Desigualdades cuánticas

Restricciones en la distribución de energía en el espacio-tiempo en mecánica cuántica

Las desigualdades cuánticas son restricciones locales sobre la magnitud y extensión de las distribuciones de densidad de energía negativa en el espacio-tiempo. Concebidas inicialmente para resolver un problema de larga data en la teoría cuántica de campos (a saber, el potencial de densidad de energía negativa sin restricciones en un punto), las desigualdades cuánticas han demostrado tener una amplia gama de aplicaciones. ^[1]

La forma de las desigualdades cuánticas recuerda al principio de incertidumbre .

Condiciones de energía en la teoría clásica de campos

La teoría de la relatividad general de Einstein equivale a una descripción de la relación entre la curvatura del espacio-tiempo, por un lado, y la distribución de la materia en el espacio-tiempo, por otro. Los detalles precisos de esta relación están determinados por las ecuaciones de Einstein.

${\displaystyle G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$.

Aquí, el tensor de Einstein describe la curvatura del espacio-tiempo, mientras que el tensor de energía-momento describe la distribución local de la materia. ( es una constante). Las ecuaciones de Einstein expresan relaciones locales entre las cantidades involucradas; específicamente, este es un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden no lineales acopladas. ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \kappa }$

En este punto se puede hacer una observación muy sencilla: el punto cero de la energía-momento no es arbitrario. Si se añade una "constante" al lado derecho de las ecuaciones de Einstein, se producirá un cambio en el tensor de Einstein y, por lo tanto, también en las propiedades de curvatura del espacio-tiempo.

Todos los campos de materia clásicos conocidos obedecen a ciertas " condiciones energéticas ". La condición energética clásica más famosa es la "condición de energía débil", que afirma que la densidad de energía local, medida por un observador que se mueve a lo largo de una línea de tiempo, no es negativa. La condición de energía débil es esencial para muchos de los resultados más importantes y poderosos de la teoría de la relatividad clásica, en particular, los teoremas de singularidad de Hawking et al.

Condiciones energéticas en la teoría cuántica de campos

La situación en la teoría cuántica de campos es bastante diferente: el valor esperado de la densidad de energía puede ser negativo en cualquier punto dado. De hecho, las cosas son aún peores: al ajustar el estado del campo cuántico de materia, el valor esperado de la densidad de energía local puede volverse arbitrariamente negativo.

Desigualdades

Para campos escalares libres, sin masa y mínimamente acoplados, se cumple la siguiente desigualdad a lo largo de cualquier línea de mundo del observador inercial con velocidad y tiempo propio : ^[2] ${\displaystyle \tau _{0}>0}$ ${\displaystyle u^{i}}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\frac {\tau _{0}}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\langle T_{ij}u^{i}u^{j}\rangle d\tau }{\tau ^{2}+\tau _{0}^{2}}}\geq -{\frac {3}{32\pi ^{2}\tau _{0}^{4}}}.}$

Esto implica una condición de energía débil promedio de , pero también establece límites más estrictos a la duración de los episodios de energía negativa. ${\displaystyle \tau _{0}\rightarrow \infty }$

Se pueden construir límites similares para campos electromagnéticos o escalares masivos. ^[3] Los teoremas relacionados implican que los pulsos de energía negativa deben compensarse con un pulso positivo más grande (cuya magnitud aumenta con el aumento de la separación de los pulsos). ^[4]

Obsérvese que la desigualdad anterior sólo se aplica a observadores inerciales: para observadores acelerados, no existen límites o estos son más débiles. ^{[5] [6]}

Aplicaciones

Las distribuciones de densidad de energía negativa comprenden lo que a menudo se denomina materia exótica y permiten varias posibilidades intrigantes: por ejemplo, el motor Alcubierre potencialmente permite viajes espaciales más rápidos que la luz.

Las desigualdades cuánticas limitan la magnitud y la extensión espacio-temporal de las densidades de energía negativa. En el caso del motor de curvatura de Alcubierre mencionado anteriormente, las desigualdades cuánticas predicen que la cantidad de materia exótica necesaria para crear y mantener la "burbuja" del motor de curvatura excede con creces la masa-energía total del universo.

Historia

Las primeras investigaciones sobre las desigualdades cuánticas fueron llevadas a cabo por Larry Ford y Tom Roman; uno de los primeros colaboradores fue Mitch Pfenning, uno de los estudiantes de Ford en la Universidad de Tufts. Eanna Flanagan también realizó un trabajo importante. El trabajo de Flanagan amplía los hallazgos de Vollick, que ayudan a explicar cómo se comporta la energía en ciertos tipos de espacio-tiempos. Este estudio examina específicamente la energía de una partícula libre y sin masa dentro de un espacio bidimensional, lo que no se aplica directamente al espacio tridimensional que experimentamos en nuestro mundo. ^[7] Más recientemente, Chris Fewster (de la Universidad de York , en el Reino Unido) ha aplicado matemáticas rigurosas para producir una variedad de desigualdades cuánticas bastante generales. Entre los colaboradores se encuentran Ford, Roman, Pfenning, Stefan Hollands y Rainer Verch. ^{[ cita requerida ]}

Lectura adicional

Sitios web

Teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo en el Instituto Erwin Schrödinger

Desigualdades energéticas cuánticas (Universidad de York, Reino Unido)

Referencias

1. Fewster, Christopher (2012). "Conferencias sobre desigualdades de energía cuántica". arXiv : 1208.5399 [gr-qc].
2. Ford, Larry; Roman, Thomas (1995). "Condiciones de energía promediada y desigualdades cuánticas". Physical Review D . 51 (8): 4277–4286. arXiv : gr-qc/9410043 . Código Bibliográfico :1995PhRvD..51.4277F. doi :10.1103/PhysRevD.51.4277. PMID  10018903. S2CID  7413835.
3. Ford, Larry; Roman, Thomas (1997). "Restricciones a la densidad de energía negativa en el espacio-tiempo plano". Physical Review D . 55 (4): 2082. arXiv : gr-qc/9607003 . Código Bibliográfico :1997PhRvD..55.2082F. doi :10.1103/PhysRevD.55.2082. S2CID  14379955.
4. Ford, Thomas (1999). "La conjetura del interés cuántico". Physical Review D . 60 (10): 104018. arXiv : gr-qc/9901074 . Código Bibliográfico :1999PhRvD..60j4018F. doi :10.1103/PhysRevD.60.104018. S2CID  12445154.
5. Fewster, Christopher (2000). "Una desigualdad cuántica general de línea de tiempo". Gravedad clásica y cuántica . 17 (9): 1897–1911. arXiv : gr-qc/9910060 . Código Bibliográfico :2000CQGra..17.1897F. doi :10.1088/0264-9381/17/9/302. S2CID  250839579.
6. Ford, Larry; Roman, Thomas (2013). "Energía negativa vista por observadores acelerados". Physical Review D . 87 (5): 085001. arXiv : 1302.2859 . Código Bibliográfico :2013PhRvD..87h5001F. doi :10.1103/PhysRevD.87.085001. S2CID  119293793.
7. Flanagan, Éanna É. (14 de noviembre de 2002). "Desigualdades cuánticas en espacios-tiempos curvos bidimensionales". Physical Review D. 66 ( 10). arXiv : gr-qc/0208066 . doi :10.1103/PhysRevD.66.104007. ISSN  0556-2821.