El problema de Hansen

Problema topográfico fundamental

En trigonometría , el problema de Hansen es un problema de topografía plana , llamado así por el astrónomo Peter Andreas Hansen (1795–1874), que trabajó en el estudio geodésico de Dinamarca. Hay dos puntos conocidos A, B y dos puntos desconocidos P ₁ , P ₂ . Desde P ₁ y P ₂ un observador mide los ángulos que forman las líneas de visión con cada uno de los otros tres puntos. El problema es encontrar las posiciones de P ₁ y P ₂ . Véase la figura; los ángulos medidos son  ( α ₁ , β ₁ , α ₂ , β ₂ ) .

Dado que implica observaciones de ángulos realizados en puntos desconocidos, el problema es un ejemplo de resección (a diferencia de intersección).

Descripción general del método de solución

Definamos los siguientes ángulos: Como primer paso, resolveremos φ y ψ . La suma de estos dos ángulos desconocidos es igual a la suma de β ₁ y β ₂ , lo que da como resultado la ecuación $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\gamma &=\angle P_{1}AP_{2},&\quad \delta &=\angle P_{1}BP_{2},\\[4pt]\phi &=\angle P_{2}AB,&\quad \psi &=\angle P_{1}BA.\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle \phi +\psi =\beta _{1}+\beta _{2}.}$$

Se puede encontrar una segunda ecuación de manera más laboriosa, como sigue: la ley de los senos da

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {P_{2}B}}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \phi }},\qquad {\frac {\overline {P_{2}B}}{\overline {P_{1}P_{2}}}}={\frac {\sin \beta _{1}}{\sin \delta }}.}$$

Combinando estos, obtenemos

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {P_{1}P_{2}}}}={\frac {\sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \phi \sin \delta }}.}$$

Un razonamiento completamente análogo desde el otro lado conduce a:

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {P_{1}P_{2}}}}={\frac {\sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}{\sin \psi \sin \gamma }}.}$$

Al establecer estos dos valores iguales se obtiene

$${\displaystyle {\frac {\sin \phi }{\sin \psi }}={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}=k.}$$

Utilizando una identidad trigonométrica conocida , esta relación de senos se puede expresar como la tangente de una diferencia de ángulos:

${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\phi -\psi )={\frac {k-1}{k+1}}\tan {\tfrac {1}{2}}(\phi +\psi ).}$

Dónde ${\displaystyle k={\frac {\sin \phi }{\sin \psi }}.}$

Esta es la segunda ecuación que necesitamos. Una vez que resolvemos las dos ecuaciones para las dos incógnitas φ, ψ , podemos usar cualquiera de las dos expresiones anteriores para encontrar ⁠ ⁠ ya que AB es conocido. Luego podemos encontrar todos los demás segmentos usando la ley de los senos. ^[1] ${\displaystyle {\tfrac {\overline {AB}}{\overline {P_{1}P_{2}}}}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$

Algoritmo de solución

Se nos dan cuatro ángulos ( α ₁ ,  β ₁ ,  α ₂ ,  β ₂ ) y la distancia AB . El cálculo se realiza de la siguiente manera:

• Calcular $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\pi -\alpha _{1}-\beta _{1}-\beta _{2},\\\delta &=\pi -\alpha _{2}-\beta _{1}-\beta _{2}.\end{aligned}}}$$
• Calcular $${\displaystyle k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.}$$
• Dejar y luego $${\displaystyle s=\beta _{1}+\beta _{2},\quad d=2\arctan \left({\frac {k-1}{k+1}}\tan {\tfrac {1}{2}}s\right)}$$ $${\displaystyle \phi ={\frac {s+d}{2}},\quad \psi ={\frac {s-d}{2}}.}$$

Calcular o equivalentemente Si una de estas fracciones tiene un denominador cercano a cero, utilice la otra. $${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}={\overline {AB}}\ {\frac {\sin \phi \sin \delta }{\sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}}}$$ $${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}={\overline {AB}}\ {\frac {\sin \psi \sin \gamma }{\sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.}$$

Soluciones mediante álgebra geométrica

Además de presentar algoritmos para resolver el problema a través del Álgebra Geométrica Vectorial y el Álgebra Geométrica Conforme, Ventura et al. ^[2] revisan los métodos anteriores y comparan las velocidades computacionales de los diversos métodos y la sensibilidad al error de medición.

Véase también

• Resolver triángulos
• El problema de Snell

Referencias

1. Udo Hebisch: Ebene und Sphaerische Trigonometrie, Kapitel 1, Beispiel 4 (2005, 2006) [1] Archivado el 22 de febrero de 2016 en Wayback Machine.
2. Ventura, Jorge; Martínez, Fernando; Zaplana, Isiah; Eid, Ahmad Hosny; Montoya, Francisco G.; Smith, James (enero de 2024). "Revisitando el problema de Hansen: un enfoque de álgebra geométrica". Matemáticas . 12 (13): 1999. doi : 10.3390/math12131999 . hdl : 2117/411951 . ISSN  2227-7390.