Forma cuadrática (estadística)

En estadística multivariada , si es un vector de variables aleatorias , y es una matriz simétrica dimensional , entonces la cantidad escalar se conoce como forma cuadrática en . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Expectativa

Se puede demostrar que ^[1]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon \right]=\operatorname {tr} \left[\Lambda \Sigma \right]+\mu ^{T}\Lambda \mu }$

donde y son el valor esperado y la matriz de varianza-covarianza de , respectivamente, y tr denota la traza de una matriz. Este resultado solo depende de la existencia de y ; en particular, no se requiere la normalidad de . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Un libro que trata el tema de las formas cuadráticas en variables aleatorias es el de Mathai y Provost. ^[2]

Prueba

Dado que la forma cuadrática es una cantidad escalar, . ${\displaystyle \varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon =\operatorname {tr} (\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon )}$

A continuación, por la propiedad cíclica del operador de traza ,

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {tr} (\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon )]=\operatorname {E} [\operatorname {tr} (\Lambda \varepsilon \varepsilon ^{T})].}$

Dado que el operador de traza es una combinación lineal de los componentes de la matriz, se deduce de la linealidad del operador de expectativa que

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {tr} (\Lambda \varepsilon \varepsilon ^{T})]=\operatorname {tr} (\Lambda \operatorname {E} (\varepsilon \varepsilon ^{T})).}$

Una propiedad estándar de las varianzas nos dice entonces que esto es

${\displaystyle \operatorname {tr} (\Lambda (\Sigma +\mu \mu ^{T})).}$

Aplicando nuevamente la propiedad cíclica del operador de traza, obtenemos

${\displaystyle \operatorname {tr} (\Lambda \Sigma )+\operatorname {tr} (\Lambda \mu \mu ^{T})=\operatorname {tr} (\Lambda \Sigma )+\operatorname {tr} (\mu ^{T}\Lambda \mu )=\operatorname {tr} (\Lambda \Sigma )+\mu ^{T}\Lambda \mu .}$

Varianza en el caso gaussiano

En general, la varianza de una forma cuadrática depende en gran medida de la distribución de . Sin embargo, si sigue una distribución normal multivariante, la varianza de la forma cuadrática se vuelve particularmente manejable. Supongamos por el momento que es una matriz simétrica. Entonces, ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \operatorname {var} \left[\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon \right]=2\operatorname {tr} \left[\Lambda \Sigma \Lambda \Sigma \right]+4\mu ^{T}\Lambda \Sigma \Lambda \mu }$. ^[3]

De hecho, esto se puede generalizar para encontrar la covarianza entre dos formas cuadráticas en el mismo (una vez más, y ambas deben ser simétricas): ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \Lambda _{1}}$ ${\displaystyle \Lambda _{2}}$

${\displaystyle \operatorname {cov} \left[\varepsilon ^{T}\Lambda _{1}\varepsilon ,\varepsilon ^{T}\Lambda _{2}\varepsilon \right]=2\operatorname {tr} \left[\Lambda _{1}\Sigma \Lambda _{2}\Sigma \right]+4\mu ^{T}\Lambda _{1}\Sigma \Lambda _{2}\mu }$. ^[4]

Además, una forma cuadrática como ésta sigue una distribución de chi-cuadrado generalizada .

Cálculo de la varianza en el caso no simétrico

El caso de lo general se puede derivar observando que ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \varepsilon ^{T}\Lambda ^{T}\varepsilon =\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon }$

entonces

${\displaystyle \varepsilon ^{T}{\tilde {\Lambda }}\varepsilon =\varepsilon ^{T}\left(\Lambda +\Lambda ^{T}\right)\varepsilon /2}$

es una forma cuadrática en la matriz simétrica , por lo que las expresiones de media y varianza son las mismas, siempre que se reemplace por en la misma. ${\displaystyle {\tilde {\Lambda }}=\left(\Lambda +\Lambda ^{T}\right)/2}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle {\tilde {\Lambda }}}$

Ejemplos de formas cuadráticas

En el caso en que se tiene un conjunto de observaciones y una matriz de operadores , entonces la suma residual de cuadrados se puede escribir como una forma cuadrática en : ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\textrm {RSS}}=y^{T}(I-H)^{T}(I-H)y.}$

Para los procedimientos donde la matriz es simétrica e idempotente , y los errores son gaussianos con matriz de covarianza , tiene una distribución chi-cuadrado con grados de libertad y parámetro de no centralidad , donde ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}I}$ ${\displaystyle {\textrm {RSS}}/\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle k=\operatorname {tr} \left[(I-H)^{T}(I-H)\right]}$

${\displaystyle \lambda =\mu ^{T}(I-H)^{T}(I-H)\mu /2}$

se puede encontrar haciendo coincidir los dos primeros momentos centrales de una variable aleatoria chi-cuadrado no central con las expresiones dadas en las dos primeras secciones. Si las estimaciones no tienen sesgo , entonces la no centralidad es cero y sigue una distribución chi-cuadrado central. ${\displaystyle Hy}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\textrm {RSS}}/\sigma ^{2}}$

Véase también

• Forma cuadrática
• Matriz de covarianza
• Representación matricial de secciones cónicas

Referencias

1. Bates, Douglas. "Formas cuadráticas de variables aleatorias" (PDF) . Lecciones de STAT 849. Consultado el 21 de agosto de 2011 .
2. Mathai, AM y Provost, Serge B. (1992). Formas cuadráticas en variables aleatorias . CRC Press. pág. 424. ISBN 978-0824786915.
3. Rencher, Alvin C.; Schaalje, G. Bruce. (2008). Modelos lineales en estadística (2.ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley-Interscience. ISBN 9780471754985.OCLC 212120778  .
4. Graybill, Franklin A. Matrices con aplicaciones en estadística (2. ed.). Wadsworth: Belmont, California, pág. 367. ISBN 0534980384.