Punto de corte

Punto de un espacio topológico conexo, sin el cual se vuelve desconectado

El "cuello" de esta figura con forma de ocho es un punto de corte.

En topología , un punto de corte es un punto de un espacio conexo tal que su eliminación hace que el espacio resultante esté desconectado. Si la eliminación de un punto no da como resultado espacios desconectados, este punto se denomina punto no cortado .

Por ejemplo, cada punto de una línea es un punto de corte, mientras que ningún punto de un círculo es un punto de corte.

Los puntos de corte son útiles para determinar si dos espacios conexos son homeomorfos contando el número de puntos de corte en cada espacio. Si dos espacios tienen un número diferente de puntos de corte, no son homeomorfos. Un ejemplo clásico es el uso de puntos de corte para demostrar que las líneas y los círculos no son homeomorfos.

Los puntos de corte también son útiles en la caracterización de los continuos topológicos , una clase de espacios que combinan las propiedades de compacidad y conectividad e incluyen muchos espacios familiares como el intervalo unitario , el círculo y el toro .

Definición

Definiciones formales

Una línea (intervalo cerrado) tiene infinitos puntos de corte entre dos puntos finales. Un círculo no tiene punto de corte. Como tienen diferentes números de puntos de corte, las líneas no son homeomorfas con los círculos.

Un punto de corte de un espacio topológico T 1 conexo X es un punto p en X tal que X - { p } no es conexo. Un punto que no es un punto de corte se denomina punto no de corte .

Un espacio topológico conexo no vacío X es un espacio de puntos de corte si cada punto en X es un punto de corte de X.

Ejemplos básicos

• Un intervalo cerrado [a,b] tiene infinitos puntos de corte. Todos los puntos, excepto sus puntos finales, son puntos de corte y los puntos finales {a,b} son puntos que no son de corte.
• Un intervalo abierto (a,b) también tiene infinitos puntos de corte, como los intervalos cerrados. Como los intervalos abiertos no tienen puntos finales, no tienen puntos que no sean de corte.
• Un círculo no tiene puntos de corte y se deduce que cada punto de un círculo es un punto no cortado.

Notaciones

• Un corte de X es un conjunto {p,U,V} donde p es un punto de corte de X, U y V forman una separación de X-{p}.
• También se puede escribir como X\{p}=U|V.

Teoremas

Puntos de corte y homeomorfismos

• Los puntos de corte no se conservan necesariamente en funciones continuas . Por ejemplo: f : [0, 2 π ] → R ² , dado por f ( x ) = (cos x , sen x ). Cada punto del intervalo (excepto los dos puntos finales) es un punto de corte, pero f(x) forma un círculo que no tiene puntos de corte.
• Los puntos de corte se conservan bajo homeomorfismos. Por lo tanto, el punto de corte es un invariante topológico .

Puntos de corte y continuos

• Todo continuo ( espacio compacto conexo de Hausdorff ) con más de un punto, tiene al menos dos puntos no cortados. En concreto, cada conjunto abierto que forma una separación del espacio resultante contiene al menos un punto no cortado.
• Todo continuo con exactamente dos puntos no de corte es homeomorfo al intervalo unitario.
• Si K es un continuo con puntos a,b y K-{a,b} no está conexo, K es homeomorfo al círculo unitario.

Propiedades topológicas de los espacios de puntos de corte

• Sea X un espacio conexo y x un punto de corte en X tal que X\{x}=A|B. Entonces {x} es abierto o cerrado . Si {x} es abierto, A y B son cerrados. Si {x} es cerrado, A y B son abiertos.
• Sea X un espacio de puntos de corte. El conjunto de puntos cerrados de X es infinito.

Espacios de puntos de corte irreducibles

Definiciones

Un espacio de puntos de corte es irreducible si ningún subconjunto propio del mismo es un espacio de puntos de corte.

La recta de Khalimsky : Sea el conjunto de los números enteros y donde es una base para una topología en . La recta de Khalimsky es el conjunto dotado de esta topología. Es un espacio de puntos de corte. Además, es irreducible. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle B=\{\{2i-1,2i,2i+1\}:i\in \mathbb {Z} \}\cup \{\{2i+1\}:i\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Teorema

• Un espacio topológico es un espacio de punto de corte irreducible si y sólo si X es homeomorfo a la línea de Khalimsky. ${\displaystyle X}$

Véase también

Punto de corte (teoría de grafos)

Referencias

• Hatcher, Allen, Notas sobre topología de puntos introductoria , págs. 20-21
• Honari, B.; Bahrampour, Y. (1999), "Espacios de puntos de corte" (PDF) , Actas de la American Mathematical Society , 127 (9): 2797–2803, doi : 10.1090/s0002-9939-99-04839-x
• Willard, Stephen (2004). Topología general . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43479-6.(Publicado originalmente por Addison-Wesley Publishing Company, Inc. en 1970.)