En probabilidad y estadística , un problema de urna es un ejercicio mental idealizado en el que algunos objetos de interés real (como átomos, personas, automóviles, etc.) se representan como bolas de colores en una urna u otro recipiente. Se pretende sacar una o más bolas de la urna; el objetivo es determinar la probabilidad de sacar un color u otro, o alguna otra propiedad. A continuación se describen varias variaciones importantes.
Un modelo de urna es un conjunto de probabilidades que describen eventos dentro de un problema de urna, o es una distribución de probabilidad , o una familia de tales distribuciones, de variables aleatorias asociadas con problemas de urna. [1]
Historia
En Ars Conjectandi (1713), Jacob Bernoulli planteó el problema de determinar, dada una cantidad determinada de guijarros extraídos de una urna, las proporciones de guijarros de distintos colores que había dentro de la urna. Este problema se conocía como el problema de la probabilidad inversa y fue un tema de investigación en el siglo XVIII, atrayendo la atención de Abraham de Moivre y Thomas Bayes .
Bernoulli utilizó la palabra latina urna , que significa principalmente un recipiente de arcilla, pero también es el término utilizado en la antigua Roma para un recipiente de cualquier tipo para recoger papeletas o lotes; la palabra italiana o española actual para urna electoral sigue siendo urna . La inspiración de Bernoulli puede haber sido las loterías , las elecciones o los juegos de azar que implicaban sacar bolas de un recipiente, y se ha afirmado que las elecciones en la Venecia medieval y renacentista , incluida la del dux , a menudo incluían la elección de electores por sorteo , utilizando bolas de diferentes colores extraídas de una urna. [2]
Modelo básico de urna
En este modelo básico de urna de la teoría de la probabilidad , la urna contiene x bolas blancas e y bolas negras, bien mezcladas. Se extrae una bola al azar de la urna y se observa su color; luego se vuelve a colocar en la urna (o no) y se repite el proceso de selección. [3]
Las posibles preguntas que se pueden responder en este modelo son:
¿Puedo inferir la proporción de bolas blancas y negras a partir de n observaciones? ¿Con qué grado de confianza?
Conociendo x e y , ¿cuál es la probabilidad de obtener una secuencia específica (por ejemplo, una blanca seguida de una negra)?
Si sólo observo n bolas, ¿qué tan seguro puedo estar de que no hay bolas negras? (Una variación tanto de la primera como de la segunda pregunta)
Ejemplos de problemas con las urnas
Distribución beta-binomial : como la anterior, excepto que cada vez que se observa una bola, se agrega una bola adicional del mismo color a la urna. Por lo tanto, el número total de bolas en la urna aumenta. Véase el modelo de urna de Pólya .
distribución binomial : distribución del número de extracciones (ensayos) exitosas, es decir, extracción de bolas blancas, dados n extracciones con reposición en una urna con bolas blancas y negras. [3]
Urna Hoppe : urna de Pólya con una bola adicional llamada mutador . Cuando se extrae el mutador, se reemplaza junto con una bola adicional de un color completamente nuevo.
Distribución hipergeométrica : las bolas no se devuelven a la urna una vez extraídas, por lo que el número total de canicas en la urna disminuye. Esto se denomina "extracción sin reposición", por oposición a "extracción con reposición".
distribución geométrica : número de sorteos antes del primer sorteo exitoso (coloreado correctamente). [3]
Reemplazo/no reemplazo mixto: la urna contiene x bolas blancas e y bolas negras. Mientras que las bolas negras se apartan después de un sorteo (no reemplazo), las bolas blancas se devuelven a la urna después de un sorteo (reemplazo). La probabilidad P(m,k) de que se extraigan k bolas negras después de m sorteos se puede calcular de forma recursiva utilizando la fórmula . [4]
Distribución multinomial : hay bolas de más de dos colores. Cada vez que se extrae una bola, se devuelve antes de extraer otra bola. [3] Esto también se conoce como ' Bolas en contenedores '.
distribución binomial negativa : número de extracciones antes de que se produzca una cierta cantidad de fallos (extracciones con colores incorrectos).
^ Dodge, Yadolah (2003) Diccionario Oxford de términos estadísticos , OUP. ISBN 0-19-850994-4
^ Mowbray, Miranda y Gollmann, Dieter. "La elección del dux de Venecia: análisis de un protocolo del siglo XIII" . Consultado el 12 de julio de 2007 .
^ Modelo de urna abcde : definición simple, ejemplos y aplicaciones — El modelo de urna básico
^ [https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=2008/ Matheplanet: Ein Urnenproblem - recargado]
Lectura adicional
Johnson, Norman L.; y Kotz, Samuel (1977); Modelos de urna y su aplicación: un enfoque a la teoría de probabilidad discreta moderna , Wiley ISBN 0-471-44630-0
Mahmoud, Hosam M. (2008); Modelos de urnas Pólya , Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-4200-5983-1
