La desigualdad de Ptolomeo

Cuatro puntos y sus seis distancias. Los puntos no son cocirculares, por lo que la desigualdad de Ptolomeo es estricta para estos puntos.

En la geometría euclidiana , la desigualdad de Ptolomeo relaciona las seis distancias determinadas por cuatro puntos en el plano o en un espacio de dimensiones superiores. Afirma que, para cuatro puntos cualesquiera A , B , C y D , se cumple la siguiente desigualdad :

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.}$

Lleva el nombre del astrónomo y matemático griego Ptolomeo .

Los cuatro puntos se pueden ordenar de cualquiera de tres formas distintas (contando las inversiones como no distintas) para formar tres cuadriláteros diferentes , para cada uno de los cuales la suma de los productos de los lados opuestos es al menos tan grande como el producto de las diagonales. Por lo tanto, los tres términos del producto en la desigualdad se pueden permutar de manera aditiva para colocar cualquiera de ellos en el lado derecho de la desigualdad, por lo que los tres productos de lados opuestos o de diagonales de cualquiera de los cuadriláteros deben obedecer la desigualdad del triángulo . ^[1]

Como caso especial, el teorema de Ptolomeo establece que la desigualdad se convierte en igualdad cuando los cuatro puntos se encuentran en orden cíclico en un círculo . El otro caso de igualdad ocurre cuando los cuatro puntos son colineales en orden. La desigualdad no se generaliza desde espacios euclidianos a espacios métricos arbitrarios . Los espacios donde sigue siendo válido se denominan espacios ptolemaicos ; incluyen los espacios de producto internos , los espacios de Hadamard y las distancias de camino más cortas en los gráficos ptolemaicos .

Supuestos y derivación

La desigualdad de Ptolomeo se establece a menudo para un caso especial, en el que los cuatro puntos son los vértices de un cuadrilátero convexo , dado en orden cíclico. ^{[2] [3]} Sin embargo, el teorema se aplica de manera más general a cuatro puntos cualesquiera; no es necesario que el cuadrilátero que forman sea convexo, simple o incluso plano.

Para puntos en el plano, la desigualdad de Ptolomeo se puede derivar de la desigualdad del triángulo mediante una inversión centrada en uno de los cuatro puntos. ^{[4] [5]} Alternativamente, se puede derivar interpretando los cuatro puntos como números complejos , usando la identidad del número complejo:

${\displaystyle (A-B)(C-D)+(A-D)(B-C)=(A-C)(B-D)}$

construir un triángulo cuyas longitudes de los lados sean el producto de los lados del cuadrilátero dado y aplicar la desigualdad del triángulo a este triángulo. ^[6] También se pueden considerar los puntos como pertenecientes a la recta proyectiva compleja , expresar la desigualdad en la forma en que los valores absolutos de dos razones cruzadas de los puntos suman al menos uno, y deducir esto del hecho de que la cruz -las propias proporciones suman exactamente uno. ^[7]

Una prueba de la desigualdad para puntos en el espacio tridimensional se puede reducir al caso plano, observando que para cualquier cuadrilátero no plano, es posible rotar uno de los puntos alrededor de la diagonal hasta que el cuadrilátero se vuelva plano, aumentando la longitud de la otra diagonal y manteniendo constantes las otras cinco distancias. ^[6] En espacios de dimensión superior a tres, cuatro puntos cualesquiera se encuentran en un subespacio tridimensional, y se puede utilizar la misma prueba tridimensional.

Cuatro puntos concíclicos

Para cuatro puntos seguidos alrededor de un círculo , la desigualdad de Ptolomeo se convierte en una igualdad, conocida como teorema de Ptolomeo :

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.}$

En la prueba de la desigualdad de Ptolomeo basada en la inversión, la transformación de cuatro puntos cocirculares mediante una inversión centrada en uno de ellos hace que los otros tres se vuelvan colineales, por lo que la igualdad del triángulo para estos tres puntos (de la cual se puede derivar la desigualdad de Ptolomeo) también se convierte en una igualdad. ^[5] Para los otros cuatro puntos, la desigualdad de Ptolomeo es estricta.

En tres dimensiones

Cuatro puntos no coplanares A , B , C y D en 3D forman un tetraedro. En este caso, se cumple la desigualdad estricta: . ^[8] ${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}>{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}$

En espacios métricos generales.

Un gráfico de ciclo en el que las distancias desobedecen la desigualdad de Ptolomeo

La desigualdad de Ptolomeo se cumple de manera más general en cualquier espacio producto interno , ^{[1] [9]} y siempre que sea cierta para un espacio vectorial normado real , ese espacio debe ser un espacio producto interno. ^{[9] [10]}

Para otros tipos de espacio métrico , la desigualdad puede ser válida o no. Un espacio en el que se sostiene se llama ptolemaico . Por ejemplo, considere el gráfico de ciclo de cuatro vértices , que se muestra en la figura, con todas las longitudes de los bordes iguales a 1. La suma de los productos de los lados opuestos es 2. Sin embargo, los vértices diagonalmente opuestos están a una distancia de 2 entre sí, por lo que el el producto de las diagonales es 4, mayor que la suma de los productos de los lados. Por lo tanto, las distancias de camino más cortas en este gráfico no son ptolemaicas. Las gráficas en las que las distancias obedecen a la desigualdad de Ptolomeo se denominan gráficas ptolemaicas y tienen una estructura restringida en comparación con las gráficas arbitrarias; en particular, no permiten ciclos inducidos de longitud superior a tres, como el que se muestra. ^[11]

Los espacios ptolemaicos incluyen todos los espacios CAT(0) y en particular todos los espacios de Hadamard . Si una variedad de Riemann completa es ptolemaica, es necesariamente un espacio de Hadamard. ^[12]

Espacios interiores de productos

Supongamos que es una norma en un espacio vectorial. Entonces esta norma satisface la desigualdad de Ptolomeo: ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X.}$

$${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ for all vectors }}x,y,z.}$$

producto interno^[13]ley del paralelogramo ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }$ ${\displaystyle x\in X.}$

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}~+~\|x-y\|^{2}~=~2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\qquad {\text{ for all vectors }}x,y.}$$

identidad de polarización

Ver también

• Matemáticas griegas  - Matemáticas de los antiguos griegos
• Ley del paralelogramo  : la suma de los cuadrados de los 4 lados de un paralelogramo es igual a la de las 2 diagonales
• Identidad de polarización  : fórmula que relaciona la norma y el producto interno en un espacio de producto interno
• Ptolomeo  : matemático, astrónomo y geógrafo romano del siglo II.
• Tabla de acordes de Ptolomeo  - tabla trigonométrica del siglo II d.C.
• Teorema de Ptolomeo  – Relaciona los 4 lados y las 2 diagonales de un cuadrilátero con los vértices de un círculo común

Referencias

1. Schoenberg, IJ (1940), "Sobre los arcos métricos de la curvatura de Menger que se desvanece", Annals of Mathematics , segunda serie, 41 (4): 715–726, doi :10.2307/1968849, JSTOR  1968849, MR  0002903.
2. Steele, J. Michael (2004), "Ejercicio 4.6 (Desigualdad de Ptolomeo)", La clase magistral de Cauchy-Schwarz: una introducción al arte de las desigualdades matemáticas , libros de problemas MAA, Cambridge University Press, p. 69, ISBN 9780521546775.
3. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), "6.1 La desigualdad de Ptolomeo", Cuando menos es más: visualización de desigualdades básicas , Exposiciones matemáticas de Dolciani, vol. 36, Asociación Matemática de América, págs. 82–83, ISBN 9780883853429.
4. Apostol (1967) atribuye la prueba basada en inversión a los libros de texto de RA Johnson (1929) y Howard Eves (1963).
5. Stankova, Zvezdelina ; Rike, Tom, eds. (2008), "Problema 7 (La desigualdad de Ptolomeo)", Una década del círculo matemático de Berkeley: la experiencia estadounidense , Biblioteca de círculos matemáticos de MSRI, vol. 1, Sociedad Matemática Estadounidense, pág. 18, ISBN 9780821846834.
6. Apóstol 1967.
7. Silvester, John R. (2001), "Proposición 9.10 (teorema de Ptolomeo)", Geometría: antigua y moderna , Oxford University Press, p. 229, ISBN 9780198508250.
8. Zhu, Hanlin (1984). "68.25 Una desigualdad tetraédrica". La Gaceta Matemática . 68 (445): 200–202. doi :10.2307/3616345. ISSN  0025-5572.
9. Giles, JR (2000), "Ejercicio 12", Introducción al análisis de espacios lineales normados , serie de conferencias de la Sociedad Australiana de Matemáticas, vol. 13, Cambridge University Press, pág. 47, ISBN 9780521653756.
10. Schoenberg, IJ (1952), "Un comentario sobre la caracterización de MM Day de los espacios de productos internos y una conjetura de LM Blumenthal", Actas de la American Mathematical Society , 3 (6): 961–964, doi :10.2307/2031742, JSTOR  2031742, SEÑOR  0052035.
11. Howorka, Edward (1981), "Una caracterización de los gráficos ptolemaicos", Journal of Graph Theory , 5 (3): 323–331, doi :10.1002/jgt.3190050314, MR  0625074.
12. Buckley, SM; Falk, K.; Wraith, DJ (2009), "Espacios ptolemaicos y CAT(0)", Glasgow Mathematical Journal , 51 (2): 301–314, doi : 10.1017/S0017089509004984 , MR  2500753.
13. Apóstol, Tom M. (1967). "La desigualdad de Ptolomeo y la métrica cordal". Revista Matemáticas . 40 (5): 233–235. doi :10.2307/2688275. JSTOR  2688275. SEÑOR  0225213.