Raíz cuadrada de una matriz de 2 por 2

Una raíz cuadrada de una matriz M de 2×2 es otra matriz R de 2×2 tal que M = R ² , donde R ² representa el producto matricial de R consigo mismo. En general, puede haber cero, dos, cuatro o incluso una infinidad de matrices de raíz cuadrada . En muchos casos, dicha matriz R puede obtenerse mediante una fórmula explícita.

Las raíces cuadradas que no son la matriz de todos ceros vienen en pares: si R es una raíz cuadrada de M , entonces − R también es una raíz cuadrada de M , ya que (− R )(− R ) = (−1)(− 1)( RR ) = R ² = M .
Una matriz de 2 × 2 con dos valores propios distintos de cero tiene cuatro raíces cuadradas. Una matriz definida positiva tiene precisamente una raíz cuadrada definida positiva.

Una fórmula general

La siguiente es una fórmula general que se aplica a casi cualquier matriz de 2 × 2. ^[1] Sea la matriz dada

$${\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},}$$

ABCDτADtrazaMδADBCdeterminantess ²δtt ²τ2s

$${\displaystyle s=\pm {\sqrt {\delta }},\qquad t=\pm {\sqrt {\tau +2s}}.}$$

tM

$${\displaystyle R={\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}A+s&B\\C&D+s\end{pmatrix}}={\frac {1}{t}}\left(M+sI\right).}$$

De hecho, el cuadrado de R es

$${\displaystyle {\begin{aligned}R^{2}&={\frac {1}{t^{2}}}{\begin{pmatrix}A^{2}+BC+2sA+s^{2}&AB+BD+2sB\\CA+DC+2sC&CB+D^{2}+2sD+s^{2}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\frac {1}{t^{2}}}{\begin{pmatrix}A^{2}+BC+2sA+AD-BC&AB+BD+2sB\\AC+CD+2sC&BC+D^{2}+2sD+AD-BC\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\frac {1}{A+D+2s}}{\begin{pmatrix}A(A+D+2s)&B(A+D+2s)\\C(A+D+2s)&D(A+D+2s)\end{pmatrix}}=M.\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que R puede tener entradas complejas incluso si M es una matriz real; este será el caso, en particular, si el determinante δ es negativo.

El caso general de esta fórmula es cuando δ es distinto de cero y τ ² ≠ 4 δ , en cuyo caso s es distinto de cero y t es distinto de cero para cada elección de signo de s . Entonces la fórmula anterior proporcionará cuatro raíces cuadradas distintas R , una para cada elección de signos para s y t .

Casos especiales de la fórmula.

Si el determinante δ es cero, pero la traza τ es distinta de cero, la fórmula general anterior dará solo dos soluciones distintas, correspondientes a los dos signos de t . A saber,

$${\displaystyle R=\pm {\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\pm {\frac {1}{t}}M,}$$

tτ

La fórmula también proporciona sólo dos soluciones distintas si δ es distinto de cero y τ ² = 4 δ (el caso de valores propios duplicados ), en cuyo caso una de las opciones para s hará que el denominador t sea cero. En ese caso, las dos raíces son

$${\displaystyle R=\pm {\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}A+s&B\\C&D+s\end{pmatrix}}=\pm {\frac {1}{t}}\left(M+sI\right),}$$

sδτstτs

La fórmula anterior falla completamente si δ y τ son ambos cero; es decir, si D = − A y A ² = − BC , de modo que tanto la traza como el determinante de la matriz sean cero. En este caso, si M es la matriz nula (con A = B = C = D = 0), entonces la matriz nula también es una raíz cuadrada de M , como lo es cualquier matriz.

$${\displaystyle R={\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad R={\begin{pmatrix}0&b\\0&0\end{pmatrix}},}$$

donde b y c son valores reales o complejos arbitrarios. De lo contrario, M no tiene raíz cuadrada.

Fórmulas para matrices especiales.

matriz idempotente

Si M es una matriz idempotente , lo que significa que MM = M , entonces si no es la matriz identidad, su determinante es cero y su traza es igual a su rango , que (excluyendo la matriz cero) es 1. Entonces la fórmula anterior tiene s = 0 y τ = 1, dando M y − M como dos raíces cuadradas de M.

Matriz exponencial

Si la matriz M se puede expresar como múltiplo real del exponente de alguna matriz A , entonces dos de sus raíces cuadradas son . En este caso la raíz cuadrada es real. ^[2] ${\displaystyle M=r\exp(A)}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {r}}\exp \left({\tfrac {1}{2}}A\right)}$

Matriz diagonal

Si M es diagonal (es decir, B = C = 0), se puede utilizar la fórmula simplificada

$${\displaystyle R={\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}},}$$

donde a = ±√ A y d = ±√ D . Esto, para las diversas opciones de signos, da cuatro, dos o una matriz distinta, si ninguna de, solo una de, o ambas, A y D son cero, respectivamente.

Matriz de identidad

Debido a que tiene valores propios duplicados, la matriz identidad 2×2 tiene infinitas raíces cuadradas racionales simétricas dadas por ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$

$${\displaystyle {\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}s&r\\r&-s\end{pmatrix}}{\text{ and }}{\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}},}$$

( r , s , t )^[3] ${\displaystyle r^{2}+s^{2}=t^{2}.}$

Matriz con un cero fuera de la diagonal

Si B es cero, pero A y D no son ambos cero, se puede usar

$${\displaystyle R={\begin{pmatrix}a&0\\{\frac {C}{a+d}}&d\end{pmatrix}}.}$$

Esta fórmula proporcionará dos soluciones si A = D o A = 0 o D = 0, y cuatro en caso contrario. Se puede usar una fórmula similar cuando C es cero, pero A y D no son ambos cero.

Referencias

1. Levinger, Bernard W. (septiembre de 1980), "La raíz cuadrada de una matriz", Mathematics Magazine , 53 (4): 222–224, doi :10.1080/0025570X.1980.11976858, JSTOR  2689616 ${\displaystyle 2\times 2}$
2. Harkin, Anthony A.; Harkin, Joseph B. (2004), "Geometría de números complejos generalizados" (PDF) , Mathematics Magazine , 77 (2): 118–129, doi :10.1080/0025570X.2004.11953236, JSTOR  3219099, MR  1573734
3. Mitchell, Douglas W. (noviembre de 2003), "87.57 Uso de ternas pitagóricas para generar raíces cuadradas de ", The Mathematical Gazette , 87 (510): 499–500, doi : 10.1017/S0025557200173723 , JSTOR  3621289 ${\displaystyle I_{2}}$