Constante de Prouhet-Thue-Morse

En matemáticas , la constante de Prouhet–Thue–Morse , llamada así por Eugène Prouhet  [fr] , Axel Thue y Marston Morse , es el número, denotado por τ , cuya expansión binaria 0,01101001100101101001011001101001... está dada por la secuencia de Prouhet–Thue–Morse . Es decir,

${\displaystyle \tau =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t_{n}}{2^{n+1}}}=0.412454033640\ldots }$

donde t _n es el n- ^ésimo elemento de la secuencia Prouhet–Thue–Morse.

Otras representaciones

La constante de Prouhet-Thue-Morse también se puede expresar, sin utilizar t _n , como un producto infinito, ^[1]

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{4}}\left[2-\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2^{2^{n}}}}\right)\right]}$

Esta fórmula se obtiene sustituyendo x = 1/2 en la serie generadora para t _n

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{t_{n}}x^{n}=\prod _{n=0}^{\infty }(1-x^{2^{n}})}$

La expansión fraccionaria continua de la constante es [0; 2, 2, 2, 1, 4, 3, 5, 2, 1, 4, 2, 1, 5, 44, 1, 4, 1, 2, 4, 1, …] (secuencia A014572 en la OEIS )

Yann Bugeaud y Martine Queffélec demostraron que infinitos cocientes parciales de esta fracción continua son 4 o 5, y que infinitos cocientes parciales son mayores o iguales a 50. ^[2]

Trascendencia

En 1929, Kurt Mahler demostró que la constante Prouhet-Thue-Morse era trascendental. ^[3]

También demostró que el número

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }t_{n}\,\alpha ^{n}}$

también es trascendental para cualquier número algebraico α, donde 0 < | α | < 1.

Yann Bugaeud demostró que la constante de Prouhet-Thue-Morse tiene una medida de irracionalidad de 2. ^[4]

Apariciones

La constante de Prouhet-Thue-Morse aparece en probabilidad . Si se elige al azar un idioma L sobre {0, 1}, lanzando una moneda al aire para decidir si cada palabra w está en L , la probabilidad de que contenga al menos una palabra para cada longitud posible es ^[5]

${\displaystyle p=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2^{2^{n}}}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{t_{n}}}{2^{n+1}}}=2-4\tau =0.35018386544\ldots }$

Véase también

• Constante de Euler-Mascheroni
• Palabra de Fibonacci
• Secuencia Golay-Rudin-Shapiro
• Constante de Komornik-Loreti

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Constante de Thue-Morse". MathWorld .
2. Bugeaud, Yann; Queffélec, Martine (2013). "Sobre la aproximación racional del número binario Thue-Morse-Mahler". Journal of Integer Sequences . 16 (13.2.3).
3. Mahler, Kurt (1929). "Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen". Matemáticas. Annalen . 101 : 342–366. doi :10.1007/bf01454845. JFM  55.0115.01. S2CID  120549929.
4. Bugaeud, Yann (2011). "Sobre la aproximación racional a los números de Thue–Morse–Mahler". Annales de l'Institut Fourier . 61 (5): 2065–2076. doi : 10.5802/aif.2666 .
5. Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (1999). "La secuencia ubicua Prouhet-Thue-Morse". Matemáticas discretas y ciencias de la computación teórica : 11.

Referencias

• Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Secuencias automáticas: teoría, aplicaciones, generalizaciones . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-82332-6.Zbl 1086.11015  ..
• Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie ; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, cristiano; Siegel, Anne (eds.). Sustituciones en dinámica, aritmética y combinatoria . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1794. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-44141-7.Zbl 1014.11015  .

Enlaces externos

• Secuencia OEIS A010060 (secuencia Thue-Morse)
• La omnipresente secuencia Prouhet-Thue-Morse, de John-Paull Allouche y Jeffrey Shallit (sin fecha, 2004 o anterior), ofrece muchas aplicaciones y algo de historia.
• Entrada de PlanetMath