En álgebra lineal , un pseudoescalar es una cantidad que se comporta como un escalar , excepto que cambia de signo bajo una inversión de paridad [1] [2] mientras que un escalar verdadero no lo hace.
Un pseudoescalar, cuando se multiplica por un vector ordinario , se convierte en un pseudovector (o vector axial ); una construcción similar crea el pseudotensor . Un pseudoescalar también resulta de cualquier producto escalar entre un pseudovector y un vector ordinario. El ejemplo prototípico de un pseudoescalar es el triple producto escalar , que puede escribirse como el producto escalar entre uno de los vectores en el triple producto y el producto vectorial entre los otros dos vectores, donde este último es un pseudovector.
En física , un pseudoescalar denota una cantidad física análoga a un escalar . Ambas son cantidades físicas que asumen un único valor que es invariante bajo rotaciones adecuadas . Sin embargo, bajo la transformación de paridad , los pseudoescalares invierten sus signos mientras que los escalares no. Como las reflexiones a través de un plano son la combinación de una rotación con la transformación de paridad, los pseudoescalares también cambian de signo bajo reflexiones.
Una de las ideas más poderosas en física es que las leyes físicas no cambian cuando se cambia el sistema de coordenadas utilizado para describirlas. El hecho de que un pseudoescalar invierta su signo cuando se invierten los ejes de coordenadas sugiere que no es el mejor objeto para describir una cantidad física. En el espacio 3D, las cantidades descritas por un pseudovector son tensores antisimétricos de orden 2, que son invariantes bajo inversión. El pseudovector puede ser una representación más simple de esa cantidad, pero sufre el cambio de signo bajo inversión. De manera similar, en el espacio 3D, el dual de Hodge de un escalar es igual a una constante multiplicada por el pseudotensor tridimensional de Levi-Civita (o pseudotensor de "permutación"); mientras que el dual de Hodge de un pseudoescalar es un tensor antisimétrico (puro) de orden tres. El pseudotensor de Levi-Civita es un pseudotensor completamente antisimétrico de orden 3. Como el dual del pseudoescalar es el producto de dos "pseudocantidades", el tensor resultante es un tensor verdadero y no cambia de signo ante una inversión de ejes. La situación es similar a la de los pseudovectores y tensores antisimétricos de orden 2. El dual de un pseudovector es un tensor antisimétrico de orden 2 (y viceversa). El tensor es una cantidad física invariante ante una inversión de coordenadas, mientras que el pseudovector no es invariante.
La situación puede extenderse a cualquier dimensión. Generalmente, en un espacio n -dimensional, el dual de Hodge de un tensor de orden r será un pseudotensor antisimétrico de orden ( n − r ) y viceversa. En particular, en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones de la relatividad especial, un pseudoescalar es el dual de un tensor de cuarto orden y es proporcional al pseudotensor de Levi-Civita de cuatro dimensiones .
Un pseudoescalar en un álgebra geométrica es un elemento de grado más alto del álgebra. Por ejemplo, en dos dimensiones hay dos vectores base ortogonales, , y el elemento base de grado más alto asociado es
Por lo tanto, un pseudoescalar es un múltiplo de e 12 . El elemento e 12 eleva al cuadrado −1 y conmuta con todos los elementos pares, comportándose, por tanto, como el escalar imaginario i en los números complejos . Son estas propiedades similares a las de los escalares las que dan origen a su nombre.
En este contexto, un pseudoescalar cambia de signo bajo una inversión de paridad, ya que si
es un cambio de base que representa una transformación ortogonal , entonces
donde el signo depende del determinante de la transformación. Los pseudoescalares en álgebra geométrica corresponden, por tanto, a los pseudoescalares en física.
