Problema de Hurwitz

En matemáticas, el problema de Hurwitz (llamado así por Adolf Hurwitz ) es el problema de encontrar relaciones multiplicativas entre formas cuadráticas que generalizan aquellas que se sabe que existen entre sumas de cuadrados en ciertos números de variables.

Descripción

Existen relaciones multiplicativas bien conocidas entre sumas de cuadrados en dos variables.

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(u^{2}+v^{2})=(xu-yv)^{2}+(xv+yu)^{2}\ ,}$

(conocida como la identidad de Brahmagupta-Fibonacci ), y también la identidad de cuatro cuadrados de Euler y la identidad de ocho cuadrados de Degen . Estas pueden interpretarse como la multiplicatividad de las normas de los números complejos ( ), cuaterniones ( ) y octoniones ( ), respectivamente. ^{[1] : 1–3  [2]} ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$

El problema de Hurwitz para el campo K es encontrar relaciones generales de la forma

${\displaystyle (x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+\cdots +y_{s}^{2})=(z_{1}^{2}+\cdots +z_{n}^{2})\ ,}$

donde z son formas bilineales en x e y : es decir, cada z es una combinación K -lineal de términos de la forma x _i y _j . ^{[3] : 127}

Decimos que una tripleta es admisible para K si existe tal identidad. ^{[1] : 125} Los casos triviales de tripletas admisibles incluyen El problema no es interesante para K de característica  2, ya que sobre tales cuerpos toda suma de cuadrados es un cuadrado, y excluimos este caso. Se cree que de lo contrario la admisibilidad es independiente del cuerpo de definición. ^{[1] : 137} ${\displaystyle \;(r,s,n)\;}$ ${\displaystyle \;(r,s,rs)\;.}$

El teorema de Hurwitz-Radon

Hurwitz planteó el problema en 1898 en el caso especial y demostró que, cuando se toman coeficientes en , los únicos valores admisibles eran ^{[3] : 130} Su prueba se extiende a un campo de cualquier característica excepto  2. ^{[1] : 3} ${\displaystyle \;r=s=n\;}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \,(n,n,n)\,}$ ${\displaystyle \;n\in \{1,2,4,8\}\;.}$

El problema de "Hurwitz-Radon" consiste en encontrar triples admisibles de la forma Obviamente es admisible. El teorema de Hurwitz-Radon establece que es admisible sobre cualquier cuerpo donde es la función definida para v impar, con y ^{[1] : 137  [3] : 130} ${\displaystyle \,(r,n,n)\;.}$ ${\displaystyle \;(1,n,n)\;}$ ${\displaystyle \;\left(\rho (n),n,n\right)\;}$ ${\displaystyle \,\rho (n)\,}$ ${\displaystyle \;n=2^{u}v\;,}$ ${\displaystyle \;u=4a+b\;,}$ ${\displaystyle \;0\leq b\leq 3\;,}$ ${\displaystyle \;\rho (n)=8a+2^{b}\;.}$

Otros triples admisibles incluyen ^{[1] : 138} y ^{[1] : 137} ${\displaystyle \,(3,5,7)\,}$ ${\displaystyle \,(10,10,16)\;.}$

Véase también

• Álgebra de composición
• Teorema de Hurwitz (álgebras de división normadas)
• Número de radón-Hurwitz

Referencias

1. Rajwade, AR (1993). Cuadrados . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 171. Cambridge University Press . ISBN 0-521-42668-5.Zbl 0785.11022  .
2. Curtis, CW (1963). "El problema de los cuatro y ocho cuadrados y las álgebras de división". En Albert, AA (ed.). Estudios en álgebra moderna . Asociación Matemática de Estados Unidos . pp. 100–125, esp. 115.— Solución del problema de Hurwitz en la página 115.
3. Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 67. American Mathematical Society . ISBN. 0-8218-1095-2.MR  2104929.Zbl 1068.11023  .​