Crecimiento cuadrático

En matemáticas , se dice que una función o secuencia exhibe crecimiento cuadrático cuando sus valores son proporcionales al cuadrado del argumento de la función o posición de la secuencia. "Crecimiento cuadrático" a menudo significa de manera más general "crecimiento cuadrático en el límite ", ya que el argumento o la posición de la secuencia tiende al infinito; en notación Theta grande , . ^[1] Esto se puede definir tanto de forma continua (para una función de valor real de una variable real) como discretamente (para una secuencia de números reales, es decir, una función de valor real de una variable de número entero o natural ). ${\displaystyle f(x)=\Theta (x^{2})}$

Ejemplos

Algunos ejemplos de crecimiento cuadrático incluyen:

• Cualquier polinomio cuadrático .
• Ciertas secuencias de números enteros , como los números triangulares . El número triangular n° 1 tiene un valor de , aproximadamente . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n(n+1)/2}$ ${\displaystyle n^{2}/2}$

Para una función real de una variable real, el crecimiento cuadrático es equivalente a que la segunda derivada sea constante (es decir, que la tercera derivada sea cero), y por lo tanto, las funciones con crecimiento cuadrático son exactamente los polinomios cuadráticos, ya que estos son el núcleo del operador de la tercera derivada . De manera similar, para una secuencia (una función real de una variable entera o natural), el crecimiento cuadrático es equivalente a que la segunda diferencia finita sea constante (la tercera diferencia finita sea cero), ^[2] y, por lo tanto, una secuencia con crecimiento cuadrático también es un polinomio cuadrático. De hecho, una secuencia de valores enteros con crecimiento cuadrático es un polinomio en el coeficiente binomial cero, primero y segundo con valores enteros. Los coeficientes se pueden determinar tomando el polinomio de Taylor (si es continuo) o el polinomio de Newton (si es discreto). ${\displaystyle D^{3}}$

Los ejemplos algorítmicos incluyen:

• La cantidad de tiempo que tardan en el peor de los casos ciertos algoritmos , como la ordenación por inserción , en función de la longitud de entrada. ^[3]
• El número de células vivas en patrones de autómatas celulares que llenan el espacio, como el criador , en función del número de pasos de tiempo para los cuales se simula el patrón. ^[4]
• Ley de Metcalfe que establece que el valor de una red de comunicaciones crece cuadráticamente en función de su número de usuarios. ^[5]

Véase también

• Crecimiento exponencial

Referencias

1. Moore, Cristopher ; Mertens, Stephan (2011), La naturaleza de la computación, Oxford University Press, pág. 22, ISBN 9780191620805.
2. Kalman, Dan (1997), Modelos matemáticos elementales: Orden en abundancia y una visión del caos, Cambridge University Press, pág. 81, ISBN 9780883857076.
3. Estivill-Castro, Vladimir (1999), "Estadísticas de ordenamiento y clasificación", en Atallah, Mikhail J. (ed.), Algorithms and Theory of Computation Handbook , Boca Raton, Florida: CRC, págs. 3-1–3-25, MR  1797171.
4. Griffeath, David; Hickerson, Dean (2003), "Un cristal autómata celular bidimensional con densidad irracional", Nuevas construcciones en autómatas celulares , St. Fe Inst. Stud. Sci. Complex., Nueva York: Oxford Univ. Press, págs. 79–91, MR  2079729. Véase en particular la pág. 81: "Un reproductor es cualquier patrón que crece cuadráticamente creando un flujo constante de copias de un segundo objeto, cada una de las cuales crea un flujo de un tercero".
5. Rohlfs, Jeffrey H. (2003), "3.3 Ley de Metcalfe", Efectos de arrastre en las industrias de alta tecnología, MIT Press, págs. 29-30, ISBN 9780262681384.