Propiedad matemática
Una propiedad de Schröder-Bernstein es cualquier propiedad matemática que coincida con el siguiente patrón:
- Si, para algunos objetos matemáticos X e Y , tanto X es similar a una parte de Y como Y es similar a una parte de X, entonces X e Y son similares (entre sí).
El nombre propiedad de Schröder-Bernstein (o Cantor-Schröder-Bernstein, o Cantor-Bernstein) es análogo al teorema del mismo nombre (de la teoría de conjuntos).
Propiedades de Schröder-Bernstein
Para definir una propiedad de Schröder-Bernstein específica se debe decidir:
- ¿Qué tipo de objetos matemáticos son X e Y ?
- ¿Qué se entiende por "una parte"?
- ¿Qué se entiende por "similar"?
En el teorema clásico de (Cantor-)Schröder-Bernstein :
No todas las afirmaciones de esta forma son ciertas. Por ejemplo, supongamos que:
- Los objetos son triángulos ,
- "Una parte" significa un triángulo dentro del triángulo dado,
- "Similar" se interpreta como es habitual en la geometría elemental: triángulos relacionados por una dilatación (en otras palabras, "triángulos con la misma forma hasta un factor de escala", o equivalentemente "triángulos con los mismos ángulos").
Entonces la afirmación falla estrepitosamente: todo triángulo X es evidentemente similar a algún triángulo dentro de Y , y al revés; sin embargo, X e Y no tienen por qué ser similares.
Una propiedad Schröder–Bernstein es una propiedad conjunta de:
- Una clase de objetos,
- Una relación binaria "ser parte de",
- Una relación binaria "ser similar a" (similitud).
En lugar de la relación "ser parte de", se puede utilizar una relación binaria "ser incrustable en" (incorporabilidad) interpretada como "ser similar a alguna parte de". Entonces una propiedad de Schröder-Bernstein toma la siguiente forma:
- Si X es integrable en Y e Y es integrable en X, entonces X e Y son similares.
Lo mismo en el lenguaje de la teoría de categorías :
- Si los objetos X , Y son tales que X se inyecta en Y (más formalmente, existe un monomorfismo de X a Y ) y también Y se inyecta en X, entonces X e Y son isomorfos (más formalmente, existe un isomorfismo de X a Y ) .
La relación "inyecta en" es un preorden (es decir, una relación reflexiva y transitiva ), y "ser isomórfico" es una relación de equivalencia . Además, la integrabilidad suele ser un preorden, y la similitud suele ser una relación de equivalencia (que es natural, pero no demostrable en ausencia de definiciones formales). Generalmente, un pedido anticipado conduce a una relación de equivalencia y un orden parcial entre las clases de equivalencia correspondientes . La propiedad de Schröder-Bernstein afirma que el preorden de integrabilidad (suponiendo que sea un preorden) conduce a la relación de equivalencia de similitud y a un orden parcial (no solo preorden) entre clases de objetos similares.
Problemas de Schröder-Bernstein y teoremas de Schröder-Bernstein
El problema de decidir si una propiedad de Schröder-Bernstein (para una clase dada y dos relaciones) se cumple o no se denomina problema de Schröder-Bernstein. Un teorema que establece una propiedad de Schröder-Bernstein (para una clase dada y dos relaciones), resolviendo así afirmativamente el problema de Schröder-Bernstein, se denomina teorema de Schröder-Bernstein (para una clase dada y dos relaciones), y no debe ser confundido con el teorema clásico (Cantor-) Schröder-Bernstein mencionado anteriormente.
El teorema de Schröder-Bernstein para espacios mensurables [1] establece la propiedad de Schröder-Bernstein para el siguiente caso:
- Los objetos son espacios mensurables,
- "Una parte" se interpreta como un subconjunto mensurable tratado como un espacio mensurable,
- "Similar" se interpreta como isomorfo.
En el teorema de Schröder-Bernstein para álgebras de operadores : [2]
- Los objetos son proyecciones en un álgebra de von Neumann determinada;
- "Una parte" se interpreta como una subproyección (es decir, E es parte de F si F – E es una proyección);
- " E es similar a F " significa que E y F son las proyecciones inicial y final de alguna isometría parcial en el álgebra (es decir, E = V*V y F = VV* para alguna V en el álgebra).
Teniendo en cuenta que las álgebras conmutativas de von Neumann están estrechamente relacionadas con espacios mensurables, [3] se puede decir que el teorema de Schröder-Bernstein para álgebras de operadores es en cierto sentido una contraparte no conmutativa del teorema de Schröder-Bernstein para espacios mensurables.
El teorema del isomorfismo de Myhill puede verse como un teorema de Schröder-Bernstein en la teoría de la computabilidad . También existe un teorema de Schröder-Bernstein para los conjuntos de Borel . [4]
Los espacios de Banach violan la propiedad de Schröder-Bernstein; [5] [6] aquí:
- Los objetos son espacios de Banach,
- "Una parte" se interpreta como un subespacio [5] o un subespacio complementado, [6]
- "Similar" se interpreta como linealmente homeomórfico.
Muchos otros problemas de Schröder-Bernstein relacionados con diversos espacios y estructuras algebraicas (grupos, anillos, campos, etc.) son discutidos por grupos informales de matemáticos (consulte los enlaces externos a continuación).
Notas
- ^ Srivastava 1998, consulte la Proposición 3.3.6 (en la página 96) y el primer párrafo de la Sección 3.3 (en la página 94).
- ^ Kadison y Ringrose 1986, consulte la Proposición 6.2.4 (en la página 406).
- ^ Kadison y Ringrose 1986, consulte el teorema 9.4.1 (en la página 666).
- ^ H. Friedman, Teoría de la relación booleana (borrador del 13 de junio de 2011), p.233. Consultado el 20 de enero de 2023.
- ^ ab Casazza 1989
- ^ ab Gowers 1996
Ver también
Referencias
- Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium "Propiedad de Schröder-Bernstein", que tiene la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported, pero no la GFDL .
- Srivastava, SM (1998), Un curso sobre conjuntos de Borel , Springer, ISBN 0-387-98412-7.
- Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1986), Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores , vol. II, Prensa Académica, ISBN 0-12-393302-1.
- Gowers, WT (1996), "Una solución al problema de Schroeder-Bernstein para espacios de Banach", Bull. Matemáticas de Londres. Soc. , 28 (3): 297–304, doi :10.1112/blms/28.3.297, hdl : 10338.dmlcz/127757 , archivado desde el original el 13 de enero de 2013.
- Casazza, PG (1989), "La propiedad de Schroeder-Bernstein para los espacios de Banach", Contemp. Matemáticas. , Matemáticas contemporáneas, 85 : 61–78, doi :10.1090/conm/085/983381, ISBN 9780821850923, señor 0983381.
enlaces externos
- Tema y variaciones: Schroeder-Bernstein: ocho doctores recientes en matemáticas de Berkeley analizan varios problemas de Schröder-Bernstein en un blog grupal.
- ¿Cuándo se celebra Cantor Bernstein? - "Mathoverflow" analiza la cuestión en términos de teoría de categorías: "¿Podemos caracterizar el carácter de Cantor-Bernstein en términos de otras propiedades categóricas?"
