Puerta Mølmer-Sørensen

Puerta cuántica de iones atrapados

En computación cuántica , el esquema de puerta de Mølmer-Sørensen (o puerta MS ) se refiere a un procedimiento de implementación para varias puertas lógicas cuánticas de múltiples qubits utilizadas principalmente en la computación cuántica de iones atrapados . Este procedimiento se basa en la propuesta original de Klaus Mølmer y Anders Sørensen en 1999-2000. ^{[1] [2] [3]}

Esta propuesta fue una alternativa a la implementación de puerta NO controlada de Cirac-Zoller de 1995 para iones atrapados, que requiere que el sistema esté restringido al estado fundamental de movimiento conjunto de los iones. ^[4]

En una puerta MS, los estados entrelazados se preparan iluminando iones con un campo de luz bicromático. Mølmer y Sørensen identificaron dos regímenes en los que esto es posible:

1. Un régimen de campo débil, donde se suprime la absorción de un solo fotón y los procesos de dos fotones interfieren de una manera que hace que la dinámica del estado interno sea insensible al estado vibratorio.
2. Un régimen de campo fuerte en el que los iones individuales se excitan de forma coherente y el estado de movimiento está muy entrelazado con el estado interno hasta que todas las excitaciones indeseables se eliminan de manera determinista hacia el final de la interacción.

En ambos regímenes, se aplica simultáneamente una interacción de banda lateral roja y azul a cada ion, con los tonos rojo y azul desafinados simétricamente desde las bandas laterales. Esto da como resultado desafinaciones del láser , donde está la frecuencia del modo de movimiento. ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \pm (\omega _{k}+\delta ')}$ ${\displaystyle \omega _{k}}$

Cuando se aplica una puerta MS globalmente a todos los iones de una cadena, se crea un entrelazamiento multipartito, siendo la forma de la puerta una suma de interacciones locales XX (o YY, o XY, según los parámetros experimentales) aplicadas a todos los pares de qubits. Cuando la puerta se realiza en un solo par de iones, se reduce a la puerta R XX . Por lo tanto, la puerta CNOT se puede descomponer en una puerta MS y una combinación de rotaciones de partículas individuales.

Historia

Los iones atrapados fueron identificados por Ignacio Cirac y Peter Zoller en la Universidad de Innsbruck , Austria en 1995, como el primer sistema realista con el que implementar una computadora cuántica, en una propuesta que incluía un procedimiento para implementar una puerta CNOT mediante el acoplamiento de iones a través de sus movimiento colectivo. ^[4] Un inconveniente importante del esquema de Cirac y Zoller fue que requería que el sistema de iones atrapados estuviera restringido a su estado fundamental de movimiento conjunto, lo cual es difícil de lograr experimentalmente. La puerta CNOT de Cirac-Zoller no se demostró experimentalmente con dos iones hasta 8 años después, en 2003, con una fidelidad del 70-80%. ^[5] Alrededor de 1998, hubo un esfuerzo colectivo para desarrollar puertas de dos qubits independientes del estado de movimiento de los iones individuales, ^{[6] [1] [7]} uno de los cuales fue el esquema propuesto por Klaus Mølmer y Anders Sørensen en Aarhus. Universidad , Dinamarca.

En 1999, Mølmer y Sørensen propusieron una puerta de iones atrapada multi-qubit nativa como alternativa al esquema de Cirac y Zoller, insensible al estado vibratorio del sistema y robusta contra cambios en el número de vibraciones durante el funcionamiento de la puerta. ^{[1] [2]} El esquema de Mølmer y Sørensen requiere sólo que los iones estén en el régimen de Lamb-Dicke , y produce una interacción hamiltoniana tipo Ising usando un campo láser bicromático.

Siguiendo los artículos de 1999 de Mølmer y Sørensen, Gerard J. Milburn propuso una puerta de 2 qubits que utiliza un hamiltoniano estroboscópico para acoplar operadores de estado internos a diferentes componentes de cuadratura. ^[8] Poco después, en 2000, Mølmer y Sørensen publicaron un tercer artículo ^[3] que ilustraba que su esquema de 1999 ya era una realización del de Milburn, sólo que con una aplicación armónica más que estroboscópica de los términos de acoplamiento hamiltonianos.

El artículo de Mølmer y Sørensen de 2000 también adopta un enfoque más general del sistema de puertas en comparación con la propuesta de 1999. En los artículos de 1999, sólo se considera el régimen de "puerta lenta", en el que se requiere una gran desafinación de la resonancia para evitar un acoplamiento fuera de resonancia a modos de fonones no deseados. En 2000, Mølmer y Sørensen eliminaron esta restricción y mostraron cómo eliminar la dependencia del número de fonones en el régimen de "puerta rápida", donde los láseres se sintonizan cerca de las bandas laterales.

La primera demostración experimental de la puerta MS fue realizada en 2000 por el grupo de David J. Wineland en el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST), con fidelidades de F = 0,83 para 2 iones y F = 0,57 para 4 iones. . ^[9] En 2003, el grupo de Wineland produjo mejores resultados utilizando una puerta de fase geométrica, ^[10] que es un caso específico del formalismo más general propuesto por Mølmer, Sørensen, Milburn y Xiaoguang Wang. Hoy en día, la puerta MS es ampliamente utilizada y aceptada como estándar por los grupos (y empresas) de iones atrapados, ^{[11] [12]} y la optimización y generalización de las puertas MS es actualmente un campo activo en la comunidad de iones atrapados. ^{[13] [14] [15] [16]} También se han desarrollado puertas similares a MS para otras plataformas de computación cuántica. ^[17]

Descripción

La ocupación del qubit durante cuatro ciclos de puerta.

Para implementar el esquema, se irradian dos iones con un campo láser bicromático con frecuencias , donde se produce la división de energía de los estados del qubit y se produce una desafinación cercana a la frecuencia de movimiento de los iones. Dependiendo del tiempo de interacción, esto produce los estados ^[18] ${\displaystyle \omega _{eg}\pm \delta }$ ${\displaystyle \hbar \omega _{eg}}$ ${\displaystyle \delta =\pm (\omega _{k}+\delta ')}$ ${\displaystyle \omega _{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mid ee\rangle \rightarrow (|ee\rangle +i|gg\rangle )/{\sqrt {2}}\\\mid eg\rangle \rightarrow (|eg\rangle -i|ge\rangle )/{\sqrt {2}}\\\mid ge\rangle \rightarrow (|ge\rangle -i|eg\rangle )/{\sqrt {2}}\\\mid gg\rangle \rightarrow (|gg\rangle +i|ee\rangle )/{\sqrt {2}}\end{aligned}}}$

Lo anterior es equivalente a la puerta de acoplamiento de Ising R _yy (π/2) ; Entonces se puede demostrar que esta puerta (junto con la rotación arbitraria de un solo qubit) produce un conjunto universal de puertas.

Una definición alternativa de puerta MS la equipara con R _xx (π/2) y se adopta como puerta nativa de IonQ para el entrelazamiento de dos qubits. ^[19] En esta definición, la puerta CNOT se puede descomponer como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{CNOT}}&=e^{-i{\frac {\pi }{4}}(I-Z_{1})(I-X_{2})}\\&=R_{y_{1}}(-\pi /2)e^{-i{\frac {\pi }{4}}(I-X_{1})(I-X_{2})}R_{y_{1}}(\pi /2)\\&=R_{y_{1}}(-\pi /2)e^{-i{\frac {\pi }{4}}}e^{i{\frac {\pi }{4}}(X_{1}+X_{2}-X_{1}\otimes X_{2})}R_{y_{1}}(\pi /2)\\&=e^{-i{\frac {\pi }{4}}}R_{y_{1}}(-\pi /2)R_{x_{1}}(-\pi /2)R_{x_{2}}(-\pi /2)R_{xx}(\pi /2)R_{y_{1}}(\pi /2)\end{aligned}}}$

La implementación de la puerta Mølmer-Sørensen tiene la ventaja de que no falla si los iones no se enfriaron completamente hasta el estado fundamental y no requiere que los iones se aborden individualmente. ^[20] Sin embargo, esta insensibilidad térmica solo es válida en el régimen de Lamb-Dicke , por lo que la mayoría de las implementaciones primero enfrían los iones al estado fundamental de movimiento. ^[21] PC Haljan, KA Brickman, L. Deslauriers, PJ Lee y C. Monroe realizaron un experimento en el que se utilizó esta puerta para producir los cuatro estados de Bell y para implementar el algoritmo de Grover con éxito. ^[22]

Interacción derivación hamiltoniana

Hamiltoniano de átomo láser

El hamiltoniano relevante para un solo ion atrapado consiste en la interacción entre un sistema de espín 1/2, un potencial de captura de oscilador armónico y un campo de radiación láser externo: ^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}H&=H_{0}+H_{I}\\&=(H_{\rm {spin}}+H_{\rm {HO}})+H_{\rm {field}}\\&=-\hbar {\frac {\omega _{ge}}{2}}\sigma _{z}+\hbar \omega _{0}(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}})-{\vec {\mu _{e}}}\cdot {\vec {E}}.\end{aligned}}}$

Aquí, está la energía que se divide entre los estados de qubit y , y son los operadores de creación y aniquilación de fonones en el modo de movimiento colectivo de los iones, es la energía de esos fonones y es la matriz Z de Pauli . ${\displaystyle \omega _{ge}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \hbar \omega _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$

El tercer término, la interacción hamiltoniana, se puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{I}&=-{\vec {\mu _{E}}}\cdot {\vec {E}}\\&=\Omega \sigma _{x}\cos(kz-\omega _{L}t+\phi )\\&={\frac {\Omega }{2}}(\sigma _{+}+\sigma _{-})(e^{i(\eta (a+a^{\dagger })-\omega _{L}t+\phi )}+e^{-i(\eta (a+a^{\dagger })-\omega _{L}t+\phi )})\\\end{aligned}}}$

para un láser polarizado que se propaga a lo largo de . Aquí hemos definido la frecuencia Rabi (dimensiones de energía), así como el operador para el movimiento del centro de masa en la dirección - . Aquí, está la propagación de la función de onda del punto cero, es la masa del ion y el parámetro Lamb-Dicke parametriza el tamaño del paquete de ondas del estado fundamental en comparación con la longitud de onda de la radiación . ${\displaystyle x-}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Omega =-\mu _{E}E}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=z_{0}(a+a^{\dagger })}$ ${\displaystyle z_{0}=(\hbar /2m\omega _{z})^{1/2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \eta =kz_{0}}$ ${\displaystyle \lambda =2\pi k}$

Ahora pasaremos a la imagen de interacción con respecto a y y haremos una aproximación de onda giratoria para obtener ${\displaystyle H_{\rm {HO}}}$ ${\displaystyle H_{\rm {spin}}}$

${\displaystyle H_{I}={\frac {\Omega }{2}}\sigma _{-}e^{-i(\eta (ae^{-i\omega _{0}t}+a^{\dagger }e^{i\omega _{0}t})-\delta t)}+h.c.}$

donde hemos desafinado el láser desde la frecuencia del qubit y absorbido la fase en la frecuencia de Rabi . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \omega _{ge}}$ ${\displaystyle \Omega \rightarrow \Omega e^{i\Delta \phi }}$

Dentro del régimen de Lamb-Dicke, podemos hacer la aproximación

${\displaystyle e^{-i\eta (e^{i\omega _{0}t}a^{\dagger }+e^{-i\omega _{0}t}a)}\approx 1-i\eta (e^{i\omega _{0}t}a^{\dagger }+e^{-i\omega _{0}t}a)}$

que divide el hamiltoniano en tres partes correspondientes a una transición de portadora, una transición de banda lateral roja (RSB) y una transición de banda lateral azul (BSB):

${\displaystyle H_{I}={\frac {\Omega }{2}}\sigma _{-}(e^{i\delta t}-i\eta e^{i(\delta +\omega _{0})t}a^{\dagger }-i\eta e^{i(\delta -\omega _{0})t}a)+h.c.}$

Al hacer una segunda aproximación de onda giratoria para despreciar los términos de oscilación, cada pieza se puede examinar de forma independiente. Para , sólo se mantiene el primer término, y se convierte en el hamiltoniano, que altera el estado de espín del ion sin afectar su estado de movimiento. Porque desde entonces sólo se conserva el segundo término . Entonces el hamiltoniano de banda lateral roja (RSB) es ${\displaystyle \delta =0}$ ${\displaystyle H_{\rm {carrier}}={\frac {\Omega }{2}}(\sigma _{-}+\sigma _{+}),}$ ${\displaystyle \delta =-\omega _{0}}$ ${\displaystyle |\delta +\omega _{0}|\ll |\delta |,|\delta -\omega _{0}|}$

${\displaystyle H_{\rm {RSB}}=-i\eta {\frac {\Omega }{2}}(a^{\dagger }\sigma _{-})e^{i(\delta +\omega _{0})t}+h.c.}$

La transición RSB puede considerarse como un "intercambio" de movimiento por giro. Para un ion con número de ocupación de fonón , se producirá un pulso RSB con frecuencia de oscilación . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle |g,n\rangle \rightarrow |e,n-1\rangle }$ ${\displaystyle \Omega _{\rm {RSB}}=\eta \Omega {\sqrt {n}}}$

Porque desde entonces sólo se conserva el tercer término . Entonces el hamiltoniano de banda lateral azul (BSB) es ${\displaystyle \delta =\omega _{0}}$ ${\displaystyle |\delta -\omega _{0}|\ll |\delta |,|\delta +\omega _{0}|}$

${\displaystyle H_{\rm {BSB}}=-i\eta {\frac {\Omega }{2}}(a\sigma _{-})e^{i(\delta -\omega _{0})t}+h.c.}$

que también es un intercambio de movimiento de giro. Para un ion con número de ocupación de fonón , se producirá un pulso BSB con frecuencia de oscilación . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle |g,n\rangle \rightarrow |e,n+1\rangle }$ ${\displaystyle \Omega _{\rm {BSB}}=\eta \Omega {\sqrt {n+1}}}$

Hamiltoniano de Mølmer-Sørensen

El MS Hamiltoniano es la aplicación de tonos de banda lateral roja y azul desafinados simétricamente y simultáneos sobre iones. Escrito en la imagen de interacción con respecto a , ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle H_{\rm {spin}}}$

${\displaystyle H_{\rm {MS}}=\sum _{j}H_{\rm {HO}}+H_{\rm {carrier}}+H_{\rm {RSB}}+H_{\rm {BSB}}}$

donde los hamiltonianos de un solo ión (en la aproximación de onda giratoria con respecto a los términos contrarrotativos) están dados por ${\displaystyle H_{\rm {HO}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\rm {carrier}}&=\left({\frac {\Omega _{R}}{2}}e^{i\delta _{R}t}+{\frac {\Omega _{B}}{2}}e^{i\delta _{B}t}\right)\sigma _{-}+h.c.\\H_{\rm {RSB}}&=i\eta {\frac {\Omega _{R}}{2}}\sigma _{-}a^{\dagger }e^{i\delta _{R}t}+h.c.\\H_{\rm {BSB}}&=i\eta {\frac {\Omega _{B}}{2}}\sigma _{-}ae^{i\delta _{B}t}+h.c.\end{aligned}}}$

Los tonos rojo y azul tienen las frecuencias Rabi efectivas y , respectivamente. ${\displaystyle \Omega _{R}=\Omega e^{i\phi _{R}}}$ ${\displaystyle \Omega _{B}=\Omega e^{i\phi _{B}}}$

Para ser más exhaustivos, también sumaremos todos los modos de movimiento ( dimensiones de movimiento de los iones ), cada uno con vector propio y frecuencia propia . Los tonos rojo y azul se desafinan simétricamente desde las bandas laterales, lo que da como resultado desafinaciones láser . También suponemos que los tonos se desafinan cerca de un modo de movimiento que está lejos de la portadora, de modo que se invoca al RWA para que caiga . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle b^{k}}$ ${\displaystyle \omega _{k}}$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \pm (\omega _{k}+\delta ')}$ ${\displaystyle H_{\rm {carrier}}}$

Definimos y escribimos la desafinación de cada modo de movimiento como . ${\displaystyle \mu \equiv \delta _{B}=-\delta _{R}}$ ${\displaystyle \mu _{k}=\mu -\delta '}$

Bajo los supuestos anteriores, la interacción MS hamiltoniana (con respecto a ) se convierte en ${\displaystyle H_{\rm {HO}}}$

${\displaystyle H_{\rm {int}}=i\sum _{j,k}\eta _{j,k}{\frac {\Omega _{j}}{2}}\sigma _{-,j}[a_{k}e^{-i(\mu _{k}t-\phi _{R})}+a_{k}^{\dagger }e^{i(\mu _{k}t+\phi _{B})}]+h.c.}$

dónde . Ahora definimos las fases de giro y movimiento. ${\displaystyle \eta _{j,k}=\Delta k{\sqrt {\hbar /(2M\omega _{k})}}b_{j}^{k}}$

${\displaystyle \phi _{s}\equiv {\frac {\phi _{B}+\phi _{R}}{2}}{\text{ }},{\text{ }}\phi _{m}\equiv {\frac {\phi _{B}-\phi _{R}}{2}}}$

de modo que el hamiltoniano se pueda separar en sus componentes de giro y movimiento:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\rm {int}}&=i\sum _{j,k}\eta _{j,k}{\frac {\Omega _{j}}{2}}[e^{i(\mu _{k}t+\phi _{B})}\sigma _{-,j}a_{k}-e^{-(\mu _{k}t+\phi _{B})}\sigma _{+,j}a_{k}^{\dagger }+e^{-i(\mu _{k}t+\phi _{R})}\sigma _{-,j}a_{k}^{\dagger }-e^{i(\mu _{k}t-\phi _{R})}\sigma _{+,j}a_{k}]\\&=i\sum _{j,k}\eta _{j,k}{\frac {\Omega _{j}}{2}}[(\sigma _{-,j}e^{i\phi _{s}}-\sigma _{+,j}e^{-i\phi _{s}})(a_{k}e^{i\mu _{k}t}e^{i\phi _{m}}+a_{k}^{\dagger }e^{-i\mu _{k}t}e^{-i\phi _{m}})]\\&\equiv i\sum _{j,k}\eta _{j,k}{\frac {\Omega _{j}}{2}}[{\hat {\sigma }}_{j}\otimes {\hat {A}}_{k}(t)]\end{aligned}}}$

donde ahora hemos definido el operador de giro y el operador de desplazamiento . ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{j}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}_{k}(t)}$

Operador de evolución del tiempo

El operador de evolución temporal se obtiene mediante la expansión de Magnus.

${\displaystyle U(t)=e^{\sum _{l=1}^{\infty }M_{l}(t)}}$

donde están los dos primeros ${\displaystyle M_{l}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{1}(t)&=-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H_{\rm {int}}(t_{1})dt_{1}\\M_{2}(t)&={\frac {1}{2}}(-{\frac {i}{\hbar }})^{2}\int _{0}^{t}\int _{0}^{t_{1}}[H_{\rm {int}}(t_{1}),H_{\rm {int}}(t_{2})]dt_{2}dt_{1}\end{aligned}}}$

y los términos de orden superior desaparecen para el MS Hamiltoniano desde ${\displaystyle [M_{2}(t_{1}),H_{\rm {int}}(t_{2})]=0.}$

El término de primer orden es

${\displaystyle M_{1}(t)=\sum _{j,k}{\hat {\sigma _{j}}}[\alpha _{j,k}(t)a_{k}+\alpha _{j,k}^{*}(t)a_{k}^{\dagger }]}$

donde describe el desplazamiento del modo de movimiento a través del espacio de fase. ${\displaystyle \alpha _{k}(t)=\eta _{j,k}(\Omega _{j}/2\mu _{k})e^{i\mu _{k}t/2}\sin(\mu _{k}t/2)e^{i\phi _{m}}}$ ${\displaystyle k^{th}}$

En el régimen de campo débil, donde , este término puede despreciarse, ya que la trayectoria del espacio de fase consta de bucles muy pequeños y rápidos alrededor del origen. ${\displaystyle \eta \Omega \ll \mu }$

El término de segundo orden es

${\displaystyle M_{2}(t)=i\sum _{i<j,k}{\hat {\sigma _{i}}}{\hat {\sigma _{j}}}{\frac {\eta _{i,k}\eta _{j,k}\Omega _{i}\Omega _{j}}{2\mu _{k}}}(\mu _{k}t-\sin(\mu _{k}t))}$

sobre pares de iones . ${\displaystyle \{i,j\}}$

Si configuramos las fases de tal manera que y luego . ${\displaystyle \phi _{R}=0}$ ${\displaystyle \phi _{B}=\pi }$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}\rightarrow -\sigma _{x}}$

Propiedades de la puerta

La evolución temporal del estado de una implementación de dos qubits de la puerta rápida de Mølmer-Sørensen en dos tiempos de puerta a partir de los iones que comienzan en el estado fundamental. Los estados están etiquetados primero por el qubit de cada ion y luego por la ocupación de fonones del modo de movimiento. El círculo gris representa una probabilidad de la mitad de ese estado.

Régimen de campo fuerte (puerta rápida)

En el régimen de campo fuerte, los iones se excitan de manera coherente y el estado de movimiento está muy entrelazado con el estado interno hasta que todas las excitaciones indeseables se eliminan de manera determinista hacia el final de la interacción. Se debe tener cuidado de finalizar la puerta en un momento en que todos los modos de movimiento hayan regresado al origen en el espacio de fase, por lo que el tiempo de la puerta está definido por para cada modo . ${\displaystyle \alpha =0\longrightarrow \mu _{k}t_{\rm {gate}}=2\pi }$ ${\displaystyle k}$

Para , el segundo término de también desaparece, por lo que el operador de evolución temporal se convierte en ${\displaystyle \mu _{k}t=2\pi }$ ${\displaystyle M_{2}(t)}$

${\displaystyle U_{\rm {fast}}(t_{\rm {gate}})=\exp[i{\frac {\pi }{2}}\sum _{i<j.k}{\frac {\eta _{i,k}\eta _{j,k}\Omega _{i}\Omega _{j}}{\mu _{k}^{2}}}{\hat {\sigma }}_{i}{\hat {\sigma }}_{j}].}$

Régimen de campo débil (puerta lenta)

La propuesta original de Mølmer y Sørensen considera operaciones en el límite . En este "régimen de campo débil", hay insensibilidad al estado vibratorio y robustez contra los cambios en el movimiento vibratorio durante toda la operación de la puerta, debido a la explotación de dos efectos importantes de la mecánica cuántica: ${\displaystyle \eta \Omega \ll \omega _{k}-\delta }$

1. Los grados de libertad vibratorios entrarán en el esquema sólo virtualmente. Son cruciales como estados intermedios, pero la población nunca se transfiere a estados con diferentes excitaciones vibratorias. Esto se debe a que la desafinación está lo suficientemente lejos de la frecuencia del modo que una población insignificante se transfiere a niveles intermedios con números de vibración . ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \omega _{k}}$ ${\displaystyle n\pm 1}$
2. Los caminos de transición que involucran diferentes estados vibratorios despoblados interfieren de manera destructiva para eliminar la dependencia de las tasas y frecuencias de revolución de los números de fonones. Esto se analiza a continuación.

Análisis perturbativo

Si consideramos dos iones, cada uno iluminado por láseres con desafinación de , las únicas transiciones que conservan energía son y . Bajo la aproximación de Lamb-Dicke , determinamos la frecuencia de Rabi efectiva para la transición a través de estados intermedios utilizando la teoría de perturbaciones de segundo orden: ${\displaystyle \delta =\pm (\omega _{k}+\delta ')}$ ${\displaystyle \omega _{eg}}$ ${\displaystyle |gg\rangle \leftrightarrow |ee\rangle }$ ${\displaystyle |ge\rangle \leftrightarrow |eg\rangle }$ ${\displaystyle e^{-i\eta (a^{\dagger }+a)}\approx 1-i\eta (a^{\dagger }+a)}$ ${\displaystyle |gg,n\rangle \leftrightarrow |ee,n\rangle }$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\tilde {\Omega }}=2\sum _{m}{\frac {\langle ee,n|H_{\rm {int}}|m\rangle \langle m|H_{\rm {int}}|gg,n\rangle }{E_{gg,n}+\hbar \omega _{i}-E_{m}}}}$

Hay cuatro caminos de transición posibles entre y : ${\displaystyle |gg,n\rangle }$ ${\displaystyle |ee,n\rangle }$

${\displaystyle |gg,n\rangle \leftrightarrow |eg,n+1\rangle }$, ${\displaystyle |eg,n+1\rangle \leftrightarrow |ee,n\rangle }$

${\displaystyle |gg,n\rangle \leftrightarrow |eg,n-1\rangle }$, ${\displaystyle |eg,n-1\rangle \leftrightarrow |ee,n\rangle }$

${\displaystyle |gg,n\rangle \leftrightarrow |ge,n+1\rangle }$, ${\displaystyle |ge,n+1\rangle \leftrightarrow |ee,n\rangle }$

${\displaystyle |gg,n\rangle \leftrightarrow |ge,n-1\rangle }$, ${\displaystyle |ge,n-1\rangle \leftrightarrow |ee,n\rangle }$

y por tanto la sumatoria puede restringirse a estos cuatro términos intermedios.

Las rutas que involucran estados intermedios con cuantos ceden , mientras que las rutas ceden . Sumando términos, obtenemos la frecuencia Rabi efectiva , que es independiente del número de fonones debido a la interferencia destructiva entre vías. ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle {\sqrt {n+1}}\Omega ^{2}\eta ^{2}/(\delta -\omega _{k})}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle -n\Omega ^{2}\eta ^{2}/(\delta -\omega _{k})}$ ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}={\frac {(\Omega \eta )^{2}}{\delta '}}}$ ${\displaystyle n}$

Se pueden identificar cuatro vías de transición similares entre , que dan como resultado la evolución del estado: ${\displaystyle |ge,n\rangle \leftrightarrow |eg,n\rangle }$

${\displaystyle |gg\rangle \rightarrow \cos({\frac {{\tilde {\Omega }}t}{2}})|gg\rangle +i\sin({\frac {{\tilde {\Omega }}t}{2}})|ee\rangle }$

${\displaystyle |ee\rangle \rightarrow \cos({\frac {{\tilde {\Omega }}t}{2}})|ee\rangle +i\sin({\frac {{\tilde {\Omega }}t}{2}})|gg\rangle }$

${\displaystyle |ge\rangle \rightarrow \cos({\frac {{\tilde {\Omega }}t}{2}})|ge\rangle -i\sin({\frac {{\tilde {\Omega }}t}{2}})|eg\rangle }$

${\displaystyle |eg\rangle \rightarrow \cos({\frac {{\tilde {\Omega }}t}{2}})|eg\rangle -i\sin({\frac {{\tilde {\Omega }}t}{2}})|ge\rangle }$.

Los estados máximamente entrelazados se crean en el momento . ${\displaystyle t=\pi /(2|{\tilde {\Omega }}|)}$

Interacción hamiltoniana

En el régimen de campo débil, puede despreciarse, ya que la trayectoria del espacio de fases consta de bucles rápidos y muy pequeños alrededor del origen. Para encontrar , los términos contrarrotativos descuidados en la aproximación de la onda giratoria deben reintroducirse a medida que aparece un término lineal que domina en tiempos prolongados. ${\displaystyle M_{1}(t)}$ ${\displaystyle M_{2}(t)}$

Al hacerlo, el operador de evolución del tiempo efectivo se convierte en

${\displaystyle U_{\rm {slow}}(t)\approx \exp[i\sum _{i<j,k}({\hat {\sigma }}_{i}{\hat {\sigma }}_{j}){\frac {\eta _{i,k}\eta _{j,k}\Omega _{i}\Omega _{j}}{\mu ^{2}-\omega _{k}^{2}}}\omega _{k}t]}$

que es equivalente al de un hamiltoniano de Ising

${\displaystyle H_{\rm {eff}}\approx \sum _{i<j}J_{ij}{\hat {\sigma }}_{i}{\hat {\sigma }}_{j},}$

con acoplamiento entre y dado por ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle J_{ij}\approx \Omega _{i}\Omega _{j}\sum _{k}{\frac {\eta _{i,k}\eta _{j,k}}{\mu ^{2}-\omega _{k}^{2}}}\omega _{k}}$.

Referencias

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