Una red espacial (a veces también grafo geométrico ) es un grafo en el que los vértices o aristas son elementos espaciales asociados a objetos geométricos , es decir, los nodos se encuentran en un espacio dotado de una determinada métrica . [1] [2] La realización matemática más simple de una red espacial es una red o un grafo geométrico aleatorio (véase la figura de la derecha), donde los nodos se distribuyen uniformemente al azar sobre un plano bidimensional; un par de nodos están conectados si la distancia euclidiana es menor que un radio de vecindad dado. Las redes de transporte y movilidad , Internet , las redes de telefonía móvil , las redes eléctricas , las redes sociales y de contacto y las redes neuronales biológicas son ejemplos en los que el espacio subyacente es relevante y en los que la topología del grafo por sí sola no contiene toda la información. Caracterizar y comprender la estructura, la resiliencia y la evolución de las redes espaciales es crucial para muchos campos diferentes, desde el urbanismo hasta la epidemiología.
Se puede construir una red espacial urbana abstrayendo las intersecciones como nodos y las calles como enlaces, lo que se denomina red de transporte .
Se podría pensar en el "mapa espacial" como la imagen negativa del mapa estándar, con el espacio abierto recortado de los edificios o paredes del fondo. [3]
Los siguientes aspectos son algunas de las características para examinar una red espacial: [1]
En muchas aplicaciones, como ferrocarriles, carreteras y otras redes de transporte, se supone que la red es plana . Las redes planas constituyen un grupo importante de redes espaciales, pero no todas las redes espaciales son planas. De hecho, las redes de pasajeros de las aerolíneas son un ejemplo no plano: muchos aeropuertos grandes del mundo están conectados a través de vuelos directos.
Existen ejemplos de redes que no parecen estar "directamente" insertas en el espacio. Las redes sociales, por ejemplo, conectan a individuos a través de relaciones de amistad. Pero en este caso, el espacio interviene en el hecho de que la probabilidad de conexión entre dos individuos suele disminuir con la distancia entre ellos.
Una red espacial se puede representar mediante un diagrama de Voronoi , que es una forma de dividir el espacio en varias regiones. El gráfico dual de un diagrama de Voronoi corresponde a la triangulación de Delaunay para el mismo conjunto de puntos. Las teselaciones de Voronoi son interesantes para las redes espaciales en el sentido de que proporcionan un modelo de representación natural con el que se puede comparar una red del mundo real.
Examinar la topología de los nodos y aristas es otra forma de caracterizar las redes. A menudo se considera la distribución de grados de los nodos; en cuanto a la estructura de las aristas, es útil encontrar el árbol de expansión mínimo o la generalización, el árbol de Steiner y el grafo de vecindad relativa .
En el mundo "real", muchos aspectos de las redes no son deterministas: la aleatoriedad desempeña un papel importante. Por ejemplo, los nuevos vínculos que representan amistades en las redes sociales son, en cierta manera, aleatorios. Por consiguiente, es necesario modelar las redes espaciales en relación con las operaciones estocásticas. En muchos casos, se utiliza el proceso de Poisson espacial para aproximar conjuntos de datos de procesos en redes espaciales. Otros aspectos estocásticos de interés son:
Otra definición de red espacial se deriva de la teoría de la sintaxis espacial . Puede ser notoriamente difícil decidir qué debería ser un elemento espacial en espacios complejos que involucran grandes áreas abiertas o muchos caminos interconectados. Los creadores de la sintaxis espacial, Bill Hillier y Julienne Hanson, utilizan líneas axiales y espacios convexos como elementos espaciales. En términos generales, una línea axial es la "línea de visión y acceso más larga" a través del espacio abierto, y un espacio convexo es el "polígono convexo máximo" que se puede dibujar en el espacio abierto. Cada uno de estos elementos se define por la geometría del límite local en diferentes regiones del mapa espacial. La descomposición de un mapa espacial en un conjunto completo de líneas axiales que se intersecan o espacios convexos superpuestos produce el mapa axial o el mapa convexo superpuesto respectivamente. Existen definiciones algorítmicas de estos mapas, y esto permite que el mapeo de un mapa espacial de forma arbitraria a una red susceptible de matemáticas gráficas se lleve a cabo de una manera relativamente bien definida. Los mapas axiales se utilizan para analizar redes urbanas , donde el sistema generalmente comprende segmentos lineales, mientras que los mapas convexos se utilizan con mayor frecuencia para analizar planos de edificios donde los patrones espaciales suelen estar articulados de forma más convexa; sin embargo, tanto los mapas convexos como los axiales se pueden utilizar en cualquier situación.
Actualmente, existe un movimiento dentro de la comunidad de sintaxis espacial para integrarse mejor con los sistemas de información geográfica (SIG), y gran parte del software que producen se interconecta con los sistemas SIG disponibles comercialmente.
Mientras que las redes y los grafos ya han sido objeto de muchos estudios en matemáticas , física, sociología matemática e informática , las redes espaciales también se han estudiado intensamente durante la década de 1970 en la geografía cuantitativa. Los objetos de estudio en geografía son, entre otros, las ubicaciones, las actividades y los flujos de individuos, pero también las redes que evolucionan en el tiempo y el espacio. [4] La mayoría de los problemas importantes, como la ubicación de los nodos de una red, la evolución de las redes de transporte y su interacción con la población y la densidad de actividad, se abordan en estos estudios anteriores. Por otro lado, muchos puntos importantes aún permanecen sin aclarar, en parte porque en ese momento faltaban conjuntos de datos de grandes redes y capacidades informáticas mayores. Recientemente, las redes espaciales han sido objeto de estudios en estadística , para conectar probabilidades y procesos estocásticos con redes en el mundo real. [5]