes multidimensionales. ^[51]

Procesos de difusión en redes multicapa.

Los procesos de difusión se utilizan ampliamente en física para explorar sistemas físicos, así como en otras disciplinas como las ciencias sociales, la neurociencia, el transporte urbano e internacional o las finanzas. Recientemente, se han generalizado procesos de difusión simples y más complejos a redes multicapa. ^[23]^[52] Un resultado común a muchos estudios es que la difusión en redes multiplex, un tipo especial de sistema multicapa, exhibe dos regímenes: 1) el peso de los enlaces entre capas, que conectan las capas entre sí, no es lo suficientemente alto y el sistema multiplex se comporta como dos (o más) redes desacopladas; 2) el peso de los enlaces entre capas es lo suficientemente alto como para que las capas se acoplen entre sí, generando fenómenos físicos inesperados. ^[23] Se ha demostrado que hay una transición abrupta entre estos dos regímenes. ^[53]

De hecho, todos los descriptores de red que dependen de algún proceso de difusión, desde medidas de centralidad hasta detección de comunidad, se ven afectados por el acoplamiento capa-capa. Por ejemplo, en el caso de la detección de comunidades, un acoplamiento bajo (donde la información de cada capa por separado es más relevante que la estructura general) favorece los grupos dentro de las capas, mientras que un acoplamiento alto (donde la información de todas las capas simultáneamente es más relevante que la de cada capa por separado) ) favorece los grupos de capas cruzadas. ^[8]^[9]

Paseos aleatorios

En cuanto a las redes unidimensionales, es posible definir paseos aleatorios sobre los sistemas multicapa. Sin embargo, dada la estructura multicapa subyacente, los caminantes aleatorios no están limitados a moverse de un nodo a otro dentro de la misma capa ( saltar ), sino que también pueden moverse entre capas ( cambiar ). ^[15]

Los paseos aleatorios se pueden utilizar para explorar un sistema multicapa con el objetivo final de desentrañar su organización de mesoescala , es decir, dividirlo en comunidades , ^[8]^[9] y recientemente se han utilizado para comprender mejor la navegabilidad de las redes multicapa y su resistencia al azar. [ 15 ^] así como para explorar eficientemente este tipo de topologías. ^[54]

En el caso de sistemas multicapa interconectados, la probabilidad de pasar de un nodo en una capa a un nodo en una capa se puede codificar en el tensor de transición de rango 4 y el recorrido en tiempo discreto se puede describir mediante la ecuación maestra. $i$ $\alpha$ $j$ $\beta$ $T_{j\beta }^{i\alpha }$

$p_{j\beta }(t+1)=\sum _{\alpha =1}^{L}\sum _{i=1}^{N}T_{j\beta }^{i\alpha }p_{i\alpha }(t)=\sum _{\alpha =1}^{L}\sum _{i=1}^{N}(T^{t})_{j\beta }^{i\alpha }p_{i\alpha }(0)$

donde indica la probabilidad de encontrar al caminante en el nodo de la capa en el momento . ^[3]^[15] $p_{i\alpha }(t)$ $i$ $\alpha$ $t$

Hay muchos tipos diferentes de caminatas que se pueden codificar en el tensor de transición , dependiendo de cómo se permite a los caminantes saltar y cambiar. Por ejemplo, el caminante puede saltar o cambiar en un solo paso de tiempo sin distinguir entre enlaces entre capas e intracapas ( paseo aleatorio clásico ), o puede elegir permanecer en la capa actual y saltar, o cambiar de capa y capa. luego salte a otro nodo en el mismo paso de tiempo ( caminata aleatoria física ). En la literatura se pueden encontrar reglas más complicadas, correspondientes a problemas específicos a resolver. ^[23] En algunos casos, es posible encontrar, analíticamente, la solución estacionaria de la ecuación maestra. ^[15]^[54] $T_{j\beta }^{i\alpha }$

Difusión clásica

El problema de la difusión clásica en redes complejas es comprender cómo fluirá una cantidad a través del sistema y cuánto tiempo tardará en alcanzar el estado estacionario. La difusión clásica en redes multiplex se ha estudiado recientemente introduciendo el concepto de matriz de supraadyacencia, ^[55] posteriormente reconocida como un aplanamiento especial del tensor de adyacencia multicapa. ^[3] En notación tensorial, la ecuación de difusión en la parte superior de un sistema multicapa general se puede escribir, de manera concisa, como

${\frac {dX_{j\beta }(t)}{dt}}=-L_{j\beta }^{i\alpha }X_{i\alpha }(t)$

¿Dónde está la cantidad de cantidad que se difunde en el momento del nodo de la capa ? El tensor de rango 4 que gobierna la ecuación es el tensor laplaciano, que generaliza la matriz combinatoria laplaciana de redes unidimensionales. Vale la pena señalar que en notación no tensorial, la ecuación adopta una forma más complicada. $X_{i\alpha }(t)$ $t$ $i$ $\alpha$

Muchas de las propiedades de este proceso de difusión se entienden completamente en términos del segundo valor propio más pequeño del tensor laplaciano. Es interesante que la difusión en un sistema multiplex puede ser más rápida que la difusión en cada capa por separado o en su agregación, siempre que se cumplan ciertas propiedades espectrales. ^[55]

Información y propagación de epidemias

Recientemente, la forma en que la información (o las enfermedades) se propaga a través de un sistema multicapa ha sido objeto de intensas investigaciones. ^[56]^[1]^[57]^[58]^[59]

Referencias

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