La paradoja de la caja de Bertrand es una paradoja verídica de la teoría de probabilidad elemental . Fue planteada por primera vez por Joseph Bertrand en su obra de 1889 Calcul des Probabilités .
Hay tres casillas:
Una moneda extraída al azar de las tres cajas resulta ser una moneda de oro. Si ahora examinamos la *otra* moneda de esa caja, ¿cuál es la probabilidad de que también sea una moneda de oro?
Una paradoja verídica es una paradoja cuya solución correcta parece contraintuitiva. Puede parecer intuitivo que la probabilidad de que la moneda restante sea oro sea 1/2 , pero la probabilidad es en realidad 2/3 . [1] Bertrand demostró que si 1/2Si fuera correcto, resultaría en una contradicción, por lo que1/2 No puede ser correcto.
Este sencillo pero contraintuitivo acertijo se utiliza como ejemplo estándar en la enseñanza de la teoría de la probabilidad. La solución ilustra algunos principios básicos, incluidos los axiomas de Kolmogorov .
El problema se puede replantear describiendo las cajas como si cada una tuviera un cajón en cada uno de los dos lados. Cada cajón contiene una moneda. Una caja tiene una moneda de oro en cada lado ( GG ), otra una moneda de plata en cada lado ( SS ) y la otra una moneda de oro en un lado y una moneda de plata en el otro ( GS ). Se elige una caja al azar, se abre un cajón al azar y se encuentra una moneda de oro dentro. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda del otro lado sea de oro?
El siguiente razonamiento erróneo parece dar una probabilidad de 1/2:
El fallo está en el último paso. Si bien esos dos casos eran originalmente igualmente probables, el hecho de que estés seguro de encontrar una moneda de oro si hubieras elegido la caja GG , pero solo estés 50% seguro de encontrar una moneda de oro si hubieras elegido la caja GS , significa que ya no son igualmente probables dado que hayas encontrado una moneda de oro. En concreto:
Inicialmente , GG , SS y GS tienen la misma probabilidad . Por lo tanto, según la regla de Bayes, la probabilidad condicional de que la caja elegida sea GG , dado que hemos observado una moneda de oro, es:
La respuesta correcta de 2/3 También se puede obtener de la siguiente manera:
El propósito de Bertrand al construir este ejemplo era mostrar que no siempre es adecuado simplemente contar los casos. En lugar de ello, se deben sumar las probabilidades de que los casos produzcan el resultado observado; y los dos métodos son equivalentes sólo si esta probabilidad es 1 o 0 en todos los casos. Esta condición se aplica correctamente con el segundo método de solución, pero no con el primero. [ cita requerida ]
En una encuesta a 53 estudiantes de primer año de Psicología que tomaron un curso introductorio de probabilidad, 35 respondieron incorrectamente .1/2 ; solo 3 estudiantes respondieron correctamente 2/3 . [2]
Otras paradojas verídicas de probabilidad incluyen:
Los problemas de Monty Hall y de los Tres Prisioneros son matemáticamente idénticos a la paradoja de la Caja de Bertrand. La construcción de la paradoja del Niño o la Niña es similar, básicamente añadiendo una cuarta caja con una moneda de oro y una moneda de plata. Su respuesta es controvertida, basada en cómo se supone que se eligió el "cajón".
