En la teoría de grupos , una rama del álgebra abstracta , el problema de Whitehead es la siguiente pregunta:
¿Todo grupo abeliano A con Ext 1 ( A , Z ) = 0 es un grupo abeliano libre ?
Saharon Shelah demostró que el problema de Whitehead es independiente de ZFC , los axiomas estándar de la teoría de conjuntos. [1]
Supongamos que A es un grupo abeliano tal que cada secuencia exacta corta
debe dividirse si B también es abeliano. El problema de Whitehead entonces pregunta: ¿debe A ser libre? Este requisito de división es equivalente a la condición Ext 1 ( A , Z ) = 0. Los grupos abelianos A que satisfacen esta condición a veces se denominan grupos de Whitehead , por lo que el problema de Whitehead pregunta: ¿es todo grupo de Whitehead libre? Cabe mencionar que si esta condición se refuerza al requerir que la secuencia exacta
debe dividirse para cualquier grupo abeliano C , entonces es bien sabido que esto es equivalente a que A sea libre.
Precaución : El inverso del problema de Whitehead, es decir, que todo grupo abeliano libre es Whitehead, es un hecho bien conocido en teoría de grupos. Algunos autores llaman grupo de Whitehead solo a un grupo no libre A que satisface Ext 1 ( A , Z ) = 0. El problema de Whitehead entonces plantea la pregunta: ¿existen los grupos de Whitehead?
Saharon Shelah demostró que, dado el sistema de axiomas canónicos de ZFC , el problema es independiente de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos . [1] Más precisamente, demostró que:
Dado que la consistencia de ZFC implica la consistencia de ambos aspectos siguientes:
El problema de Whitehead no se puede resolver en ZFC.
JHC Whitehead , motivado por el segundo problema de Cousin , planteó el problema por primera vez en la década de 1950. Stein respondió afirmativamente a la pregunta para grupos contables . [2] El progreso para grupos más grandes fue lento y el problema se consideró importante en álgebra durante algunos años.
El resultado de Shelah fue completamente inesperado. Si bien la existencia de enunciados indecidibles se conocía desde el teorema de incompletitud de Gödel de 1931, los ejemplos anteriores de enunciados indecidibles (como la hipótesis del continuo ) se habían dado en la teoría de conjuntos pura . El problema de Whitehead fue el primer problema puramente algebraico que se demostró indecidible.
Shelah demostró más tarde que el problema de Whitehead sigue siendo indecidible incluso si se asume la hipótesis del continuo. [3] [4] De hecho, sigue siendo indecidible incluso bajo la hipótesis del continuo generalizada . [5] La conjetura de Whitehead es verdadera si todos los conjuntos son construibles . El hecho de que esta y otras afirmaciones sobre grupos abelianos incontables sean demostrablemente independientes de ZFC muestra que la teoría de tales grupos es muy sensible a la teoría de conjuntos subyacente asumida .
