Marco de referencia cuántico

Un marco de referencia cuántico es un marco de referencia que se trata en teoría cuántica. Como cualquier marco de referencia , es un sistema de coordenadas abstracto que define magnitudes físicas, como el tiempo , la posición, el momento , el giro , etc. Debido a que se trata dentro del formalismo de la teoría cuántica , tiene algunas propiedades interesantes que no existen en un marco de referencia clásico normal.

Marco de referencia en mecánica clásica y marco inercial

Consideremos un problema de física simple: un automóvil se mueve de tal manera que cubre una distancia de 1 milla cada 2 minutos, ¿cuál es su velocidad en metros por segundo? Con algunas conversiones y cálculos, se puede llegar a la respuesta "13,41 m/s"; por otro lado, se puede responder "0, en relación a sí mismo". La primera respuesta es correcta porque reconoce que en el problema está implícito un marco de referencia. La segunda, aunque pedante, también es correcta porque explota el hecho de que no hay un marco de referencia particular especificado por el problema. Este simple problema ilustra la importancia de un marco de referencia: un marco de referencia es esencial en una descripción clara de un sistema, ya sea que se incluya implícita o explícitamente.

Cuando se habla de un coche que se desplaza hacia el este, se hace referencia a un punto concreto de la superficie de la Tierra; además, como la Tierra está rotando, el coche se está moviendo en realidad hacia una dirección cambiante, con respecto al Sol. De hecho, esto es lo mejor que se puede hacer: describir un sistema en relación con algún marco de referencia. Describir un sistema con respecto a un espacio absoluto no tiene mucho sentido porque un espacio absoluto, si existe, es inobservable. Por tanto, es imposible describir la trayectoria del coche del ejemplo anterior con respecto a algún espacio absoluto. Esta noción de espacio absoluto preocupó a muchos físicos a lo largo de los siglos, incluido Newton. De hecho, Newton era plenamente consciente de ello y afirmó que todos los marcos inerciales son observacionalmente equivalentes entre sí. En pocas palabras, los movimientos relativos de un sistema de cuerpos no dependen del movimiento inercial de todo el sistema. ^[1]

Un sistema de referencia inercial (o sistema inercial en forma abreviada) es un sistema en el que se cumplen todas las leyes físicas. Por ejemplo, en un sistema de referencia giratorio, las leyes de Newton deben modificarse porque hay una fuerza de Coriolis adicional (tal sistema es un ejemplo de sistema no inercial). Aquí, "rotar" significa "rotar con respecto a algún sistema inercial". Por lo tanto, si bien es cierto que siempre se puede elegir un sistema de referencia para que sea cualquier sistema físico por conveniencia, cualquier sistema debe ser descrito eventualmente por un sistema inercial, directa o indirectamente. Finalmente, uno puede preguntarse cómo se puede encontrar un sistema inercial, y la respuesta está en las leyes de Newton , al menos en la mecánica newtoniana : la primera ley garantiza la existencia de un sistema inercial, mientras que la segunda y la tercera ley se utilizan para examinar si un sistema de referencia dado es inercial o no.

Puede parecer que ahora se puede encontrar fácilmente un sistema inercial dadas las leyes de Newton, ya que las pruebas empíricas son accesibles. Todo lo contrario; un sistema absolutamente inercial no se conoce y probablemente nunca se conocerá. En cambio, el sistema inercial es aproximado. Mientras el error de la aproximación sea indetectable por las mediciones, el sistema aproximadamente inercial (o simplemente "sistema efectivo") está razonablemente cerca de un sistema absolutamente inercial. Con el sistema efectivo y suponiendo que las leyes físicas son válidas en dicho sistema, las descripciones de los sistemas terminarán siendo tan buenas como si se usara el sistema absolutamente inercial. Como digresión, el sistema efectivo que usan los astrónomos es un sistema llamado " Sistema Internacional de Referencia Celeste " (ICRF), definido por 212 fuentes de radio y con una precisión de aproximadamente radianes. Sin embargo, es probable que se necesite uno mejor cuando se requiera una aproximación más precisa. ${\displaystyle 10^{-5}}$

Si reconsideramos el problema desde el principio, es posible encontrar en él una falla de ambigüedad, pero en general se entiende que en el problema se utiliza implícitamente un sistema de referencia estándar. De hecho, cuando un sistema de referencia es clásico, no es relevante si se incluye o no en la descripción física de un sistema. Se obtendrá la misma predicción si se trata el sistema de referencia interna o externamente.

Para ilustrar mejor este punto, se utiliza un sistema simple con una pelota que rebota en una pared. En este sistema, la pared puede tratarse como un potencial externo o como un sistema dinámico que interactúa con la pelota. El primero implica poner el potencial externo en las ecuaciones de movimiento de la pelota, mientras que el segundo trata la posición de la pared como un grado de libertad dinámico . Ambos tratamientos proporcionan la misma predicción, y ninguno es particularmente preferido sobre el otro. Sin embargo, como se discutirá más adelante, dicha libertad de elección deja de existir cuando el sistema es mecánico cuántico.

Marco de referencia cuántico

Un marco de referencia puede ser tratado en el formalismo de la teoría cuántica y, en este caso, se lo denomina marco de referencia cuántico. A pesar de tener un nombre y un tratamiento diferentes, un marco de referencia cuántico aún comparte muchas de las nociones con un marco de referencia en mecánica clásica . Está asociado a algún sistema físico y es relacional .

Por ejemplo, si se dice que una partícula de espín 1/2 está en el estado , se implica un marco de referencia, y puede entenderse que es algún marco de referencia con respecto a un aparato en un laboratorio. Es obvio que la descripción de la partícula no la coloca en un espacio absoluto, y hacerlo no tendría ningún sentido porque, como se mencionó anteriormente, el espacio absoluto es empíricamente inobservable. Por otro lado, si se dice que se da un campo magnético a lo largo del eje y, entonces se puede describir el comportamiento de la partícula en dicho campo. En este sentido, y y z son solo direcciones relativas. No tienen ni necesitan tener un significado absoluto. ${\displaystyle \left|\uparrow z\right\rangle }$

Se puede observar que la dirección z utilizada en un laboratorio de Berlín es, por lo general, totalmente diferente de la dirección z utilizada en un laboratorio de Melbourne. Dos laboratorios que intenten establecer un único marco de referencia compartido se enfrentarán a importantes problemas relacionados con la alineación. El estudio de este tipo de comunicación y coordinación es un tema importante en la teoría de la información cuántica .

Al igual que en este ejemplo de partícula de espín 1/2 , los marcos de referencia cuánticos casi siempre se tratan de manera implícita en la definición de estados cuánticos, y el proceso de incluir el marco de referencia en un estado cuántico se denomina cuantificación/internalización del marco de referencia, mientras que el proceso de excluir el marco de referencia de un estado cuántico se denomina descuantificación ^{[ cita requerida ]} /externalización del marco de referencia. A diferencia del caso clásico, en el que tratar una referencia interna o externamente es una elección puramente estética, internalizar y externalizar un marco de referencia sí marca una diferencia en la teoría cuántica. ^[2]

Se puede hacer una última observación sobre la existencia de un sistema de referencia cuántico. Después de todo, un sistema de referencia, por definición, tiene una posición y un momento bien definidos, mientras que la teoría cuántica, es decir, el principio de incertidumbre , establece que no se puede describir ningún sistema cuántico con una posición y un momento bien definidos simultáneamente, por lo que parece que hay cierta contradicción entre ambos. Resulta que se utiliza un sistema efectivo, en este caso uno clásico, como sistema de referencia, al igual que en la mecánica newtoniana se utiliza un sistema casi inercial, y se supone que las leyes físicas son válidas en este sistema efectivo. En otras palabras, es irrelevante si el movimiento en el sistema de referencia elegido es inercial o no.

El siguiente tratamiento de un átomo de hidrógeno, motivado por Aharanov y Kaufherr, puede arrojar luz sobre el asunto. ^[3] Suponiendo que un átomo de hidrógeno se da en un estado de movimiento bien definido, ¿cómo se puede describir la posición del electrón? La respuesta no es describir la posición del electrón en relación con las mismas coordenadas en las que el átomo está en movimiento, porque al hacerlo se violaría el principio de incertidumbre, sino describir su posición en relación con el núcleo. Como resultado, se puede decir más sobre el caso general a partir de esto: en general, es permisible, incluso en la teoría cuántica, tener un sistema con una posición bien definida en un marco de referencia y un movimiento bien definido en algún otro marco de referencia.

Consideraciones adicionales sobre el marco de referencia cuántico

Un ejemplo de tratamiento de los marcos de referencia en la teoría cuántica

Consideremos un átomo de hidrógeno. El potencial de Coulomb depende únicamente de la distancia entre el protón y el electrón:

${\displaystyle V(r)={\frac {-Ze^{2}}{r}}}$

Con esta simetría, el problema se reduce al de una partícula en un potencial central:

${\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi ({\vec {r}})+{\frac {-Ze^{2}}{r}}\psi ({\vec {r}})=E\psi ({\vec {r}})}$

Utilizando la separación de variables , las soluciones de la ecuación se pueden escribir en partes radiales y angulares:

${\displaystyle \Phi (r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )}$

donde , y son los números cuánticos del momento angular orbital, magnético y de energía, respectivamente. ${\displaystyle l,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Consideremos ahora la ecuación de Schrödinger para el protón y el electrón:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2},t)=-iH\Psi (x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2},t)}$

Un cambio de variables a coordenadas relacionales y de centro de masa produce

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi (x,y,z,X,Y,Z)}{\partial t}}=-i[-{\frac {1}{2M}}\nabla _{c.o.m.}^{2}-{\frac {1}{2\mu }}\nabla _{rel}^{2}+V(x,y,z)]\Psi }$

donde es la masa total y es la masa reducida. Un cambio final a coordenadas esféricas seguido de una separación de variables dará como resultado la ecuación para la de arriba. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Phi (r,\theta ,\phi )}$

Sin embargo, si ahora se desea revertir el cambio de variables realizado anteriormente, es necesario volver a incluir el centro de masa en la ecuación para : ${\displaystyle \Phi (r,\theta ,\phi )}$

${\displaystyle r={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}\left({\frac {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}{z_{1}-z_{2}}}\right)}$

${\displaystyle \phi =\tan ^{-1}\left({\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\right)}$

${\displaystyle X={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle Y={\frac {m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle Z={\frac {m_{1}z_{1}+m_{2}z_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

La importancia de este resultado es que muestra que la función de onda del sistema compuesto está entrelazada , contrariamente a lo que uno pensaría normalmente desde un punto de vista clásico. Más importante aún, muestra que la energía del átomo de hidrógeno no solo está asociada con el electrón sino también con el protón, y que el estado total no se puede descomponer en un estado para el electrón y otro para el protón por separado. ^[1]

Reglas de superselección

Las reglas de superselección, en resumen, son reglas postuladas que prohíben la preparación de estados cuánticos que exhiban coherencia entre estados propios de ciertos observables. Originalmente se introdujeron para imponer restricciones adicionales a la teoría cuántica más allá de las reglas de selección . A modo de ejemplo, las reglas de superselección para cargas eléctricas no permiten la preparación de una superposición coherente de diferentes estados propios de carga.

Resulta que la falta de un marco de referencia es matemáticamente equivalente a las reglas de superselección. Se trata de una afirmación contundente, porque durante mucho tiempo se ha considerado que las reglas de superselección tienen una naturaleza axiomática, y ahora se cuestiona su validez fundamental e incluso su necesidad. No obstante, se ha demostrado que, en principio, siempre es posible (aunque no siempre fácil) eliminar todas las reglas de superselección en un sistema cuántico.

Degradación de un marco de referencia cuántico

Durante una medición, siempre que se indagan las relaciones entre el sistema y el marco de referencia utilizado, inevitablemente se produce una perturbación en ambos, lo que se conoce como retroacción de la medición. A medida que este proceso se repite, disminuye la precisión de los resultados de la medición, y dicha reducción de la usabilidad de un marco de referencia se conoce como degradación de un marco de referencia cuántico. ^{[4] [5]} Una forma de medir la degradación de un marco de referencia es cuantificar la longevidad, es decir, la cantidad de mediciones que se pueden realizar contra el marco de referencia hasta que se exceda cierta tolerancia de error.

Por ejemplo, para un sistema de espín, el número máximo de mediciones que se pueden realizar antes de que se exceda la tolerancia de error, , está dado por . Por lo tanto, la longevidad y el tamaño del marco de referencia son de relación cuadrática en este caso particular. ^[6] ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle n_{max}\simeq \epsilon j^{2}}$

En este sistema de espín, la degradación se debe a la pérdida de pureza del estado del marco de referencia. Por otra parte, la degradación también puede ser causada por la desalineación de la referencia de fondo. Se ha demostrado que, en tal caso, la longevidad tiene una relación lineal con el tamaño del marco de referencia. ^[4] ${\displaystyle j}$

Referencias

1. Dickson, Michael (2004). "Una visión desde ninguna parte: marcos de referencia cuánticos e incertidumbre". Estudios de historia y filosofía de la física moderna . 35 (2): 195–220. Bibcode :2004SHPMP..35..195D. doi :10.1016/j.shpsb.2003.12.003.
2. Barlett, Stephen D.; Rudolph, Terry; Spekkens, Robert W. (2006). "Diálogo sobre dos puntos de vista sobre las coherencias cuánticas: factista y ficcionalista". Revista Internacional de Información Cuántica . 4 : 17. arXiv : quant-ph/0507214 . Código Bibliográfico :2005quant.ph..7214B. doi :10.1142/S0219749906001591. S2CID  16503770.
3. Aharonov, Y.; T. Kaufherr (1984). "Marcos de referencia cuánticos". Phys. Rev. D . 30 (2): 368–385. Código Bibliográfico :1984PhRvD..30..368A. doi :10.1103/PhysRevD.30.368.
4. Poulin, D.; J. Yard (2007). "Dinámica de un marco de referencia cuántico". New J. Phys . 9 (5): 156. arXiv : quant-ph/0612126 . Código Bibliográfico :2007NJPh....9..156P. doi :10.1088/1367-2630/9/5/156. S2CID  8337465.
5. Ahmadi, Mehdi; Jennings, David; Rudolph, Terry (2010). "Dinámica de un marco de referencia cuántico sometido a mediciones selectivas e interacciones coherentes". Physical Review A . 82 (3): 032320. arXiv : 1005.0798 . Código Bibliográfico :2010PhRvA..82c2320A. doi :10.1103/PhysRevA.82.032320. S2CID  119270210.
6. Bartlett, Stephen D.; Rudolph, Terry ; Spekkens, Robert W. (abril–junio de 2007). "Marcos de referencia, reglas de superselección e información cuántica". Reseñas de Física Moderna . 79 (2): 555–606. arXiv : quant-ph/0610030 . Código Bibliográfico :2007RvMP...79..555B. doi :10.1103/RevModPhys.79.555. S2CID  118880279.

Véase también

• Marco de referencia
• Teoría de la información
• Información cuántica